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Aufgabe

Beteigeuze (Abitur BY 1998 GK A6-2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Entwicklung eines Überriesen

Beteigeuze ist ein sogenannter Überriese mit einer Masse von etwa 20 Sonnenmassen. Er hat sein Hauptreihenstadium bereits hinter sich.

a)Geben Sie an, wodurch das Hauptreihenstadium eines Sterns gekennzeichnet ist. (3 BE)

b)Leiten Sie eine Formel zur Abschätzung der Verweildauer eines Sterns auf der Hauptreihe (Entwicklungszeit) her. Berechnen Sie daraus die Zeit, die Beteigeuze auf der Hauptreihe verbracht hat (Verweildauer der Sonne auf der Hauptreihe: \(\tau = 7\cdot 10^9\,\rm{a}\)). (5 BE)

Beteigeuze ist ein potentieller Kandidat für eine Supernovaerscheinung, die bei einer Entfernung von 540 Lichtjahren praktisch "vor unserer Haustür" stattfinden würde. Supernovae haben eine mittlere absolute Maximalhelligkeit von etwa \(M=-19\).

c)Mit welcher scheinbaren Helligkeit würde man die hypothetische Supernovaexplosion von Beteigeuze auf der Erde beobachten? Vergleichen Sie diese mit der scheinbaren Helligkeit des Vollmonds, die \(m=-12{,}5\) beträgt. (5 BE)

Bei einer Supemova kann als Stemrest ein Neutronenstem entstehen. Solche Sterne haben eine große Dichte und rotieren mit hoher Frequenz. Ein Neutronenstern hat z. B. eine Periode \(T=30\,\rm{ms}\) (Crab-Pulsar). Trotz dieser schnellen Rotation wird er gravitativ zusammengehalten.

d)Für die Mindestdichte \(\bar{\rho}\) eines Neutronenstems gilt folgende Abschätzung : \( \bar{\rho} > \frac{3 \cdot \pi}{G \cdot T^{2}}\)   (G: Gravitationskonstante). Leiten Sie diese Beziehung her. Berechnen Sie den Wert für die Mindestdichte des Crab-Pulsars als Vielfaches der Dichte von Wasser. (9 BE)

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a)Ein Stern bleibt solange in der Hauptreihe wie Wasserstoff im Kern zu Helium fusioniert. Ist der Kernwasserstoff "verbrannt" verlässt der Stern die Hauptreihe.

b)\(\tau \sim m\) (Die Verweildauer ist dem Vorrat an "Wasserstoff" direkt proportional)

\(\tau \sim \frac{1}{L}\) (Die Verweildauer ist zum "Verbrauch pro Zeit" indirekt proportional)

Wegen der empirischen Masse Leuchtkraftbeziehung für Hauptreihensterne \(L \sim M^3  \Rightarrow\) \[\tau \sim \frac{m}{L} \Longrightarrow \tau \sim \frac{m}{m^3} = \frac{1}{m^2} \Longrightarrow \tau_B = \frac{1}{20^2} \cdot 7 \cdot 10^9\,\rm{a} = 1{,}8 \cdot 10^7\,\rm{a}\]

c)\[M = m - 5 \cdot lg \frac{r}{10\,\rm{pc}} \Rightarrow m= -19 + 5 \cdot lg \frac{540\,\rm{Lj}}{32{,}6\,\rm{Lj}} = -12{,}9\,\rm{mag}\text{     (etwas heller als der Vollmond)}\]

d)Für Äquatorpunkt muss die Gravitationskraft größer als die Zentrifugalkraft sein: FG > FZ ,
Weitere benötigte Formeln: Kreisfrequenz, Kugelvolumen, Dichte.

e)\[\begin{array}{I}\frac{G \cdot m \cdot M}{R^2} > \frac{m \cdot R \cdot 4 \cdot \pi^2}{T^2} \Rightarrow \frac{M}{R^3} > \frac{4 \cdot \pi^2}{G \cdot T^2}
\\ \Longrightarrow \frac{3 \cdot M}{4 \cdot R^3 \cdot \pi} > \frac{3 \cdot \pi}{G \cdot T^2} \Rightarrow \bar{\rho} > \frac{3 \cdot \pi}{G \cdot T^2}
\\ \Longrightarrow \bar{\rho} > \frac{3 \cdot \pi}{6,67 \cdot 10^{-11}\rm{\frac{kg}{m \cdot s^2}} \cdot (0{,}030\,\rm{s})^2} = 1{,}6 \cdot 10^{14}\rm{\frac{kg}{m^3}} = 1{,}6 \cdot 10^{11} \rho_W \end{array}\]