Planetensystem

1. Die Bewegung eines Trabanten um einen Zentralkörper unter dem Einfluss der Gravitationskraft verläuft in einer Ebene

Der Drehimpuls(-vektor) \(\vec L\) eines Körpers ist definiert als das Kreuzprodukt aus seinem Ortsvektor \(\vec r\) und seinem Impulsvektor \(\vec p\):\[\vec L = \vec r \times \vec p\]Aus der Definiton des Kreuzproduktes ergibt sich, dass der Drehimpuls stets senkrecht zum Ortsvektor \(\vec r\) und senkrecht zum Impulsvektor \(\vec p\) gerichtet ist; dazu müssen \(\vec r\) und \(\vec p\) selbst nicht unbedingt senkrecht zueinander stehen. In der klassischen Mechanik gilt wegen \(\vec p = m \cdot \vec v\) für den Drehimpuls\[\vec L = \vec r \times \vec p = m \cdot \left( {\vec r \times \vec v} \right)\]Wenn nun der Drehimpuls eines bewegten Körpers im Laufe der Zeit konstant ist, d.h. insbesondere, dass sich seine Richtung im Laufe nicht ändert, dann liegen Ortsvektor \(r\) und Geschwindigkeitsvektor \(\vec v\) stets in einer gemeinsamen Ebene, in der dann die gesamte Bewegung verläuft.

Im ersten Teil dieses Artikels werden wir zeigen, dass bei der Bewegung eines Trabanten um einen Zentralkörper unter dem Einfluss der Gravitationskraft der Drehimpuls des Trabanten konstant bleibt. Hierzu bilden wir die zeitliche Ableitung des Drehimpulses\[\frac{d}{{dt}}\vec L = \frac{d}{{dt}}\left( {\vec r \times \vec p} \right) = \frac{d}{{dt}}\left( {\vec r \times m \cdot \vec v} \right) = m \cdot \frac{d}{{dt}}\left( {\vec r \times \vec v} \right)\underbrace  = _{{\rm{(*)}}}m \cdot \left( {\vec r \times \vec a} \right) = \left( {\vec r \times m \cdot \vec a} \right) = \vec r \times \vec F\]Den Beweis von \((*)\) findest du in der Fußnote ¹ weiter unten. Nun ist aber die Gravitationskraft \(\vec F\) auf den Trabanten stets in Richtung des Zentralkörpers, also entgegengesetzt zum Ortsvektor \(\vec r\) gerichtet; das Kreuzprodukt von \(\vec r\) und \(\vec F\) ist somit der Nullvektor \(\vec 0\):\[\vec r \times \vec F = \vec 0\]Den Beweis hiervon findest du in der Fußnote ² weiter unten. Damit ergibt sich\[\frac{d}{{dt}}\vec L = \vec r \times \vec F = \vec 0\Rightarrow \vec L = \vec r \times \vec p = m \cdot \left( {\vec r \times \vec v} \right) \;{\rm{ist}}\;{\rm{konstant}}\]Dies bedeutet wie oben bereits gesagt, dass die Bewegung des Trabanten um den Zentralkörper unter dem Einfluss der Gravitationskraft in einer Ebene verläuft. Dies ist der erste Teil der Ausage des ersten KEPLERschen Gesetzes.

2. Die Bewegung eines Trabanten um einen Zentralkörper unter dem Einfluss der Gravitationskraft verläuft auf einer Ellipsenbahn

Beschreibung von periodischen Bewegungen in einer Ebene durch Polarkoordinaten

Periodische Bewegungen, die in einer Ebene stattfinden, beschreibt man am einfachsten durch sogenannte Polarkoordinaten. Dabei wird ein Punkt im Koordinatensystem nicht durch seine kartesischen Koordinaten auf der \(x\)- und der \(y\)-Achse beschrieben, sondern durch den Abstand \(r\) des Punktes zum Koordinatenursprung und der Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen der Verbindungsstrecke Koordinatenursprung-Punkt und der \(x\)-Achse. Den Zusammenhang zwischen den Kartesischen Koordinaten \(x\) und \(y\) und den Polarkoordinaten \(r\) und \(\varphi\) kannnst du Abb. 1 entnehmen. Es ergibt sich\[\begin{array}{*{20}{c}}{x = r \cdot \cos \left( \varphi  \right)}\\{y = r \cdot \sin \left( \varphi  \right)}\end{array}\]Auch die Geschwindigkeitskoordinaten \(v_x = \dot x\) und \(v_y = \dot y\) kann man in Polarkoordinaten umrechnen. Mit Hilfe von Produktregel und Kettenregel ergibt sich\[\begin{array}{*{20}{c}}{\dot x = \dot r \cdot \cos \left( \varphi  \right) - r \cdot \sin \left( \varphi  \right) \cdot \dot \varphi }\\{\dot y = \dot r \cdot \sin \left( \varphi  \right) + r \cdot \cos \left( \varphi  \right) \cdot \dot \varphi }\end{array}\]bzw. mit der bekannten Winkelgeschwindigkeit \({\omega  = \dot \varphi }\)\[\begin{array}{*{20}{c}}{\dot x = \dot r \cdot \cos \left( \varphi  \right) - r \cdot \sin \left( \varphi  \right) \cdot \omega }\\{\dot y = \dot r \cdot \sin \left( \varphi  \right) + r \cdot \cos \left( \varphi  \right) \cdot \omega }\end{array}\]

Beschreibung der Gesamtenergie in Polarkoordinaten

Wir werden nun die Gesamtenergie \(E_{\rm{ges}}\) eines Trabanten bei seiner Bewegung um den Zentralkörper ebenfalls durch Polarkoordinaten ausdrücken. Folgende Punkte werden wir nutzen:

• Der Radius \(r\) aus dem Term für die potenzielle Energie ist bereits die Polarkoordinate \(r\).

• Das Geschwindigkeitsquadrat \({v^2} = v_x^2 + v_y^2\) aus der kinetischen Energie schreibt sich in Polarkoordinaten (den Beweis findest du in der Fußnote ³ weiter unten) \({v^2} = {{\dot r}^2} + {r^2} \cdot {\omega ^2} \quad (1)\).

• Der Drehimpuls \(\vec L\) hat den konstanten Betrag (den Beweis findest du in der Fußnote ⁴ weiter unten) \(L = m \cdot {r^2} \cdot \omega \quad (2)\).

Damit ergibt sich\[\begin{array}{*{20}{l}}{{E_{{\rm{ges}}}}}&{ = {E_{{\rm{kin}}}} + {E_{{\rm{pot}}}}}\\{}&{ = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}}\\{}&{\underbrace  = _{(1)}\frac{1}{2} \cdot m \cdot \left( {{{\dot r}^2} + {r^2} \cdot {\omega ^2}} \right) - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}}\\{}&{ = \frac{1}{2} \cdot \left( {m \cdot {{\dot r}^2} + m \cdot {r^2} \cdot {\omega ^2}} \right) - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}}\\{}&{ = \frac{1}{2} \cdot \left( {m \cdot {{\dot r}^2} + \frac{{{m^2} \cdot {r^4} \cdot {\omega ^2}}}{{m \cdot {r^2}}}} \right) - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}}\\{}&{\underbrace  = _{(2)}\frac{1}{2} \cdot \left( {m \cdot {{\dot r}^2} + \frac{{{L^2}}}{{m \cdot {r^2}}}} \right) - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}}\end{array}\]Weiter ergibt sich wegen \(L = m \cdot {r^2} \cdot \omega  \Leftrightarrow \omega  = \frac{L}{{m \cdot {r^2}}}\)\[\dot r = \frac{{dr}}{{dt}} = \frac{{dr}}{{d\varphi }} \cdot \frac{{d\varphi }}{{dt}} = \frac{{dr}}{{d\varphi }} \cdot \omega  = \frac{{dr}}{{d\varphi }} \cdot \frac{L}{{m \cdot {r^2}}}\quad(3)\]und damit für die Gesamtenergie\[\begin{array}{*{20}{l}}{{E_{{\rm{ges}}}}}&{\underbrace  = _{(3)}\frac{1}{2} \cdot \left( {m \cdot {{\left( {\frac{{dr}}{{d\varphi }} \cdot \frac{L}{{m \cdot {r^2}}}} \right)}^2} + \frac{{{L^2}}}{{m \cdot {r^2}}}} \right) - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}}\\{}&{ = \frac{1}{2} \cdot \left( {m \cdot \frac{{{L^2}}}{{{m^2} \cdot {r^4}}}{{\left( {\frac{{dr}}{{d\varphi }}} \right)}^2} + \frac{{{L^2}}}{{m \cdot {r^2}}}} \right) - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}}\\{}&{ = \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{{{L^2}}}{{m \cdot {r^4}}}{{\left( {\frac{{dr}}{{d\varphi }}} \right)}^2} + \frac{{{L^2}}}{{m \cdot {r^2}}}} \right) - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}}\end{array}\]Multiplizieren wir beide Seiten dieser Gleichung mit \(\frac{2}{m}\) erhalten wir\[\frac{{2 \cdot {E_{{\rm{ges}}}}}}{m} = \left( {\frac{{{L^2}}}{{{m^2} \cdot {r^4}}}{{\left( {\frac{{dr}}{{d\varphi }}} \right)}^2} + \frac{{{L^2}}}{{{m^2} \cdot {r^2}}}} \right) - 2 \cdot G \cdot M \cdot \frac{1}{r}\]Lösen wir die Gleichung dann nach \({\frac{{dr}}{{d\varphi }}}\) auf, so erhalten wir\[\frac{{dr}}{{d\varphi }} = \frac{{{m} \cdot {r^2}}}{L} \cdot \sqrt {\frac{{2 \cdot {E_{{\rm{ges}}}}}}{m} + 2 \cdot G \cdot M \cdot \frac{1}{r} - \frac{{{L^2}}}{{{m^2} \cdot {r^2}}}} \]Diese Gleichung lösen wir nun nach \(d\varphi\) auf und erhalten\[d\varphi  = \frac{{\frac{L}{{{m} \cdot {r^2}}}}}{{\sqrt {\frac{{2 \cdot {E_{{\rm{ges}}}}}}{m} + 2 \cdot G \cdot M \cdot \frac{1}{r} - \frac{{{L^2}}}{{{m^2} \cdot {r^2}}}} }} \cdot dr\]Jetzt setzen wir (warum wirst du später sehen)\[\alpha  = \sqrt {\frac{{2 \cdot {E_{{\rm{ges}}}}}}{m} + \frac{{{G^2} \cdot {M^2} \cdot {m^2}}}{{{L^2}}}} \;({\rm{konstant}})\;\;\;{\rm{und}}\;\;\;u = u(r) = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{L} - \frac{L}{{m \cdot r}}\]Jetzt gilt (den Beweis findest du in der Fußnote ⁵ weiter unten)\[d\varphi  = \frac{{\frac{L}{{{m \cdot r^2}}}}}{{\sqrt {{\alpha ^2} - {u^2}} }} \cdot dr\]

Integration der Bewegungsgleichung

Jetzt integrieren wir beide Seiten dieser Gleichung. Für die linke Seite ergibt sich leicht
\[\int_{\varphi_0}^{\varphi} \mathrm{d}\varphi'  = \varphi - \varphi_0\]
Mit der Substitution \(u: = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{L} - \frac{L}{{m \cdot r}}\) und damit
\[\frac{{du}}{{dr}} = \frac{L}{{m \cdot {r^2}}} \Leftrightarrow dr = \frac{{du}}{{\frac{L}{{m \cdot {r^2}}}}}\]
ergibt sich für die rechte Seite
\[\int_{r_0}^{r} \frac{\frac{L}{m \cdot {r'^2}}}{\sqrt {{\alpha ^2} - {u^2}}} \cdot \mathrm{d}r' =  \int_{u_0}^{u} \frac{\frac{L}{m \cdot {r'^2}}}{\sqrt {{\alpha ^2} - {u'^2}}} \cdot \frac{{\mathrm{d}u'}}{{\frac{L}{{m \cdot {r'^2}}}}} = \int_{u_0}^{u} \frac{1}{\sqrt {{\alpha ^2} - {u'^2}} } \mathrm{d}u'\]
In Tafelwerken findet man als Stammfunktion \(\arcsin \left( {\frac{u}{\alpha }} \right)\). Also ergibt sich die Gleichung
\[\begin{eqnarray}
\varphi - \varphi_0  &=& \arcsin \left( {\frac{u}{\alpha }} \right) - \arcsin \left( {\frac{u_0}{\alpha }} \right) \\
\varphi - \varphi_0 + \arcsin \left( {\frac{u_0}{\alpha }} \right)  &=& \arcsin \left( {\frac{u}{\alpha }} \right) \\
\varphi + k &=& \arcsin \left( {\frac{u}{\alpha}} \right) \\
\sin\left(\varphi + k\right) &=& \frac{u}{\alpha} \\
\sin\left(\varphi\right) \cos\left(k\right) + \sin\left(k\right) \cos\left(\varphi\right) &=& \frac{u}{\alpha} \\
\sin\left(\varphi\right) \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \cos\left(\varphi\right) &=& \frac{u}{\alpha} \\
0+\cos\left(\varphi\right) &=& \frac{u}{\alpha} \\
\cos\left(\varphi\right) &=& \frac{u}{\alpha}
\end{eqnarray}\]
Dabei haben wir oben eine neue Konstante \(k = \arcsin \left( {\frac{u_0}{\alpha }} \right) - \varphi_0\) definiert, welche die beiden festen Integrationsgrenzen enthält. Da die untere Integrationsgrenzen beliebig sind, wählen wir sie so, dass \(k = \arcsin \left( {\frac{u_0}{\alpha }} \right) - \varphi_0 = \frac{\pi}{2}\) ist. Damit folgt aus dem Additionstheorem für Sinus die letzte Gleichung.
Auflösen nach \(u\), Resubstitution und Auflösen nach \(r\) ergibt
\[\begin{eqnarray}\cos \left( \varphi  \right) &=& \frac{u}{\alpha }\\  \alpha  \cdot \cos \left( \varphi  \right) &=& u\\  \alpha  \cdot \cos \left( \varphi  \right) &=& \frac{{G \cdot M \cdot m}}{L} - \frac{L}{{m \cdot r}}\\  \frac{L}{{m \cdot r}} &=& \frac{{G \cdot M \cdot m}}{L} - \alpha  \cdot \cos \left( \varphi  \right)\\  \frac{{m \cdot r}}{L} &=& \frac{1}{{\frac{{G \cdot M \cdot m}}{L} - \alpha  \cdot \cos \left( \varphi  \right)}}\\  r &=& \frac{{\frac{L}{m}}}{{\frac{{G \cdot M \cdot m}}{L} - \alpha  \cdot \cos \left( \varphi  \right)}}\end{eqnarray}\]Diesen Term für \(r\) formen wir noch ein wenig um und erhalten\[\begin{eqnarray}r &=& \frac{{\frac{L}{m}}}{{\frac{{G \cdot M \cdot m}}{L} - \alpha  \cdot \cos \left( \varphi  \right)}}\\ &=& \frac{{\frac{L}{m}}}{{\frac{{G \cdot M \cdot m}}{L}\left( {1 - \frac{{\alpha  \cdot L}}{{G \cdot M \cdot m}} \cdot \cos \left( \varphi  \right)} \right)}}\\ &=& \frac{{\frac{{{L^2}}}{{{m^2} \cdot G \cdot M}}}}{{1 - \frac{{\alpha  \cdot L}}{{G \cdot M \cdot m}} \cdot \cos \left( \varphi  \right)}}\end{eqnarray}\]Nun setzen wir\[{p: = \frac{{{L^2}}}{{{m^2} \cdot G \cdot M}}\;\;\;{\rm{und}}\;\;\;\varepsilon : = \frac{{\alpha  \cdot L}}{{G \cdot M \cdot m}}}\]so dass sich für \(r\) ergibt\[r = \frac{p}{{1 - \varepsilon  \cdot \cos \left( \varphi  \right)}}\]

Nachweis der Ellipsenbahn

Wir betrachten nun eine Ellipse mit der großen Halbachse \(a: = \frac{p}{{1 - {\varepsilon ^2}}}\;(\rm{I})\), der kleinen Halbachse \(b: = \frac{p}{{\sqrt {1 - {\varepsilon ^2}} }}\;(\rm{II})\) und dem Abstand vom Mittelpunkt zu den Brennpunkten \(e: = a \cdot \varepsilon\;(\rm{III})\).

Aus \((\rm{I})\), \((\rm{II})\) und \((\rm{III})\) ergibt sich für diese Ellipse\[\begin{eqnarray}{a^2} - {b^2} &=& {\left( {\frac{p}{{1 - {\varepsilon ^2}}}} \right)^2} - {\left( {\frac{p}{{\sqrt {1 - {\varepsilon ^2}} }}} \right)^2} = \frac{{{p^2}}}{{{{\left( {1 - {\varepsilon ^2}} \right)}^2}}} - \frac{{{p^2}}}{{1 - {\varepsilon ^2}}} = \frac{{{p^2} - {p^2} \cdot \left( {1 - {\varepsilon ^2}} \right)}}{{{{\left( {1 - {\varepsilon ^2}} \right)}^2}}}\\ &=& \frac{{{p^2} \cdot {\varepsilon ^2}}}{{{{\left( {1 - {\varepsilon ^2}} \right)}^2}}} = \frac{{{p^2}}}{{{{\left( {1 - {\varepsilon ^2}} \right)}^2}}} \cdot {\varepsilon ^2} = {a^2} \cdot {\varepsilon ^2} = {\left( {a \cdot \varepsilon } \right)^2} = {e^2} \quad(\rm{IV})\end{eqnarray}\]Aus \((\rm{I})\) und \((\rm{II})\) ergibt sich\[\frac{{{b^2}}}{a} = \frac{{{{\left( {\frac{p}{{\sqrt {1 - {\varepsilon ^2}} }}} \right)}^2}}}{{\frac{p}{{1 - {\varepsilon ^2}}}}} = \frac{{\frac{{{p^2}}}{{1 - {\varepsilon ^2}}}}}{{\frac{p}{{1 - {\varepsilon ^2}}}}} = p \quad(\rm{V})\]Aus \((\rm{III})\) ergibt sich\[\varepsilon  = \frac{e}{a} \quad(\rm{VI})\]Aus \((\rm{V})\) und \((\rm{VI})\) ergibt sich\[r = \frac{p}{{1 - \varepsilon  \cdot \cos \left( \varphi  \right)}}\underbrace  = _{(\rm{V}),(\rm{VI})}\frac{{\frac{{{b^2}}}{a}}}{{1 - \frac{e}{a} \cdot \cos \left( \varphi  \right)}} = \frac{{\frac{{{b^2}}}{a}}}{{\frac{{a - e \cdot \cos \left( \varphi  \right)}}{a}}} = \frac{{{b^2}}}{{a - e \cdot \cos \left( \varphi  \right)}}\]und hieraus\[r = \frac{{{b^2}}}{{a - e \cdot \cos \left( \varphi  \right)}} \Leftrightarrow a - e \cdot \cos \left( \varphi  \right) = \frac{{{b^2}}}{r} \Leftrightarrow e \cdot \cos \left( \varphi  \right) = a - \frac{{{b^2}}}{r}\;(\rm{VII})\]

Im linken oberen Dreieck mit den Seitenlängen \(r\) und \(x\) gilt nach dem Satz von PYTHAGORAS\[{r^2} = {\left( {r \cdot \cos \left( \varphi  \right)} \right)^2} + {x^2} \Leftrightarrow {x^2} = {r^2} - {r^2} \cdot {\cos ^2}\left( \varphi  \right)\quad(\rm{VIII})\]Im rechten oberen Dreieck mit den Seitenlängen \(x\) und \(s\) gilt ebenfalls nach dem Satz von PYTHAGORAS\[{s^2} = {x^2} + {\left( {2 \cdot e - r \cdot \cos \left( \varphi  \right)} \right)^2}\]Nutzen wir nun \((\rm{VIII})\), \((\rm{IV})\) und \((\rm{VII})\), so erhalten wir\[\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{l}}{{s^2}}&{ = {x^2} + {{\left( {2 \cdot e - r \cdot \cos \left( \varphi  \right)} \right)}^2}}\\{}&{\underbrace  = _{(\rm{VIII})}\left( {{r^2}\;\underline { - \;{r^2} \cdot {{\cos }^2}\left( \varphi  \right)} } \right) + \left( {4 \cdot {e^2} - 4 \cdot e \cdot r \cdot \cos \left( \varphi  \right)\;\underline { + \;{r^2} \cdot {{\cos }^2}\left( \varphi  \right)} } \right)}\\{}&{ = 4 \cdot {e^2} - 4 \cdot e \cdot r \cdot \cos \left( \varphi  \right) + {r^2}}\\{}&{\underbrace  = _{(\rm{IV}),(\rm{VII})}4 \cdot {{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2} - 4 \cdot r \cdot \left( {a - \frac{{{b^2}}}{r}} \right) + {r^2}}\\{}&{ = 4 \cdot {a^2}\;\underline { - \;4 \cdot {b^2}}  - 4 \cdot r \cdot a\;\underline { + \;4 \cdot {b^2}}  + {r^2}}\\{}&{ = {{\left( {2 \cdot a - r} \right)}^2}}\end{array}\end{array}\]Damit ergibt sich\[s = 2 \cdot a - r\]und damit\[r + s = r + 2 \cdot a - r = 2 \cdot a\;{\rm{ist}}\;{\rm{konstant}}\]Da die Summe der beiden Streckenlängen \(r\) und \(s\) konstant ist, bewegt sich der Trabant nach der Definition auf einer Ellipse. Dies ist der zweite Teil der Ausage des ersten KEPLERschen Gesetzes.

Fußnoten

¹ Nachweis von \(\frac{d}{{dt}}\left( {\vec r \times \vec v} \right) = \vec r \times \vec a\)\[\begin{eqnarray}\frac{d}{{dt}}\left( {\vec r \times \vec v} \right) &=& \frac{d}{{dt}}\left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\\z\end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\dot x}\\{\dot y}\\{\dot z}\end{array}} \right)} \right)\\ &=& \frac{d}{{dt}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{y \cdot \dot z - z \cdot \dot y}\\{z \cdot \dot x - x \cdot \dot z}\\{x \cdot \dot y - y \cdot \dot x}\end{array}} \right)\\ &=& \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\dot y \cdot \dot z + y \cdot \ddot z - \left( {\dot z \cdot \dot y + z \cdot \ddot y} \right)}\\{\dot z \cdot \dot x + z \cdot \ddot x - \left( {\dot x \cdot \dot z + x \cdot \ddot z} \right)}\\{\dot x \cdot \dot y + x \cdot \ddot y - \left( {\dot y \cdot \dot x + y \cdot \ddot x} \right)}\end{array}} \right)\\ &=& \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\dot y \cdot \dot z + y \cdot \ddot z - \dot z \cdot \dot y - z \cdot \ddot y}\\{\dot z \cdot \dot x + z \cdot \ddot x - \dot x \cdot \dot z - x \cdot \ddot z}\\{\dot x \cdot \dot y + x \cdot \ddot y - \dot y \cdot \dot x - y \cdot \ddot x}\end{array}} \right)\\ &=& \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{y \cdot \ddot z - z \cdot \ddot y}\\{z \cdot \ddot x - x \cdot \ddot z}\\{x \cdot \ddot y - y \cdot \ddot x}\end{array}} \right)\\ &=& {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\\z\end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\ddot x}\\{\ddot y}\\{\ddot z}\end{array}} \right)}\\ &=& \vec r \times \vec a\end{eqnarray}\]

² Nachweis von \(\vec F\parallel \vec r \Rightarrow \vec r \times \vec F = \vec 0\)

Ist \(\vec F\parallel \vec r\), dann kann man \(\vec F\) schreiben als \(\vec F = k \cdot \vec r\). Damit ergibt sich\[\vec r \times \vec F = \vec r \times k \cdot \vec r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\\z\end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{k \cdot x}\\{k \cdot y}\\{k \cdot z}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{y \cdot k \cdot z - z \cdot k \cdot y}\\{z \cdot k \cdot x - x \cdot k \cdot z}\\{x \cdot k \cdot y - y \cdot k \cdot x}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\0\end{array}} \right) = \vec 0\]

³ Nachweis von \({v^2} = {{\dot r}^2} + {r^2} \cdot {{\omega }^2}\)

\[\begin{eqnarray}{v^2} &=&{{v_x}^2} + {{v_y}^2}\\ &=&{{\dot x}^2} + {{\dot y}^2}\\ &=& {\left( {\dot r \cdot \cos \left( \varphi  \right) - r \cdot \sin \left( \varphi  \right) \cdot \omega } \right)^2} + {\left( {\dot r \cdot \sin \left( \varphi  \right) + r \cdot \cos \left( \varphi  \right) \cdot \omega } \right)^2}\\ &=& {{\dot r}^2} \cdot {\cos ^2}\left( \varphi  \right)\underline { - 2 \cdot \dot r \cdot \cos \left( \varphi  \right) \cdot r \cdot \sin \left( \varphi  \right) \cdot \omega }  + {r^2} \cdot {\sin ^2}\left( \varphi  \right) \cdot {{\omega }^2} + {{\dot r}^2} \cdot {\sin ^2}\left( \varphi  \right)\underline { + 2 \cdot \dot r \cdot \sin \left( \varphi  \right) \cdot r \cdot \cos \left( \varphi  \right) \cdot \omega }  + {r^2} \cdot {\cos ^2}\left( \varphi  \right) \cdot {{\omega }^2}\\ &=& {{\dot r}^2} \cdot {\cos ^2}\left( \varphi  \right) + {{\dot r}^2} \cdot {\sin ^2}\left( \varphi  \right) + {r^2} \cdot {\sin ^2}\left( \varphi  \right) \cdot {{\omega }^2} + {r^2} \cdot {\cos ^2}\left( \varphi  \right) \cdot {{\omega }^2}\\ &=& {{\dot r}^2} \cdot {\underbrace {\left({{\cos }^2}\left( \varphi  \right) + {{\sin }^2}\left( \varphi  \right)\right)}_{ = \;1}} + {r^2} \cdot {{\omega }^2} \cdot {\underbrace {\left({{\cos }^2}\left( \varphi  \right) + {{\sin }^2}\left( \varphi  \right) \right)}_{ = \;1}}\\ &=& {{\dot r}^2} + {r^2} \cdot {{\omega }^2}\end{eqnarray}\]

⁴ Nachweis von \(L = m \cdot {r^2} \cdot \omega \)

\[\vec L = \vec r \times \vec p = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\\0\end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{m \cdot \dot x}\\{m \cdot \dot y}\\0\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\{x \cdot m \cdot \dot y - y \cdot m \cdot \dot x}\end{array}} \right)\]

\[\begin{eqnarray}L = {L_z} &=& x \cdot m \cdot \dot y - y \cdot m \cdot \dot x\\ &=& m \cdot r \cdot \cos \left( \varphi  \right) \cdot \left( {\dot r \cdot \sin \left( \varphi  \right) + r \cdot \cos \left( \varphi  \right) \cdot \omega } \right) - m \cdot r \cdot \sin \left( \varphi  \right) \cdot \left( {\dot r \cdot \cos \left( \varphi  \right) - r \cdot \sin \left( \varphi  \right) \cdot \omega } \right)\\ &=& m \cdot \left( {\underline {r \cdot \cos \left( \varphi  \right) \cdot \dot r \cdot \sin \left( \varphi  \right)}  + r \cdot \cos \left( \varphi  \right) \cdot r \cdot \cos \left( \varphi  \right) \cdot \omega \underline { - r \cdot \sin \left( \varphi  \right) \cdot \dot r \cdot \cos \left( \varphi  \right)}  + r \cdot \sin \left( \varphi  \right) \cdot r \cdot \sin \left( \varphi  \right) \cdot \omega } \right)\\ &=& m \cdot \left( {{r^2} \cdot {{\cos }^2}\left( \varphi  \right) \cdot \omega  + {r^2} \cdot {{\sin }^2}\left( \varphi  \right) \cdot \omega } \right)\\ &=& m \cdot {r^2} \cdot \omega  \cdot {\underbrace {\left({{\cos }^2}\left( \varphi  \right) + {{\sin }^2}\left( \varphi  \right)\right)}_{ = \;1}} \\ &=& m \cdot {r^2} \cdot \omega \end{eqnarray}\]

⁵ Nachweis von \({{\alpha ^2} - {u^2} = \frac{{2 \cdot {E_{{\rm{ges}}}}}}{m} + 2 \cdot G \cdot M \cdot \frac{1}{r} - \frac{{{L^2}}}{{{m^2 \cdot r^2}}}}\)

\[\begin{eqnarray}{\alpha ^2} - {u^2} &=& {{\sqrt {\frac{{2 \cdot {E_{{\rm{ges}}}}}}{m} + \frac{{{G^2} \cdot {M^2} \cdot {m^2}}}{{{L^2}}}}\;}^2} - {\left( {\frac{{G \cdot M \cdot m}}{L} - \frac{L}{{m \cdot r}}} \right)^2}\\ &=& \frac{{2 \cdot {E_{{\rm{ges}}}}}}{m} + \frac{{{G^2} \cdot {M^2} \cdot {m^2}}}{{{L^2}}} - \left( {\frac{{{G^2} \cdot {M^2} \cdot {m^2}}}{{{L^2}}} - 2 \cdot \frac{{G \cdot M \cdot m}}{L} \cdot \frac{L}{{m \cdot r}} + \frac{{{L^2}}}{{{m^2} \cdot {r^2}}}} \right)\\ &=& \frac{{2 \cdot {E_{{\rm{ges}}}}}}{m}\, \underbrace { + \, \frac{{{G^2} \cdot {M^2} \cdot {m^2}}}{{{L^2}}}\,  - \, \frac{{{G^2} \cdot {M^2} \cdot {m^2}}}{{{L^2}}}}_{ =\;0}  + 2 \cdot \frac{{G \cdot M}}{r} - \frac{{{L^2}}}{{{m^2} \cdot {r^2}}}\\ &=& \frac{{2 \cdot {E_{{\rm{ges}}}}}}{m} + 2 \cdot G \cdot M \cdot \frac{1}{r} - \frac{{{L^2}}}{{{m^2} \cdot {r^2}}}\end{eqnarray}\]