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Aufgabe

Andromeda-Galaxie (Abitur BY 2008 GK A6-2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Die Andromeda-Galaxie ist eine Scheibengalaxie, die der Milchstraße ähnlich ist. Für die folgenden Überlegungen soll von einer kreisförmigen Scheibe ausgegangen werden. Zusätzlich darf stark vereinfachend angenommen werden, dass die Blickrichtung zur Andromeda-Galaxie in der Scheibenebene liegt und dass die Erde relativ zum Zentrum der Milchstraße ruht.

Die Helligkeitsschwankungen eines bestimmten δ-Cephei-Sterns in der Andromeda-Galaxie besitzen eine Periodendauer von 39 Tagen. Die mittlere scheinbare Helligkeit des Sterns beträgt 18,7.

a)Ermitteln Sie die Entfernung r der Andromeda-Galaxie von unserem Sonnensystem in Lichtjahren. [Zur Kontrolle: r = 2,5·106 Lj] (6 BE)

Die Laborwellenlänge der Hα-Linie von Wasserstoff beträgt 656,47 nm. Für denjenigen Rand der Andromeda Galaxie, der sich auf Grund der Scheibenrotation auf die Erde zu bewegt, ermittelt man für die Hα-Linie eine Wellenlänge von 655,68nm. Für den anderen Rand, der sich von der Erde weg bewegt, ergeben sich 656,65 nm.

b)Untersuchen Sie, ob sich die Andromeda-Galaxie insgesamt auf die Milchstraße zu oder von ihr weg bewegt. Berechnen Sie den Geschwindigkeitsbetrag v dieser Gesamtbewegung. [Zur Kontrolle: v = 1,4·102 km/s] (7 BE)

Der Stern X im Randbereich der Andromeda-Galaxie ist 1,1·105 Lj vom Zentrum der Galaxie entfernt.

c)Berechnen Sie den Winkel, unter dem ein Beobachter von der Erde aus die Galaxienscheibe sieht. Vergleichen Sie diesen Winkel mit dem Winkeldurchmesser des Mondes. (4 BE)

d)Zeigen Sie, dass der Stern X für einen vollen Umlauf um das Zentrum der Galaxie auf einer kreisförmigen Bahn 9,4·108 Jahre braucht. (5 BE)

e)Schätzen Sie durch Rechnung die Gesamtmasse der Andromeda-Galaxie ab und geben Sie diese in Vielfachen der Sonnenmasse an. (6 BE)

f)Geben Sie an, nach welcher Gesetzmäßigkeit sich weit entfernte Galaxien relativ zur Milchstraße bewegen und begründen Sie, warum die Andromeda-Galaxie ein anderes Verhalten zeigt. (4 BE)

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a)Perioden-Helligkeits-Beziehung der Cepheiden: \[ M = -1,67 - 2,54 \cdot \log{\left(\frac{p}{1\rm{d}}\right)} \Rightarrow M = -1,67 - 2,54 \cdot \log{\left(\frac{39\rm{d}}{1\rm{d}}\right)} = -5,7 \] Entfernungsmodul: \[ m - M = 5 \cdot \log{\left(\frac{r}{10\rm{pc}}\right)} \Rightarrow r = 10 \rm{pc} \cdot \frac{m - M}{5} \Rightarrow r = 10 \rm{pc} \cdot 10^{\frac{18,7 + 5,7}{5}} = 7,6 \cdot 10^5 \rm{pc} = 2,5 \cdot 10^6 \rm{Lj} \]

b)Doppler-Effekt mit Δλ1 = - 0,79 nm und Δλ1 = 0,18 nm \[ \begin{array}{} v = \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \cdot c \Rightarrow \\\\ v_1 = \frac{-0,79}{656,47} \cdot 3,0 \cdot 10^8 \frac{\rm{m}}{\rm{s}} = -3,6 \cdot 10^2 \frac{\rm{km}}{\rm{s}} \\\\ v_2 = \frac{0,18}{656,47} \cdot 3,0 \cdot 10^8 \frac{\rm{m}}{\rm{s}} = 82 \frac{\rm{km}}{\rm{s}} \\\\ v = 0,5 \cdot (v_1 + v_2) = 0,5 \cdot (-3,6 \cdot 10^7 \rm{km/s} + 82 \rm{km/s}) = -1,4 \cdot 10^2 \rm{km/s} \end{array} \]Die Galaxie bewegt sich mit -1,4·102 km/s auf die Milchstraße zu.

c)Für den Winkeldurchmesser α gilt: \( \tan{\left( \frac{\alpha}{2} \right)} = \frac{1,1 \cdot 10^5}{2,5 \cdot 10^6} \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = 2,5^{\circ} \Rightarrow \alpha = 5^{\circ} \)

Für den Winkeldurchmesser β des Mondes gilt: \( \tan{\left( \frac{\beta}{2} \right)} = \frac{0,273 \cdot R_E}{60,3 \cdot R_E} \Rightarrow \beta = 0,52^{\circ} \)

Der Winkeldurchmesser der Andromeda-Galaxie ist also etwa 10 mal so groß wie der des Mondes.

d)Für die Sterngeschwindigkeit vX gilt: vX = v - v1 => vX = 2,2·102 km/s.

Für die Umlaufdauer T gilt \[ T = \frac{2 \pi r}{v_X} \Rightarrow T = \frac{2 \cdot \pi \cdot 1,1 \cdot 10^5 \cdot 9,46 \cdot 10^{15} \rm{m}}{2,2 \cdot 10^5 \rm{m/s}} = 2,97 \cdot 10^{16} \rm{s} = 9,4 \cdot 10^8 \rm{a} \]

e)Kraftansatz: Gravitationskraft = Zentralkraft \[ G \cdot \frac{M_A \cdot m_X}{r_X^2} = \frac{m_X \cdot v_X^2}{r_X} \Rightarrow G \cdot \frac{M_A}{r_X} = v_X^2 \]Im Vergleich zur Erde: \[ \begin{array}{} \frac{G}{G} \cdot \frac{M_A \cdot r_E}{M_S \cdot r_X} = \frac{v_X^2}{v_E^2} \Rightarrow M_A = \left( \frac{v_X}{v_E} \right)^2 \cdot \frac{r_X}{r_E} \cdot M_S \Rightarrow \\\\ M_A = \left( \frac{2,2 \cdot 10^7 \frac{\rm{km}}{\rm{s}} \cdot 3600 \cdot 24 \cdot 365 \rm{s}}{2 \cdot 1,5 \cdot 10^8 \rm{km} \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1,1 \cdot 10^5 \cdot 6,32 \cdot 10^4 \rm{AE}}{1\rm{AE}} \cdot M_S = 3,8 \cdot 10^{11} \cdot M_S \end{array} \]

f)Galaxien entfernen sich voneinander nach der Beziehung von Hubble. Je weiter sie entfernt sind um so größer ist ihre Fluchtgeschwindigkeit: v = H0·r.

Die Andromeda-Galaxie gehört zur Lokalen Gruppe, das sind Galaxien eines Galaxienhaufens, dem auch die Milchstraße angehört, die sich gegenseitig umkreisen. Daher entfernt sich die Andromeda-Galaxie nicht von der Milchstraße.