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Aufgabe

Totale Sonnenfinsternis

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Der Monddurchmesser ist \(d_{\rm{m}}=3{,}5\cdot 10^3\,\rm{km}\), der Sonnendurchmesser \(d_{\rm{s}}=13{,}9\cdot 10^5\,\rm{km}\). Die Erde ist \(b=1{,}5\cdot 10^8\,\rm{km}\) von der Sonne entfernt. Der Mond ist im erdfernsten Punkt \(e_1 = 3{,}9\cdot 10^5\,\rm{km}\) und in seinem erdnächsten Punkt \(e_2 = 3{,}4\cdot 10^5\,\rm{km}\) von der Erdoberfläche entfernt.

a)Skizziere die Lage der beteiligten Himmelskörper, damit es zu einer Sonnenfinsternis kommen kann. Zeichne auch die wesentlichen Randstrahlen ein.

b)Erläutere, was sich aus der Verschiedenheit von \(e_1\) und \(e_2\) für die Mondbahn folgern lässt.

c)Berechne, wie groß die Fläche auf der Erde ist, auf der gleichzeitig totale Sonnenfinsternis herrscht, wenn der Mond der Erde nahe ist.

d)Berechne, wie groß die Fläche auf der Erde ist, auf der gleichzeitig totale Sonnenfinsternis herrscht, wenn der Mond der Erde fern ist.

Hinweis: Die Kreisfläche \(A\) wird aus dem Kreisdurchmesser \(d\) nach der Beziehung \(A = (0{,}5\cdot d)^2 \cdot \pi\) berechnet (\(\pi\approx 3{,}14\)).

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a)Die gesuchte Skizze sieht wie folgt aus:

 

 

b)Die Mondbahn ist nicht kreisförmig sondern leicht elliptisch.

Hinweis: Es handelt sich um eine Planfigur, die nicht maßstäblich ist.

c)Man betrachtet z.B. die beiden zueinander ähnlichen Dreiecke AEB und DEC. Wenn d der Durchmesser des Schattenfleckes auf der Erde ist, dann gilt: \[\begin{array}{c}\frac{{\frac{{{d_s} - d}}{2}}}{b} = \frac{{\frac{{{d_m} - d}}{2}}}{e}\quad \Rightarrow \quad \frac{{{d_s} - d}}{b} = \frac{{{d_m} - d}}{e}\quad \Rightarrow \quad {d_s} \cdot e - d \cdot e = {d_m}b - d \cdot b\\d \cdot \left( {b - e} \right) = {d_m} \cdot b - {d_s} \cdot e\quad \Rightarrow \quad d = \frac{{{d_m} \cdot b - {d_s} \cdot e}}{{b - e}}\end{array}\]

Setzt du die gegebenen Werte für den erdnahen Fall ein, so erhältst du: \[{d_1} = \frac{{3,5 \cdot {{10}^3} \cdot 1,5 \cdot {{10}^8} - 13,9 \cdot {{10}^5} \cdot 3,4 \cdot {{10}^5}}}{{1,5 \cdot {{10}^8} - 3,9 \cdot {{10}^5}}}\,\rm{km} = - 1{,}7 \cdot {10^2}\,\rm{km}\] Dieses Ergebnis bedeutet, dass es auf der Erde keinen Kernschatten gibt, wenn sich Erde und Mond nahe sind. Es tritt also in dieser Konstellation keine totale Sonnenfinsternis ein.

d)Der analoge Ansatz wie in Aufgabenteil c) liefert mit den eingesetzten Werte für die weite Entfernung Erde-Mond: \[{d_2} = \frac{{3,5 \cdot {{10}^3} \cdot 1,5 \cdot {{10}^8} - 13,9 \cdot {{10}^5} \cdot 3,4 \cdot {{10}^5}}}{{1,5 \cdot {{10}^8} - 3{,}4 \cdot {{10}^5}}}\,\rm{km} = 3{,}5 \cdot {10^2}\,\rm{km}\] Die Fläche des Schattenkreises ist dann \[{A_2} = {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} \cdot \pi \quad \Rightarrow \quad {A_2} = {\left( {\frac{{3,5 \cdot {{10}^2}}}{2}} \right)^2} \cdot 3{,}14\,\rm{km}^2 = 9{,}6 \cdot {10^4}\,\rm{km}^2\]