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Grundwissen

Siderische und synodische Umlaufzeit

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Die Erde hat eine Umlaufzeit um die Sonne von \(365{,}25\,\rm{d}\) oder einem Jahr. Alle anderen Planeten des Sonnensystems haben, entsprechend ihrer Lage, kürzere (innere Planeten) oder längere (äußere Planeten) Umlaufzeiten. Wie man nun aus Beobachtungen von der Erde aus die Umlaufzeiten der anderen Planeten um die Sonne ermitteln kann zeigen wir dir in diesem Artikel.

Zuerst einmal müssen wir folgende Definition machen.

Konjunktion und Opposition

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Abb. 1 Konjunktion von inneren (rot) und äußeren (dunkelblau) Planeten in Bezug auf die Sonne

Als Konjunktion eines Planeten in Bezug auf die Sonne bezeichnen wir die Situation, dass sich von der Erde aus gesehen der Planet und die Sonne scheinbar an der gleichen Stelle des Himmels befinden, sich also scheinbar "begegnen". Wegen der leichten Neigung der Planetenbahnen gegen die Ekliptik nehmen die Planeten und die Sonne während einer Konjunktion nur selten exakt denselben Ort am Himmel ein, d. h. es kommt zu einer Bedeckung.

Die Konjunktion eines äußeren Planeten (in Abb. 1 dunkelblau) mit der Sonne (in Abb. 1 gelb) tritt nur dann auf, wenn sich die Sonne zwischen Planet und Erde (in Abb. 1 hellblau) befindet.

Die Konjunktion eines inneren Planeten (in Abb. 1 rot) mit der Sonne tritt dann auf, wenn sich die Sonne zwischen Planet und Erde (obere Konjunktion) oder aber der Planet zwischen Sonne und Erde (untere Konjunktion) befindet.

 

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Abb. 2 Opposition von äußeren (dunkelblau) Planeten in Bezug auf die Sonne

Als Opposition eines Planeten in Bezug auf die Sonne bezeichnen wir die Situation, dass sich von der Erde aus gesehen der Planet und die Sonne genau "gegenüber" am Himmel befinden. Diese Konstellation ist nur für äußere Planeten möglich.

 

 

Die folgenden zwei Animationen zeigen die Bewegung der Erde (hellblau), der Venus (rot) als Beispiel für einen inneren Planeten und des Mars (dunkelblau) als Beispiel für einen äußeren Planeten um die Sonne (gelb). Bei dieser Bewegung unterscheiden wir in der Astronomie zwei verschiedene Umlaufzeiten.

Siderische und synodische Umlaufzeit
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Abb. 3 Definition der siderischen Umlaufzeit einesPlaneten

Als siderische Umlaufzeit (lat. sidus „Stern“, Genitiv sideris) \({T_{{\rm{sid}}}}\) eines Planeten bezeichnen wir die Zeitspanne, die der Planet für einen vollen Umlauf vor dem Sternenhintergrund benötigt.

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Abb. 4 Definition der synodischen Umlaufzeit eines Planeten

Als synodische Umlaufzeit (altgriechisch σύνοδος synodos ‚Zusammentreffen‘) \({T_{{\rm{syn}}}}\) eines Planeten bezeichen wir die Zeitspanne, die der Planet von einer Oppositionsstellung bzw. Konjunktionsstellung zur nächsten benötigt.

Zwischen siderischer und synodischer Umlaufzeit besteht ein Zusammenhang, der sich leicht herleiten lässt.

Herleitung für eine äußeren Planeten
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Abb. 5 Zusammenhang zwischen siderischer und synodischer Umlaufzeit bei einem äußeren Planeten

Wir betrachten die Winkel, die die Radiusvektoren zwischen zwei Oppositionen überstreichen. Die Erde läuft in dieser Zeit mindestens einmal vollständig um die Sonne herum. Dabei gelten folgende Beziehungen zwischen Winkeln und Zeiten:\[\frac{{{\alpha _{\rm{E}}}}}{{360^\circ }} = \frac{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Erde}}}}}} \Leftrightarrow {\alpha _{\rm{E}}} = 360^\circ  \cdot \frac{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Erde}}}}}}\quad(1)\]\[\frac{{{\alpha _{\rm{P}}}}}{{360^\circ }} = \frac{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}} \Leftrightarrow {\alpha _{\rm{P}}} = 360^\circ  \cdot \frac{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}}\quad(2)\]Außerdem ersieht man folgenden Winkelzusammenhang für die Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Oppositionsstellungen aus der Zeichnung\[{\alpha _{\rm{E}}} = {\alpha _{\rm{P}}} + 360^\circ \quad(3)\]Setzt man \((1)\) und \((2)\) in \((3)\) ein, so erhält man\[\begin{eqnarray}360^\circ  \cdot \frac{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Erde}}}}}} &=& 360^\circ  \cdot \frac{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}} + 360^\circ \quad \left| {\;:} \right.360^\circ \\\frac{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Erde}}}}}} &=& \frac{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}} + 1 \quad \left| {\;:} \right.{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}\\\frac{1}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Erde}}}}}} &=& \frac{1}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}} + \frac{1}{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}}\\\frac{1}{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}} &=& \frac{1}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Erde}}}}}} - \frac{1}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}}\end{eqnarray}\]

Herleitung für einen inneren Planeten
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Abb. 6 Zusammenhang zwischen siderischer und synodischer Umlaufzeit bei einem inneren Planeten

Analog lässt sich für die inneren Planeten (Merkur, Venus) die entsprechende Formel\[\frac{1}{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}} = \frac{1}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}} - \frac{1}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Erde}}}}}}\]herleiten.

Hinweis: Der gleiche Zusammenhang besteht auch zwischen der Umlaufzeit eines Planeten um die Sonne, der Eigenrotationszeit um die Planetenachse und der Tageslänge.

Zusammenhang zwischen siderischer und synodischer Umlaufzeit

Für die beiden inneren Planeten Merkur und Venus gilt für die siderischen und synodischen Umlaufzeiten der Zusammenhang\[\frac{1}{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}} = \frac{1}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}} - \frac{1}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Erde}}}}}}\]Für die äußeren Planeten Mars, Jupiter, Saturn, Uranus und Neptun gilt für die siderischen und synodischen Umlaufzeiten der Zusammenhang\[\frac{1}{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}} = \frac{1}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Erde}}}}}} - \frac{1}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}}\]Dabei beträgt die siderische Umlaufzeit der Erde \(T_{\rm{sid}\rm{,}\;\rm{Erde}}=365{,}25\,\rm{d}\).

Aufgabe
[Public domain], via Wikimedia Commons NASA / USGS (see PIA04304 catalog page)
Abb. 7 Mars

Die Zeitdauer zwischen zwei Marsoppositionen beträgt \(780\,\rm{d}\).

Berechne daraus die siderische Umlaufzeit des Mars.

 

Lösung

Hinweis: Der Mars besitzt eine nicht zu vernachlässigende Exzentrizität, die synodische Umlaufzeit variiert deshalb von Opposition zu Opposition.  Dennoch nutzen wir zur Lösung dieser Aufgabe die obigen Formeln, die exakt nur für Kreisbahnen gelten.

Die Zeitdauer von \(780\,\rm{d}\) zwischen zwei Marsoppositionen ist die synodische Umlaufzeit des Mars. Die siderische Umlaufzeit der Erde beträgt \(365{,}25\,\rm{d}\). Für den Mars als äußeren Planeten gilt\[\begin{eqnarray}\frac{1}{{{T_{{\rm{syn}},\;{\rm{Planet}}}}}} &=& \frac{1}{{{T_{{\rm{sid}},\;{\rm{Erde}}}}}} - \frac{1}{{{T_{{\rm{sid}},\;{\rm{Mars}}}}}}\\\frac{1}{{{T_{{\rm{sid}},\;{\rm{Mars}}}}}} &=& \frac{1}{{{T_{{\rm{sid}},\;{\rm{Erde}}}}}} - \frac{1}{{{T_{{\rm{syn}},\;{\rm{Mars}}}}}}\\\frac{1}{{{T_{{\rm{sid}},\;{\rm{Mars}}}}}} &=& \frac{{{T_{{\rm{syn}},\;{\rm{Mars}}}} - {T_{{\rm{sid}},\;{\rm{Erde}}}}}}{{{T_{{\rm{sid}},\;{\rm{Erde}}}} \cdot {T_{{\rm{syn}},\;{\rm{Mars}}}}}}\\{T_{{\rm{sid}},\;{\rm{Mars}}}} &=& \frac{{{T_{{\rm{sid}},\;{\rm{Erde}}}} \cdot {T_{{\rm{syn}},\;{\rm{Mars}}}}}}{{{T_{{\rm{syn}},\;{\rm{Mars}}}} - {T_{{\rm{sid}},\;{\rm{Erde}}}}}}\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{T_{{\rm{sid}},\;{\rm{Mars}}}} = \frac{{365{,}25\,{\rm{d}} \cdot 780\,{\rm{d}}}}{{780\,{\rm{d}} - 365{,}25\,{\rm{d}}}} = 687\,{\rm{d}}\]

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