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Grundwissen

Siderische und synodische Umlaufzeit

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Konjunktion und Opposition

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Abb. 1 Konjunktion von inneren (rot) und äußeren (dunkelblau) Planeten in Bezug auf die Sonne

Als Konjunktion eines Planeten in Bezug auf die Sonne bezeichnen wir die Situation, dass sich von der Erde aus gesehen der Planet und die Sonne scheinbar an der gleichen Stelle des Himmels befinden, sich also scheinbar "begegnen". Wegen der leichten Neigung der Planetenbahnen gegen die Ekliptik nehmen die Planeten und die Sonne während einer Konjunktion nur selten exakt denselben Ort am Himmel ein, d. h. es kommt zu einer Bedeckung.

Die Konjunktion eines äußeren Planeten (in Abb. 1 dunkelblau) mit der Sonne (in Abb. 1 gelb) tritt nur dann auf, wenn sich die Sonne zwischen Planet und Erde (in Abb. 1 hellblau) befindet.

Die Konjunktion eines inneren Planeten (in Abb. 1 rot) mit der Sonne tritt dann auf, wenn sich die Sonne zwischen Planet und Erde (obere Konjunktion) oder aber der Planet zwischen Sonne und Erde (untere Konjunktion) befindet.

 

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Abb. 2 Opposition von äußeren (dunkelblau) Planeten in Bezug auf die Sonne

Als Opposition eines Planeten in Bezug auf die Sonne bezeichnen wir die Situation, dass sich von der Erde aus gesehen der Planet und die Sonne genau "gegenüber" am Himmel befinden. Diese Konstellation ist nur für äußere Planeten möglich.

 

 

Die folgenden zwei Animationen zeigen die Bewegung der Erde (hellblau), der Venus (rot) als Beispiel für einen inneren Planeten und des Mars (dunkelblau) als Beispiel für einen äußeren Planeten um die Sonne (gelb). Bei dieser Bewegung unterscheiden wir in der Astronomie zwei verschiedene Umlaufzeiten.

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Abb. 3 Definition der siderischen Umlaufzeit einesPlaneten

Als siderische Umlaufzeit (lateinisch sidus „Stern“, Genitiv sideris) \({T_{{\rm{sid}}}}\) eines Planeten bezeichnen wir die Zeitspanne, die der Planet für einen vollen Umlauf vor dem Sternenhintergrund benötigt.

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Abb. 4 Definition der synodischen Umlaufzeit eines Planeten

Als synodische Umlaufzeit (altgriechisch σύνοδος synodos ‚Zusammentreffen‘) \({T_{{\rm{syn}}}}\) eines Planeten bezeichen wir die Zeitspanne, die der Planet von einer Oppositionsstellung bzw. Konjunktionsstellung zur nächsten benötigt.

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Abb. 5 Zusammenhang zwischen siderischer und synodischer Umlaufzeit bei einem äußeren Planeten

Zwischen siderischer und synodischer Umlaufzeit besteht ein Zusammenhang, der sich leicht herleiten lässt. Dazu betrachten wir zunächst einen äußeren Planeten, also Mars, Jupiter, Saturn etc.

Wir betrachten die Winkel, die die Radiusvektoren zwischen zwei Oppositionen überstreichen. Die Erde läuft in dieser Zeit mindestens einmal vollständig um die Sonne herum. Dabei gelten folgende Beziehungen zwischen Winkeln und Zeiten:\[\frac{{{\alpha _{\rm{E}}}}}{{360^\circ }} = \frac{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Erde}}}}}} \Leftrightarrow {\alpha _{\rm{E}}} = 360^\circ  \cdot \frac{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Erde}}}}}}\quad(1)\]\[\frac{{{\alpha _{\rm{P}}}}}{{360^\circ }} = \frac{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}} \Leftrightarrow {\alpha _{\rm{P}}} = 360^\circ  \cdot \frac{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}}\quad(2)\]Außerdem ersieht man folgenden Winkelzusammenhang für die Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Oppositionsstellungen aus der Zeichnung\[{\alpha _{\rm{E}}} = {\alpha _{\rm{P}}} + 360^\circ \quad(3)\]Setzt man \((1)\) und \((2)\) in \((3)\) ein, so erhält man\[\begin{eqnarray}360^\circ  \cdot \frac{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Erde}}}}}} &=& 360^\circ  \cdot \frac{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}} + 360^\circ \quad \left| {\;:} \right.360^\circ \\\frac{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Erde}}}}}} &=& \frac{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}} + 1 \quad \left| {\;:} \right.{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}\\\frac{1}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Erde}}}}}} &=& \frac{1}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}} + \frac{1}{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}}\\\frac{1}{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}} &=& \frac{1}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Erde}}}}}} - \frac{1}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}}\end{eqnarray}\]

 

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Abb. 6 Zusammenhang zwischen siderischer und synodischer Umlaufzeit bei einem inneren Planeten

Analog lässt sich für die inneren Planeten (Merkur, Venus) die entsprechende Formel\[\frac{1}{{{T_{{\rm{syn}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}} = \frac{1}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Planet}}}}}} - \frac{1}{{{T_{{\rm{sid}}{\rm{,}}\;{\rm{Erde}}}}}}\]herleiten.

Hinweis: Der gleiche Zusammenhang besteht auch zwischen der Umlaufzeit eines Planeten um die Sonne, der Eigenrotationszeit um die Planetenachse und der Tageslänge.

Aufgabe

Merkurs siderische Umlaufdauer beträgt 87,97d und seine siderische Rotationsdauer 58,65 d.

Berechne die Länge des Tag - Nacht - Zyklus von Merkur.

NASA/Johns Hopkins University Applied Physics Laboratory/Carnegie Institution of Washington [Public domain], via Wikimedia Commons
Abb. 7 Merkur

Lösung

Da die Rotation schneller verläuft als der Umlauf, behandelt man die Zeiten wie bei einem inneren Planeten:
\[{\frac{1}{{{T_{{\rm{Rot,sid}}}}}} = \frac{1}{{{T_{{\rm{Uml,sid}}}}}} + \frac{1}{{{T_{{\rm{Rot,syn}}}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{T_{{\rm{Rot,syn}}}}}} = \frac{1}{{{T_{{\rm{Rot,sid}}}}}} - \frac{1}{{{T_{{\rm{Uml,sid}}}}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{\frac{1}{{{T_{{\rm{Rot,syn}}}}}} = \frac{1}{{58,65{\rm{d}}}} - \frac{1}{{87,97{\rm{d}}}} \Rightarrow {T_{{\rm{Rot,syn}}}} = 176{\rm{d}}}\]
 

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