Astronomie

Fixsterne

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  • Wie wird ein Stern geboren?
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  • Wie entstehen eigentlich Schwarze Löcher?

Polaris (Abitur BY 2008 GK A6-1)

Aufgabe

Das Sternbild Kleiner Bär (Ursa Minor, UMi) wurde angeblich vom griechischen Gelehrten Thales eingeführt. Polaris (α UMi) ist der hellste Stern in diesem Sternbild. Wegen seiner unmittelbaren Nähe zum Himmelsnordpol ist dieser Stern ein markanter Orientierungspunkt am Himmel.

Angaben zu Polaris:
Mittlere scheinbare Helligkeit: \(m=2{,}0\)
Entfernung: \(132\,\rm{pc}\)
Oberflächentemperatur: \(7{,}0\cdot 10^3\,\rm{K}\)

a)Erläutern Sie ein fotografisches Verfahren, mit dem sich belegen lässt, dass Polaris sehr nahe am Himmelsnordpol steht. (4 BE)

b)Erläutern Sie, wie sich für einen Beobachter aus der Lage von Polaris die geographische Breite des Beobachtungsortes ergibt. (3 BE)

c)Ermitteln Sie die mittlere absolute Helligkeit dieses Sterns sowie die Leuchtkraft im Vergleich zur Sonne.
[Zur Kontrolle: LPolaris = 2,3·103 LSonne ] (6 BE)

d)Überprüfen Sie, ob sich die Entfernung von Polaris durch Beobachtung der trigonometrischen Parallaxe bestimmen lässt, wenn man von einem maximalen Auflösungsvermögen von 0,01´´ ausgeht. (4 BE)

e)Berechnen Sie den Radius von Polaris im Vergleich zur Sonne. (5 BE)

f)Polaris ist ein δ-Cephei-Stern (Cepheide). Beschreiben Sie das Entwicklungsstadium, in dem sich Polaris befindet. Worin unterscheidet sich dieser Stern im inneren Aufbau von der Sonne? (6 BE)

Lösung

a)Stellt man einen Fotoapparat auf ein feststehendes Stativ und fotografiert bei klarem Nachhimmel mit langer Belichtungszeit (mehrere Stunden) so sind die Lichtspuren der Sterne Kreisbögen mit unterschiedlichem Radius. Polaris liegt dabei nahe dem Kreiszentrum. (nicht zur Lösung notwendig, aber für den Betrachter nützlich nebenstehendes Foto)

b)Die Höhe \(h\) von Polaris entspricht der geographischen Breite \(\varphi\) des Beobachters.

c)Die mittlere absolute Helligkeit M ergibt sich mit Hilfe des Entfernungsmoduls \[ m - M = 5 \cdot \log{\frac{r}{10 pc}}\] \[\Rightarrow M = m - 5 \cdot \log{\frac{r}{10\,\rm{pc}}}\] \[\Rightarrow M = 2{,}0 - 5 \cdot \log{\frac{132\,\rm{pc}}{10\,\rm{pc}}} = -3{,}6 \]

Für die Leuchtkraft ergibt sich: \[ \frac{L_{Polaris}}{L_{Sonne}} = q^{M_{Sonne} - M_{Polaris}}\] \[\Rightarrow L_{Polaris} = 2,512^{4,8 + 3,6} \cdot L_{Sonne} = L_{Polaris} = 2{,}3 \cdot 10^3 \cdot L_{Sonne} \]

d)Mittels der trigonometrischen Parallaxe kann man auf Grund der Angaben Entfernungen r bestimmen, die sich aus folgender Beziehung errechnen:
\[r = \frac{{1''}}{{0,01''}} \cdot 1\,{\rm{pc}} = 100\,{\rm{pc}} < 132\,{\rm{pc}}\]
Man kann die Entfernung von Polaris also nicht mit dieser Methode bestimmen.

e)Mit dem Stefan-Boltzmann-Gesetz \(L = \sigma \cdot A \cdot T^4 \) und\( A = R^2 \cdot \pi \) ergibt sich: \[\frac{L_{Polaris}}{L_{Sonne}} = \left( \frac{R_{Polaris}}{R_{Sonne}} \right)^2 \cdot \left( \frac{T_{Polaris}}{T_{Sonne}} \right)^4\] \[\Rightarrow \frac{R_{Polaris}}{R_{Sonne}} = \sqrt{\frac{L_{Polaris}}{L_{Sonne}}} \cdot \left( \frac{T_{Sonne}}{T_{Polaris}} \right)^2 =\frac{R_{Polaris}}{R_{Sonne}} = \sqrt{2300} \cdot \left( \frac{5800}{7000} \right)^2 = 33 \]

f)Cepheiden sind Riesensterne, die das Hauptreihenstadium bereits verlassen haben. Im inneren Kern ist also im Gegensatz zur Sonne nahezu aller Wasserstoff bereits zu Helium fusioniert. Es hat das schalenförmige "Brennen" begonnen. Im Innersten fusioniert also Helium zu Kohlenstoff oder noch schwereren Elementen und in größerem Abstand zum Kern fusioniert noch Wasserstoff zu Helium. Die abgegebene Energie führt zu einer periodischen Vergrößerung und Verkleinerung der Sternhülle, die sich in periodischen Helligkeitsschwankungen zu erkennen gibt.