Flexon steht zwischen zwei unterschiedlich weit von ihm entfernten Wänden, welche den Schall gut reflektieren. Er zündet einen Böller und hört nacheinander drei Echos. Das zweite Echo kommt bei ihm \(\Delta {t_{12}} = 1{,}80\,{\rm{s}}\) später an als das erste Echo. Das dritte Echo kommt \(\Delta {t_{23}} = 1{,}20\,{\rm{s}}\) später bei ihm an als das zweite Echo.
Bestimme aus den Daten den Abstand \(d\) der beiden reflektierenden Wände. Gehe dabei von einer Schallgeschwindigkeit \({{c_{\rm{S}}} = 331\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\) aus.
Zeit \(\Delta {t_1}\)nach der das erste Echo bei Flexon ankommt (Schall läuft die Strecke \({d_1}\) zur näheren Wand hin und wieder zurück zu Flexon): \[2 \cdot {d_1} = {c_{\rm{S}}} \cdot \Delta {t_1} \Leftrightarrow \Delta {t_1} = \frac{{2 \cdot {d_1}}}{{{c_{\rm{S}}}}}\] Zeit \(\Delta {t_2}\)nach der das zweite Echo bei Flexon ankommt (Schall läuft die Strecke \({d_2}\) zur weiter entfernten Wand hin und wieder zurück zu Flexon): \[2 \cdot {d_2} = {c_{\rm{S}}} \cdot \Delta {t_2} \Leftrightarrow \Delta {t_2} = \frac{{2 \cdot {d_2}}}{{{c_{\rm{S}}}}}\] Aus der Angabe weiß man die Differenz der beiden Zeiten \(\Delta {t_{12}} = \Delta {t_2} - \Delta {t_1}\). Es gilt \[\Delta {t_{12}} = \Delta {t_2} - \Delta {t_1} = \frac{{2 \cdot {d_2}}}{{{c_{\rm{S}}}}} - \frac{{2 \cdot {d_1}}}{{{c_{\rm{S}}}}}\quad(1)\] Das dritte Echo kommt dadurch zustande, dass das zweite Echo (kam durch die Reflexion an der rechten Wand zustande) zur linken weniger weit von Flexon entfernten Wand weiterläuft und dort reflektiert wird. Für die Zeitspanne zwischen dem Eintreffen des zweiten und des dritten Echos gilt \[\Delta {t_{23}} = \frac{{2 \cdot {d_1}}}{{{c_{\rm{S}}}}}\quad(2)\] Da \(\Delta {t_{23}} = 1,2{\rm{s}}\) ist, kann man aus Gleichung \((2)\) die Strecke \({{d_1}}\) berechnen: \[{\Delta {t_{23}} = \frac{{2 \cdot {d_1}}}{{{c_{\rm{S}}}}} \Leftrightarrow {d_1} = \frac{{\Delta {t_{23}} \cdot {c_{\rm{S}}}}}{2} \Rightarrow {d_1} = \frac{{1,2{\rm{s}} \cdot 331\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{2} \approx 199{\rm{m}}}\] Setzt man nun noch Gleichung \((2)\) in Gleichung \((1)\) ein, so kann man auch \({{d_2}}\) bestimmen: \[{\Delta {t_{12}} = \frac{{2 \cdot {d_2}}}{{{c_{\rm{S}}}}} - \Delta {t_{23}} \Leftrightarrow \frac{{2 \cdot {d_2}}}{{{c_{\rm{S}}}}} = \Delta {t_{12}} + \Delta {t_{23}} \Leftrightarrow {d_2} = \frac{{{c_{\rm{S}}}}}{2} \cdot \left( {\Delta {t_{12}} + \Delta {t_{23}}} \right)}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[{{d_2} = \frac{{331\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{2} \cdot \left( {1,80{\rm{s}} + 1,20{\rm{s}}} \right) \approx {\rm{497m}}}\] Somit gilt für den Abstand \(d\) der Wände \[d = {d_1} + {d_2} \Rightarrow \;d = 497{\rm{m}} + 199{\rm{m}} = 696{\rm{m}}\]
