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Aufgabe

Sternbild Pegasus (Abitur BY 2006 GK A6-2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Ein am Herbsthimmel auffälliges Sternviereck (das sogenannte Herbstviereck) wird im wesentlichen von Sternen des Sternbilds Pegasus (siehe Abbildung) gebildet. Der Sage nach ist Pegasus ein geflügeltes Pferd. Die "Nase" des Pferdekopfes wird durch den Stern Enif (ε Peg) markiert. Von diesem Stern sind folgende Daten bekannt: Mittlere scheinbare Helligkeit: \(2{,}4\); Mittelere absolute Helligkeit: \(-4{,}2\); Oberflächentemperatur: \(5{,}0 \cdot {10^3}{\rm{K}}\).

a)Berechne die Entfernung des Sternes Enif in Lichtjahren. (4 BE)

b)Berechne die Leuchtkraft und den Radius von Enif jeweils im Vergleich zur Sonne. [Zur Kontrolle: \({{L_{\rm{E}}} = 4,0 \cdot {{10}^3} \cdot {L_{\rm{S}}}}\); \({R_{\rm{E}}} = 85 \cdot {R_{\rm{S}}}\)] (7 BE)

c)Zeichne in ein HERTZSPRUNG-RUSSEL-Diagramm die Hauptreihe sowie die Positionen der Sonne und des Sterns Enif ein.

Gib an, in welchem Entwicklungsstadium sich Enif befindet.

Erläutere, wodurch sich der Aufbau von Enif von dem der Sonne unterscheidet. (10 BE)

Es wird erwartet, dass die Entwicklung von Enif in den nächsten Millionen Jahren zu einer Supernove führt.

d)Erläutere kurz den Verlauf einer Supernova.(5 BE)

e)Nenne mögliche Endstadien von Enif. Erläutere, unter welcher grundlegenden Bedingung sich das jeweilige Endstadium einstellt. (4 BE)

In der Nähe von Enif findet man den Kugelsternhaufen M15, der \(40 \cdot {10^3}{\rm{Lj}}\) von der Erde entfernt ist.

f)Eine Methode zur Entfernungsbestimmung astronomischer Objekte verwendet die trigonometrische Parallaxe. Erläutere diese Methode und begründe, warum sie für den Kugelsternhaufen M15 nicht anwendbar ist. (6 BE)

g)M15 besteht aus etwa 200 000 Sonnen. Untersuche, ob man den Kugelsternhaufen von der Erde aus bei guten Sichtbedingungen auch mit bloßem Auge erkennen kann. Schätze dazu die scheinbare Helligkeit von M15 ab. (8 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Berechnung mit Hilfe des Entfernungsmoduls:
\[m - M = 5 \cdot \lg \left( {\frac{r}{{10{\rm{pc}}}}} \right) \Leftrightarrow r = {10^{\frac{{m - M}}{5}}} \cdot 10\,{\rm{pc}} \Rightarrow r = {10^{\frac{{2{,}4 - ( - 4{,}2)}}{5}}} \cdot 10\,{\rm{pc}} = 209\,{\rm{pc}} = 681\,{\rm{Lj}}\]

b)Das Verhältnis der Leuchtkraft ergibt sich aus \[\frac{{{L_{\rm{E}}}}}{{{L_{\rm{S}}}}} = {q^{{M_{\rm{S}}} - {M_{\rm{E}}}}}\] \[\Rightarrow \frac{{{L_{\rm{E}}}}}{{{L_{\rm{S}}}}} = {2{,}512^{4{,}8 - ( - 4{,}2)}} = 4{,}0 \cdot {10^3}\]Die Leuchtkraft von Enif ist also 4000mal größer als die der Sonne.
Nach dem Gesetz von STEFAN und BOLTZMANN erhält man
\[\frac{{{L_{\rm{E}}}}}{{{L_{\rm{S}}}}} = \frac{{\sigma  \cdot 4 \cdot R_{\rm{E}}^2 \cdot \pi  \cdot T_{\rm{E}}^4}}{{\sigma  \cdot 4 \cdot R_{\rm{S}}^2 \cdot \pi  \cdot T_{\rm{S}}^4}} \Rightarrow \frac{{{R_{\rm{E}}}}}{{{R_{\rm{S}}}}} = \sqrt {\frac{{{L_{\rm{E}}} \cdot T_{\rm{S}}^4}}{{{L_{\rm{S}}} \cdot T_{\rm{E}}^4}}}\] \[\Rightarrow \frac{{{R_{\rm{E}}}}}{{{R_{\rm{S}}}}} = \sqrt {\frac{{4,0 \cdot {{10}^3} \cdot {{5800}^4}}}{{1 \cdot {{5000}^4}}}}  = 85\]Der Radius von Enif ist also 85mal größer als der Radius der Sonne.

c)Enif befindet sich im Riesenstadium. Der Kern ist inzwischen zu Helium fusioniert und weiter verdichtet und fusioniert dort weiter zu Kohlenstoff und eventuell Eisen. Außen um den Kern Schalenbrennen von Wasserstoff zu Helium. Die äußere Hülle ist stark aufgebläht.

In der Sonne fusioniert, wie auf allen Sternen der Hauptreihe im Inneren Wasserstoff zu Helium.

d)Bei Sternen mit einer Kernmasse von mehr als \(1{,}4\) Sonnenmassen laufen Fusionsreaktionen bis zu Eisen ab. Diese drücken, da innen keine Kernfusionen mehr stattfinden, den Kern so zusammen, dass er zum Neutronenstern wird, dessen Dichte der Dichte von Atomkernen entspricht. Die bei diesem Gravitationskollaps entstehende riesige Energie wird innerhalb sehr kurzer Zeit freigesetzt und führt zur Supernova - Explosion, bei der das Hüllengas mit etwa \(10\% \) der Lichtgeschwindigkeit freigesetzt wird und außerdem höhere Elemente als Eisen durch Neutronenanlagerungsreaktionen entstehen.

e)Enif kann entweder zum Neutronenstern werden, wenn die Restmasse größer als \(1{,}4\) Sonnenmassen und kleiner als \(3\) Sonnenmassen ist. Ist die Restmasse größer als \(3\) Sonnenmassen, so entsteht nach heutiger Theorie ein schwarzes Loch.

f)Bei der Entfernungsbestimmung mittels trigonometrischer Parallaxe beobachtet man die scheinbare jährliche Parallaxenellipse vor dem Sternenhintergrund und misst den Winkel \(p\) aus, unter dem man ihre große Halbachse sieht. Es ist dies die Projektion der Erdbahn auf den Sternenhintergrund durch den Sternpunkt. Es gilt dann für das Bogenmaß von \(p\)
\[ p = \frac{1\,\rm{AE}}{r} \]
Bei einem Auflösungsvermögen von ca. \(0,01''\) ist die Methode nur bis ca. \(100{\rm{pc}}\), also etwa 300 Lichtjahre anwendbar, also nicht für das deutlich weiter entfernte M15.

g)Die absolute Helligkeit des Kugelsternhaufens beträgt \[{M_{\rm{K}}} = {M_{\rm{S}}} - 2,5 \cdot \lg \left( {\frac{{{L_{\rm{K}}}}}{{{L_{\rm{S}}}}}} \right) \Rightarrow {M_{\rm{K}}} = 4,8 - 2,5 \cdot 200000 =  - 8,5\]
Wegen
\[40 \cdot {10^3}{\rm{Lj}} = \frac{{40 \cdot {{10}^3}}}{{3,26}}{\rm{pc}} = 12,3 \cdot {10^3}{\rm{pc}}\]
ergibt sich
\[{m_{\rm{K}}} = {M_{\rm{K}}} + 5 \cdot \lg \left( {\frac{r}{{10{\rm{pc}}}}} \right) \Rightarrow {m_{\rm{K}}} =  - 8,5 + 5 \cdot \lg \left( {\frac{{12,3 \cdot {{10}^3}{\rm{pc}}}}{{10{\rm{pc}}}}} \right) \approx 7\]
Mit bloßem Auge kann man nur Objekte bis \(m = 6\) sehen, also den Kugelsternhaufen gerade nicht mehr.