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Aufgabe

Spiralgalaxie M81 (Abitur BY 2003 GK A6-1)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

In der Nähe des Sternbilds "Großer Wagen" kann man bereits mit einem kleinen Teleskop die Spiralgalaxie M81 beobachten. Sie hat die scheinbare Helligkeit \(m_{\rm{M81}}=6{,}9\).

a)Der Winkel zwischen M81 und dem Himmelspol misst etwa \(21^{\circ}\). Ist M81 bei klarem Nachthimmel in Bayern das ganze Jahr über beobachtbar? Begründen Sie Ihre Antwort. (5 BE)

b)Das nebenstehende Diagramm zeigt Messpunke der Lichtkurve für den Cepheiden C27 in M81. Berechnen Sie damit die Entfernung von M81 in Lichtjahren. (10 BE)

Im zweiten Diagramm vergleicht man zwei Galaxien: M 81 und unsere Milchstraße. Aufgetragen sind die Umlaufgeschwindigkeiten \(v\) ihrer Sterne gegen den Abstand \(r\) vom Zentrum (Rotationskurven). Ab \(\approx 16\,\rm{kpc}\) kann man in beiden Galaxien kaum mehr optisch leuchtende Materie beobachten; hier bestimmt man Rotationsgeschwindigkeiten aus Beobachtungen im Radiobereich.

c)Umläuft ein Himmelskörper ein massereiches Zentrum, dann lässt sich aus seiner Bahngeschwindigkeit \(v\) und dem Bahnradius \(r\) die Zentralmasse \(M\) bestimmen. Zeigen Sie dass dafür die Beziehung \[ M = \frac{v^2 \cdot r}{G} \] gilt. (5 BE)

d)Zeigen Sie exemplarisch an Hand zweier ausgewählter Punkte des Diagramms, dass für die Rotationskurve von M81 ab \(r=10\,\rm{kpc}\) näherungsweise \( v \sim \frac{1}{\sqrt{r}} \) gilt. Was bedeutet dies für die Masseverteilung von M81? Schätzen Sie die Masse von M81 innerhalb des Bereichs der leuchtenden Materie in Sonnenmassen ab. (10 BE)

e)Die Rotationskurven von M81 und der Milchstraße unterscheiden sich für große Radien deutlich. Beschreiben Sie den Unterschied. Welche Folgerungen kann man daraus für die Masseverteilung in unserer Milchstraße ziehen? (5 BE)

f)Die Wellenlänge der Hα-Strahlung aus der Mitte des sichtbaren Bereiches von M81 wird auf der Erde zu \(\lambda_{\rm{M81}}=656{,}38\,\rm{nm}\) gemessen (zum Vergleich \(\lambda_{\rm{Labor}}=656{,}47\,\rm{nm}\)). Gehorcht M81 dem Hubblegesetz? Begründen Sie Ihre Antwort ohne Rechnung. (3 BE)

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a)Für einen Beobachter sind alle Objekte, deren Winkelabstand vom Himmelsnordpol kleiner als die geographische Breite j des Beobachtungsstandortes ist, zirkumpolar. Da in Bayern die Geographische Breite \(\varphi\) zwischen \(48^{\circ}\) und \(50^{\circ}\) deutlich über \(21^{\circ}\) ist, kann M81 da ganze Jahr beobachtet werden.

b)Aus dem Diagramm leist man ab: \[p=30\,\rm{d}\qquad \rm{und}\qquad \overline{m} = 22{,}3\] Aus der Perioden-Helligkeitsbeziehung für Cepheiden folgt: \[ \overline{M} = -1,67 -2,54 \cdot \log{\left( 30 \right)} = -5{,}42 \] Aus dem Entfernungsmodul ergibt sich: \[ \overline{m} - \overline{M} = 5 \cdot \log{\left( \frac{r}{10\rm{pc}}\right)} \Rightarrow r = 10^{\frac{\overline{m} - \overline{M}}{5}} \cdot 10\rm{pc} \\\\
r = 10^{\frac{22,3 + 5,42}{5}} \cdot 10\rm{pc} = 3,5 \cdot 10^6 \rm{pc} = 1,1 \cdot 10^7 \rm{Lj} \]

c)Es gilt\[ F_G = F_Z \Rightarrow G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2} = \frac{m \cdot v^2}{r} \Rightarrow M = \frac{v^2 \cdot r}{G} \]

d)Zahlenpaare aus dem Diagramm:
r1 = 10kpc und v1 = 225km/s sowie
r2 = 20kpc und v2 = 185km/s

Verhältnisse: \[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{225}{185} = 1,4 \text{ und } \frac{\sqrt{r_2}}{\sqrt{r_1}} = \sqrt{\frac{20}{10}} = 1,4 \Rightarrow v \sim \frac{1}{\sqrt{r}} \] Dies ist dasselbe Proportionalitätsverhalten, wie es in c) für eine einzige Zentralmasse bestimmt wurde, was bedeutet, dass praktisch die gesamte Masse der Galaxie M81 innerhalb von \(10\,\rm{kpc}\) ist. \[ m_{Galaxie} = \frac{\left( 210 \cdot 10^3 \frac{\rm{m}}{\rm{s}}\right)^2 \cdot 16 \cdot 10^3 \cdot 3,08 \cdot 10^{16} \rm{m}}{6,673 \cdot 10^{-11} \frac{\rm{m^3}}{\rm{kg \cdot s^2}}} = 3,26 \cdot 10^{41} \rm{kg} = 1,6 \cdot 10^{11} m_{Sonne} \] Nebenrechnung beim letzten Gleichheitszeichen: \[\rm{\frac{Masse~Galaxie}{Masse~Sonne}}\Rightarrow \frac{3,26 \cdot 10^{41} \rm{kg}}{1{,}98\cdot 10^{30}\,\rm{kg}}=1{,}6\cdot 10^{11}\]

e)Für große Radien ist bei der Milchstraße die Umlaufgeschwindigkeit nahezu konstant. Es müssen also beträchtliche (nichtleuchtende) Massen auch bei diesen Radien vorhanden sein.

f)Die Hα-Linie ist blauverschoben, weil \(\lambda_{\rm{M81}}<\lambda_{\rm{Labor}}\). M81 bewegt sich also auf uns zu statt, wie im Hubble-Gesetz gefordert von uns weg.