Teil 1) Der französische Astronom Charles Messier gab 1784 einen Katalog nebelhaft erscheinender Himmelsobjekte heraus. Unter ihnen befanden sich vier so genannte Planetarische Nebel. Nach heutigem Wissen handelt es sich bei einem solchen Objekt um die äußere Gashülle, die von einem heißen Zentralstern abgestoßen wurde und von ihm zum Leuchten angeregt wird.
a)Durch weitere Beobachtungen konnten den Nebelflecken des Messierkataloges außer den planetarischen Nebeln noch andere Typen astronomischer Objekte zugeordnet werden. Erläutern Sie für zwei dieser anderen Typen deren prinzipielle Natur. (4 BE)
b)Einer der bekanntesten Planetarischen Nebel ist M57, der Ringnebel im Sternbild Leier (vergleiche nebenstehende Fotographie). Zeitlich versetzte Aufnahmen zeigen, dass sich der Ringnebel gleichmäßig ausdehnt. Der große Durchmesser dieses Ringnebels beträgt derzeit \(77''\). Berechnen Sie das Alter von M57 unter der Annahme, dass der große Durchmesser um \(0{,}70''\) pro Jahrhundert zugenommen hat. [Zur Kontrolle: \(1{,}1\cdot 10^4\,\rm{a}\)] (3 BE)
c)Erläutern Sie, wie man prinzipiell aus gemessenen Dopplerverschiebungen von Spektrallinien Radialgeschwindigkeiten von Himmelskörpern ermitteln kann. (5 BE)
d)Mit Hilfe der Dopplerverschiebung hat man die Expansionsgeschwindigkeit der Gashülle gegenüber dem Zentralgestirn zu \(v_{\rm{exp}}=12\,\rm{\frac{km}{s}}\) ermittelt. Bestimmen Sie damit die wahre Ausdehnung des Gasrings und vergleichen Sie Ihr Ergebnis größenordnungsmäßig mit den Entfernungen der nächsten Fixsterne. [Zur Kontrolle: \(0{,}88\,\rm{Lj}\)] (5 BE)
e)Nehmen Sie in einem stark vereinfachten Modell an, dass die aus einer Fotografie ermittelte Winkelausdehnung von \(77''\) die gesamte Ausdehnung des Gasnebels darstellt. Berechnen Sie daraus die Entfernung des M57 von der Erde in Lichtjahren. (4 BE)
Teil 2) Für die Entfernung von M57 werde \(2{,}4\cdot 10^3\,\rm{Lj}\) angenommen.
a)Der Zentralstern des Ringnebels hat eine scheinbare Helligkeit von \(m=14{,}7\). Berechnen Sie seine absolute Helligkeit und seine Leuchtkraft L in Vielfachen der Sonnenleuchtkraft. (Zur Kontrolle: \(L=0{,}59\cdot L_{\rm S}\)] (7 BE)
b)Das Strahlungsmaximum des Zentralsterns liegt weit im Ultravioletten bei einer Wellenlänge von \(\lambda=3{,}9\cdot 10^{-8}\,\rm{m}\). Berechnen Sie die Oberflächentemperatur \(T\) und den Radius \(R\) des Zentralsterns. [Zur Kontrolle: \(T = 7{,}4\cdot 10^4\,\rm{K}; R=3{,}3\cdot 10^3\,\rm{km}\)](8 BE)
c)Begründen Sie mit den Ergebnissen von Teilaufgabe 2b), dass es sich beim Zentralstern von M57 um einen Stern handelt, der sich zu einem Weißen Zwerg entwickelt. Was ist die momentane energetische Quelle seiner Leuchtkraft? Erläutern Sie, wie sich die Leuchtkraft qualitativ mit der Zeit ändern wird. (6 BE)
d)Weiße Zwerge haben eine typische Masse von 0,6 Sonnenmassen. Welche Masse hat daher im Mittel 1 cm3 der Materie des Zentralsterns unter der Annahme, dass seine Masse der eines weißen Zwerges entspricht. (4 BE)
e)Fertigen Sie ein Hertzsprung-Russel-Diagramm mit den zugehörigen Achseneinteilungen an. Zeichnen Sie darin die Hauptreihe, den Ort der Sonne und des Zentralsterns von M57 sowie die Bereiche der Roten Riesen und der Weißen Zwerge ein. (8 BE)
f)Der Zentralstern von M57 hat ca. 20% seiner ursprünglichen Masse an den Planetarischen Nebel abgegeben. Berechnen Sie die Leuchtkraft, die er als Hauptreihenstern hatte, als Vielfaches der Sonnenleuchtkraft. Zeichnen Sie den Ort dieses ursprünglichen Hauptreihensterns in das obige Hertzsprung-Russel-Diagramm ein. Skizzieren Sie dort auch die Entwicklung des Zentralsterns von der Hauptreihe bis zum erwarteten Endzustand. (6 BE)
a)Kugelsternhaufen: Kompakte Ansammlung mehrerer hundert bis tausend Sterne auf engem Raum
Galaxien: Weit entfernte Milchstraßensysteme
b)Das Alter ergibt sich aus: \[ t = \frac{s}{v} \Rightarrow t = \frac{77''}{\frac{0{,}70''}{100\,\rm{a}}} = 11000\,\rm{a} \]
c)Man bestimmt die Wellenlänge \(\lambda'\) der verschobenen Linie aus dem Sternspektrum und die Wellenlänge der unverschobenen Linie \(\lambda_0\) aus dem Labor. Damit kann man die Geschwindigkeit \(v\) mittels der Formel \( v = \frac{\lambda' - \lambda_0}{\lambda_0} \cdot c \) im nichtrelativistischen Fall berechnen.
d)Für die wahre Ausdehnung gilt \( D = v_{Exp} \cdot t \cdot 2\). Damit folgt \[D = 1{,}2 \cdot 10^4\,\rm{\frac{m}{s}} \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600\,\rm{s} \cdot 2 = 8{,}32 \cdot 10^{15}\,\rm{m}= 0{,}88\,\rm{Lj}\]Die Ausdehnung ist vergleichbar mit der Entfernung der nächsten Fixsterne zur Erde.
e)Es gilt \[ \tan{\varphi} = \frac{D}{r} \Rightarrow r = \frac{D}{\tan{\varphi}}\] \[\Rightarrow r = \frac{0{,}88\,\rm{Lj}}{\tan\left({\frac{77}{3600}^\circ}\right)} = 2{,}4 \cdot 10^3\,\rm{Lj}\]
Teil 2)
a)Mit dem Entfernungsmodul \( m - M = 5 \cdot \log{\frac{r}{32,6 Lj}}\) folgt \[M = 14{,}7 - 5 \log{\frac{2{,}4 \cdot 10^3\,\rm{Lj}}{32{,}6\,\rm{Lj}}} = 5{,}365\] Die Leuchtkraft ergibt sich aus \[ \frac{L_{M57}}{L_S} = q^{M_S - M_{M57}} \Rightarrow \frac{L_{M57}}{L_S} = 2{,}512^{4{,}8-5{,}365} = 0{,}59 \]
c)Der Radius ist etwas kleiner als der Erdradius, die Temperatur ist extrem hoch (höher als bei weißen Zwergen). Die Fusion ist praktisch erloschen. Die Energie ist die auf Grund des Schrumpfprozess gewonnene Gravitationsenergie, die noch als thermische Energie gespeichert ist. Durch Abstrahlung verliert der Stern diese Energie und wird kühler.
d)1 cm3 der Materie hat im Mittel die Masse \[ \bar{\rho} = \frac{0{,}6 \cdot m_S}{\frac{4}{3} \cdot R^3 \cdot \pi} \Rightarrow \bar{\rho} = \frac{0{,}6 \cdot 1{,}98 \cdot 10^{30}\,\rm{kg}}{\frac{4}{3} \cdot (3{,}3 \cdot 10^6\,\rm{m})^3 \cdot \pi} = 7{,}9 \cdot 10^9\,\rm{\frac{kg}{m^3}}\] 1 cm3 hat also die mittlere Masse von \(7900\,\rm{kg}\)
