Astronomie

Fixsterne

Fixsterne

  • Wie wird ein Stern geboren?
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  • … und was ein Weißer Zwerg?
  • Wie entstehen eigentlich Schwarze Löcher?

Planet um Epsilon Eri (Abitur BY 1998 GK A6-3)

Aufgabe

Mit dem Hubble-Space-Telescope (HST) können aus einer Erdumlaufbahn lichtschwache Begleiter von Fixsternen beobachtet werden. Epsilon Eridani (ε Eri) ist ein Hauptreihenstem mit einer Parallaxe von 0,30´´ und einer scheinbaren Helligkeit \(m=3{,}72\). Es wird vermutet, dass um diesen Stern ein Planetensystem existiert.

a)Berechnen Sie die Entfernung \(r_{\epsilon}\), von ε Eri gegenüber unserem Sonnensystem und die Leuchtkraft \(L_{\epsilon}\) von ε Eri als Vielfaches der Sonnenleuchtkraft \(L_{\rm S}\) .[zur Kontrolle: \(r_{\epsilon}=3{,}3\,\rm{pc}; L_{\epsilon}=0{,}30\cdot L_{\rm S}\)] (9 BE)

b)Ermitteln Sie die Entfernung \(a\), in der ein jupiterähnlicher Planet, im Folgenden Joveri genannt, den Stern ε Eri umkreisen müsste, damit er dort die gleiche Bestrahlungsstärke empfängt, wie "unser" Jupiter von "unserer" Sonne. [zur Kontrolle: \(a=2{,}8\,\rm{AE}\)] (9 BE)

c)Überprüfen Sie unter der Annahme, daß Joveri eine absolute Helligkeit von \(M=26\) hat, ob mit dem HST das Objekt Joveri sowohl von seiner Helligkeit als auch von seinem Winkelabstand zu ε Eri her entdeckt werden könnte. Gehen Sie dabei davon aus, dass das HST Objekte bis zur scheinbaren Helligkeit \(m_{\rm{gr}}=28\) sicher registrieren und zwei in etwa gleich helle Objekte noch trennen kann, wenn sie mindestens einen Winkelabstand von \(\alpha_{\rm{gr}}=0{,}02''\) haben. (10 BE)

d)Berechnen Sie die Masse von ε Eri als Vielfaches der Sonnenmasse, und schätzen Sie damit die Aufenthaltsdauer (d. h. Entwicklungszeit) von ε Eri auf der Hauptreihe im Vergleich zur Sonne ab.[zur Kontrolle: \(m_{\epsilon}=0{,}67\cdot m_{\rm S}\)] (7 BE)

Eine andere Methode, die Existenz von Planeten nachzuweisen, ist die Beobachtung periodischer Ortsveränderungen ("Wackeln") des Hauptsterns, die durch einen massereichen Planeten hervorgerufen werden.

e)Ein "Wackeln" in Sehrichtung lässt sich nicht direkt als Ortsveränderung des Zentralsterns am Himmel nachweisen. Geben Sie eine Methode an, mit der man dieses "Wackeln" eventuell nachweisen könnte. Beschreiben Sie, wie man dabei vorgehen und was man dabei erkennen müsste.
Hinweis: Es kann nur das Spektrum des Zentralsterns beobachtet werden. (7 BE)

Lösung

a)Die Entfernung berechnet sich aus \[r= \frac{1\,\rm{pc} \cdot 1''}{0{,}30''} = 3{,}3\,\rm{pc}\]Die absolute Helligkeit ergibt sich aus \[M = 3{,}72 - 5 \cdot \log{\frac{3{,}3\,\rm{pc}}{10\,\rm{pc}}} = 6{,}13\,\rm{mag}\] woraus für die Leuchtkraft folgt \[\Rightarrow L_{\epsilon Eri} = 2{,}512^{4{,}8-6{,}13} \cdot L_S = 0{,}30 \cdot L_S \]

b)Mit der Formel für die Bestrahlungsstärke \( S = \frac{L}{4 \cdot \pi \cdot r^2}\) und der Beziehung \(S_{Jup} = S_{Jov}\) ergibt sich \[\frac{L_S}{4 \cdot \pi \ cdot \left(5{,}2\,\rm{AE}\right)^2} = \frac{0{,}30 \cdot L_S}{4 \cdot \pi \cdot a^2} \Rightarrow a = \sqrt{0,3} \cdot 5{,}2\,\rm{AE} = 2{,}8\,\rm{AE}\]

c)\[\begin{array}{I} M - m = 6,13 - 3,72 = 2,41 \Rightarrow m_{Jov} = 26 - 2,41 = 23,6 \\
\tan{\alpha} = \frac{a}{r} = \frac{2,8 \cdot 1,5 \cdot ·10^{11}\,\rm{m}}{3{,}3 \cdot 3 \cdot 10^{16}\,\rm{m}} \Rightarrow \alpha = 2{,}36 \cdot 10^{-4}\rm{Grad} =0{,}85" \end{array}\] Theoretisch könnte das HST Joveri sehen und auch die Sterne trennen, wenn sie gleiche Leuchtkraft hätten. Da aber die beiden Komponenten sehr unterschiedliche Leuchtkraft haben, ist die Trennung kaum möglich.

d)Für die Masse gilt \[m^* = \sqrt[3]{L^*} = \sqrt[3]{0{,}3} = 0{,}67\]

Die Aufenthaltsdauer \(\tau\) ergibt sich aus \[\tau_H^* = \frac{1}{{m^*}^2} \Rightarrow t_H^* = \frac{1}{0{,}67^2} = 2{,}2\]

e)Das Wackeln kann nur über eine Bewegung in Radialrichtung beobachtet werden. Dies würde sich durch eine periodische Dopplerverschiebung der Linien des Spektrums des Hauptsterns erkennbar machen. Wobei auch hier wegen der geringen Geschwindigkeiten des Zentralsterns messtechnische Grenzen bestehen.