Kosmologie

a)Perioden-Helligkeits-Beziehung der Cepheiden: \[ M = -1,67 - 2,54 \cdot \log{\left(\frac{p}{1\rm{d}}\right)} \Rightarrow M = -1,67 - 2,54 \cdot \log{\left(\frac{39\rm{d}}{1\rm{d}}\right)} = -5,7 \] Entfernungsmodul: \[ m - M = 5 \cdot \log{\left(\frac{r}{10\rm{pc}}\right)} \Rightarrow r = 10 \rm{pc} \cdot \frac{m - M}{5} \Rightarrow r = 10 \rm{pc} \cdot 10^{\frac{18,7 + 5,7}{5}} = 7,6 \cdot 10^5 \rm{pc} = 2,5 \cdot 10^6 \rm{Lj} \]

b)Doppler-Effekt mit Δλ₁ = - 0,79 nm und Δλ₁ = 0,18 nm \[ \begin{array}{} v = \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \cdot c \Rightarrow \\\\ v_1 = \frac{-0,79}{656,47} \cdot 3,0 \cdot 10^8 \frac{\rm{m}}{\rm{s}} = -3,6 \cdot 10^2 \frac{\rm{km}}{\rm{s}} \\\\ v_2 = \frac{0,18}{656,47} \cdot 3,0 \cdot 10^8 \frac{\rm{m}}{\rm{s}} = 82 \frac{\rm{km}}{\rm{s}} \\\\ v = 0,5 \cdot (v_1 + v_2) = 0,5 \cdot (-3,6 \cdot 10^7 \rm{km/s} + 82 \rm{km/s}) = -1,4 \cdot 10^2 \rm{km/s} \end{array} \]Die Galaxie bewegt sich mit -1,4·10² km/s auf die Milchstraße zu.

c)Für den Winkeldurchmesser α gilt: \( \tan{\left( \frac{\alpha}{2} \right)} = \frac{1,1 \cdot 10^5}{2,5 \cdot 10^6} \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = 2,5^{\circ} \Rightarrow \alpha = 5^{\circ} \)

Für den Winkeldurchmesser β des Mondes gilt: \( \tan{\left( \frac{\beta}{2} \right)} = \frac{0,273 \cdot R_E}{60,3 \cdot R_E} \Rightarrow \beta = 0,52^{\circ} \)

Der Winkeldurchmesser der Andromeda-Galaxie ist also etwa 10 mal so groß wie der des Mondes.

d)Für die Sterngeschwindigkeit v_X gilt: v_X = v - v₁ => v_X = 2,2·10² km/s.

Für die Umlaufdauer T gilt \[ T = \frac{2 \pi r}{v_X} \Rightarrow T = \frac{2 \cdot \pi \cdot 1,1 \cdot 10^5 \cdot 9,46 \cdot 10^{15} \rm{m}}{2,2 \cdot 10^5 \rm{m/s}} = 2,97 \cdot 10^{16} \rm{s} = 9,4 \cdot 10^8 \rm{a} \]

e)Kraftansatz: Gravitationskraft = Zentralkraft \[ G \cdot \frac{M_A \cdot m_X}{r_X^2} = \frac{m_X \cdot v_X^2}{r_X} \Rightarrow G \cdot \frac{M_A}{r_X} = v_X^2 \]Im Vergleich zur Erde: \[ \begin{array}{} \frac{G}{G} \cdot \frac{M_A \cdot r_E}{M_S \cdot r_X} = \frac{v_X^2}{v_E^2} \Rightarrow M_A = \left( \frac{v_X}{v_E} \right)^2 \cdot \frac{r_X}{r_E} \cdot M_S \Rightarrow \\\\ M_A = \left( \frac{2,2 \cdot 10^7 \frac{\rm{km}}{\rm{s}} \cdot 3600 \cdot 24 \cdot 365 \rm{s}}{2 \cdot 1,5 \cdot 10^8 \rm{km} \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1,1 \cdot 10^5 \cdot 6,32 \cdot 10^4 \rm{AE}}{1\rm{AE}} \cdot M_S = 3,8 \cdot 10^{11} \cdot M_S \end{array} \]

f)Galaxien entfernen sich voneinander nach der Beziehung von Hubble. Je weiter sie entfernt sind um so größer ist ihre Fluchtgeschwindigkeit: v = H₀·r.

Die Andromeda-Galaxie gehört zur Lokalen Gruppe, das sind Galaxien eines Galaxienhaufens, dem auch die Milchstraße angehört, die sich gegenseitig umkreisen. Daher entfernt sich die Andromeda-Galaxie nicht von der Milchstraße.