Astronomie

Fixsterne

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Plejaden (Abitur BY 1999 GK A6-1)

Aufgabe

Zu den bekanntesten offenen Sternhaufen gehören die Plejaden im Sternbild Stier. Bei Sternhaufen ist es üblich, zur Erstellung eines Hertzsprung-Russell-Diagramms (HRD) statt der absoluten Helligkeiten \(M\) die scheinbaren Helligkeiten \(m\) der Haufensterne gegen ihre Oberflächentemperaturen \(T\) aufzutragen (siehe nebenstehende Abbildung).

a)Könnte man einen Stern wie unsere Sonne von der Erde aus mit bloßem Auge sehen, wenn er in den Plejaden stünde? Begründen Sie Ihre Antwort unter Verwendung des Diagramms. Bestimmen Sie nun daraus den Abstand \(r\) der Plejaden in Lichtjahren. [zur Kontrolle: \(r=4{,}1\cdot 10^2\,\rm{Lj}\)] (7 BE)

b)Erklären Sie, wie man aus dem gegebenen Diagramm ein HRD bekommen kann, bei dem als Ordinate die absolute Helligkeit angetragen wird. Zeichnen Sie dazu eine Ordinatenachse mit beiden Skalierungen. (4BE)

c)Für eine Zufallsauswahl von beliebig über den Himmel verteilten Sternen erstellt man ein \(T\rm{-}M\)-Diagramm und ein \(T\rm{-}m\)-Diagramm. Erläutern Sie, warum nur das \(T\rm{-}M\)-Diagramm die übliche grafische Struktur eines HRD aufweist. (4 BE)

Der hellste Hauptreihen-Stern der Plejaden ist Pleione.

d)Begründen Sie, dass Pleione der massereichste Hauptreihen-Stern der Plejaden ist. Geben Sie physikalisch plausible Überlegungen dafür an, dass massereichere Hauptreihensterne eine höhere Leuchtkraft haben. (7 BE)

e)Pleione hat die scheinbare Helligkeit \(m=5{,}1\). Berechnen Sie unter Verwendung des gegebenen Diagramms die Leuchtkraft und den Radius von Pleione in Sonneneinheiten.
[zur Kontrolle: \(L=1{,}2\cdot 10^2\cdot L_{\rm{Sonne}}\)] (6 BE)

f)Wie kann man mit Hilfe des HRD eines Sternhaufens sein ungefähres Alter bestimmen? Schätzen Sie nun durch eine Rechnung das Alter der Plejaden ab. Verwenden Sie als Entwicklungszeit für die Sonne \(\tau_{\rm{Sonne}}=7\cdot10^9\,\rm{a}\). (6 BE)

Lösung

a)Die Sonne hat eine Oberflächentemperatur von \(T=5800\,\rm{K}\). Sterne dieser Temperatur haben in den Plejaden die scheinbare Helligkeit von \(m=10{,}3\). Da man Sterne nur bis etwa \(m=6\) mit dem bloßen Auge sehen kann, könnte man sie deshalb nicht sehen.

Die Entfernung berechnet sich aus dem Entfernungsmodul \(m - M = 5 \cdot \lg (\frac{r}{10\,\rm{pc}})\): \[m - M = 5 \cdot \lg (\frac{r}{10\,\rm{pc}})\Leftrightarrow r=10^{\frac{m-M}{5}}\cdot 10\,\rm{pc}\] \[\Rightarrow r = 10^{\frac{10{,}3-4{,}8}{5}} \cdot 10\,\rm{pc} = 126\,\rm{pc} = 410\,\rm{Lj} \]

b)Man verschiebt die Ordinatenachse so, dass beim Standort der Sonne die Absolute Helligkeit 4,8 ist.

c)Bei einer Zufallsauswahl von Sternen ist deren Abstand zum Beobachter sehr unterschiedlich, d.h. Sterne mit großer Leuchtkraft erscheinen weniger hell, wenn sie sehr weit weg sind wie Sterne mit geringerer Leuchtkraft und geringer Entfernung. Nur wenn die Helligkeit der Leuchtkraft direkt proportional ist ergibt sich das Bild des HRD.

d)Da die Plejaden alle gleich weit weg sind, ist wegen der Masse - Leuchtkraftbeziehung von Hauptreihensternen der hellste Stern auch der massereichste. Größere Masse eines Sternes bedeutet größere Gravitationsdrücke und damit größere Temperaturen im Kern des Sternes. Bei größeren Temperaturen und Drücken ist die Wahrscheinlichkeit für eine Kernfusion von H zu He größer. Deshalb laufen bei schweren Sternen pro Zeiteinheit mehr Kernfusionen ab als bei leichten und sie geben deshalb mehr Energie ab, haben also größere Leuchtkraft.

e)Die absolute Helligkeit von Pleione ist \(M_{\rm P}=5{,}1+\left(4{,}8-10{,}3\right)=-0{,}4\).
Die Leuchtkraft ergibt sich dann aus \[ q^{M_2 - M_1} = \frac{L_1}{L_2} \Rightarrow L_p = 2,512^{(4,8 + 0,4)} \cdot L_S = 120 \cdot L_S \] Mit Hilfe des Stefan-Boltzmann-Gesetzes \[\sigma \cdot 4 \cdot r_p^{2} \cdot \pi \cdot T_P^{4}\] folgt für den Radius\[r_p = \sqrt{\frac{120 \cdot T_S^{4}}{T_P^{4}}} \cdot r_S \Rightarrow r_p = \sqrt{ \frac{120 \cdot 5800^{4}}{11000^{4}}} \cdot r_S = 3{,}0 \cdot r_S\]

f)Das Alter eines Sternhaufens ist etwa das Alter des schwersten(hellsten) noch in der Hauptreihe befindlichen Sterns. Also ist Alter der Plejaden = Hauptreihenzeit des Pleione. Es gilt: \( \tau_{H, S} = 7 \cdot 10^9\,\rm{a} \). Damit folgt: \[\tau_{H, P} = \frac{m_P \cdot L_S}{m_S \cdot L_P} \cdot \tau_{H, S} = \frac{ \sqrt[3]{L_P} \cdot L_S }{ \sqrt[3]{L_S} \cdot L_P } \cdot \tau_{H, S} = \sqrt[3]{ \frac{L_S^2}{L_P^2} } \cdot t_{H, S}\] \[\Rightarrow \tau_{H, P} = \sqrt[3]{ \frac{1}{120^2} } \cdot 7 \cdot 10^9\,\rm{a} = 2{,}9 \cdot 10^8\,\rm{a} \]