Astronomie

Fixsterne

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  • Wie wird ein Stern geboren?
  • Was ist ein Roter Riese …
  • … und was ein Weißer Zwerg?
  • Wie entstehen eigentlich Schwarze Löcher?

Sonnenähnlicher Stern (Abitur BY 2007 GK A6-1)

Aufgabe

Der Stern τ Cet im Sternbild Walfisch (Cetus) ist der uns am nächsten gelegene sonnenähnliche Stern, um den man eine Scheibe aus Staub aufgespürt hat. Er wird deshalb als besonders interessanter Anwärter für Exoplaneten (Planeten außerhalb unseres Sonnensystems) gesehen.

Angaben zu τ Cet:
Spektralklasse G8
Absolute Helligkeit \(M=5{,}7\)
Jährliche trigonometrische Parallaxe \(0{,}28''\)
Innerhalb von 50 Jahren verschiebt sich seine Position an der Himmelsphäre um \(\mu=96''\) gegenüber den weit entfernten Hintergrundsternen.
Im Spektrum des Sterns ergibt sich für die Hα-Linie (Laborwellenlänge \(\lambda=656{,}279\,\rm{nm}\)) eine Wellenlänge von \(\lambda=656{,}244\,\rm{nm}\).

a)Zeigen Sie, dass τ Cet 12 Lichtjahre von uns entfernt ist. (3 BE)

b)Beurteilen Sie, ob wir τ Cet bei guten Sichtverhältnissen von der Erde aus mit bloßem Auge beobachten können. (4 BE)

c)Berechnen Sie den Betrag der Tangentialgeschwindigkeit von τ Cet. (5 BE)

d)Ermitteln Sie auch den Betrag der Radialgeschwindigkeit des Sterns. Bewegt sich τ Cet auf uns zu oder von uns weg? (4 BE)

e)In welcher Entfernung müsste ein Planet um τ Cet kreisen, damit die Bestrahlungsstärke auf diesem Planeten so groß ist wie die von der Sonne verursachte Bestrahlungsstärke auf der Erde? (8 BE)

f)Begründen Sie, dass es sich bei τ Cet um einen Hauptreihenstern handelt. (3 BE)

g)Auch im Kern des Sterns τ Cet wird die Wasserstoff-Fusion nach entsprechender Zeit zum Erliegen kommen. Beschreiben Sie die weitere Entwicklung, die der Stern dann durchlaufen wird. (6 BE)

Lösung

a)Entfernungsbestimmung mittels trigonometrischer Parallaxe: \[ r= \frac{1" \cdot 1 pc}{p} \Rightarrow r = \frac{1" \cdot 1 pc}{0,28"} = 3,57 pc = 12 Lj \]

b)Bestimmung der relativen Helligkeit mit dem Entfernungsmodul: \[ m - M = 5 \cdot \log{\frac{r}{10\,\rm{pc}}} \Rightarrow m = 5 \cdot \log{\frac{3{,}57\,\rm{pc}}{10\,\rm{pc}}} + 5{,}7 = 3{,}5 \] Da die relative Helligkeit kleiner als 6 (Grenze der Sichtbarkeit mit freiem Auge) ist, könnte man ihn beobachten.

c)Die in \(\Delta t = 50\,\rm{a}\) zurückgelegte tangentiale Wegkomponente ist \(\delta s_{\rm t}=r\cdot \mu\), mit der Eigenbewegung \(\mu= 96''\) im Bogenmaß. \[ v_t = \frac{\Delta s_t}{\Delta t} = \frac{12 \cdot 9,46 \cdot 10^{15}\,\rm{m} \cdot 96 \cdot 2 \pi}{360 \cdot 3600 \cdot 50 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600\,\rm{s}} = 3{,}4 \cdot 10^4\,\rm{\frac{m}{s}}\]

d)Da die Wellenlänge der verschobenen Linie kleiner ist als die Laborwellenlänge bewegt sich τ Cet auf uns zu.
Die Radialgeschwindigkeit berechnet man mittels Dopplereffekt:
\[v_r = \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \cdot c \Rightarrow v_r = \frac{0{,}035\,\rm{nm}}{656{,}279\,\rm{nm}} \cdot 3{,}0 \cdot 10^8\,\rm{\frac{m}{s}} = 1{,}6 \cdot 10^4\,\rm{\frac{m}{s}}\]

e)Die Leuchtkraft L von τ Cet ergibt sich durch Vergleich der Leuchtkräfte und absoluten Helligkeiten mit der Sonne: \[ L_{\tau - Cet} = q^{M_{Sonne} - M_{\tau - Cet}} \cdot L_{Sonne}\] \[\Rightarrow L_{\tau - Cet} = 2{,}512^{4,8-5,7} \cdot 3{,}82 \cdot 10^{26}\,\rm{W} = 1{,}67 \cdot 10^{26}\,\rm{W}\] Die Bestrahlungsstärke ist gleich der Solarkonstante auf der Erde. \[ S = \frac{L}{4 \pi r^2} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{L}{4 \pi \cdot S}}\] \[\Rightarrow r = \sqrt{\frac{1{,}67 \cdot 10^{26}\,\rm{W}}{4 \pi \cdot 1360\,\rm{Wm}^{-2}}} = 9{,}9 \cdot 10^{10}\,\rm{m}=0{,}66\,\rm{AE} \]

f)Da sowohl die Leuchtkraft als auch die Spektralklasse sich nur unwesentlich von denen der Sonne unterscheiden, handelt es sich wie bei der Sonne um einen Hauptreihenstern.

g)Wenn der Wasserstoffvorrat des Kerns (ca. 10% der Sternmasse) in Helium ungewandelt ist, schiebt sich die Zone des "Wasserstoffbrennens" weiter nach außen.
Die Außenschichten des Sterns werden aufgeheizt und blähen sich auf, wodurch die Oberfläche größer und kühler wird obwohl die Gesamtstrahlung nicht geringer wird.
Der Stern wird zum Roten Riesen, dessen Radius etwa 100 mal so groß ist wie der derzeitige Sternradius.
Gleichzeitig verdichtet sich der Kern immer mehr, weil die geringere zentrale Fusionsrate einen geringeren Gasdruck zur Folge hat, der Gravitationsdruck aber nicht nachläßt.
Durch diese Kontraktion heizt sich der Kern auf ca. 100 Millionen Kelvin auf. Bei diesen Temperaturen kann das Helium, was bisher nicht verwertbares Endprodukt der H-Fusion war, zu höheren Elementen, vorallem Kohlenstoff weiter verschmelzen. Das Ende dieser Fusionskette ist beim Eisen erreicht.
Diese höheren Prozesse sind energetisch nicht so ergiebig wie die primäre H-Fusion. Deshalb ist das Riesenstadium auch wesentlich kürzer als das Hauptreihenstadium.
Zuletzt stößt der Stern seine Hülle weg und verbleibt als weißer Zwerg, der langsam erkaltet.