Zwei Lautsprecher L1 und L2 sind im gegenseitigen Abstand von \(y = 1,32{\rm{m}}\) aufgestellt. Sie schwingen gleichphasig mit der Frequenz \(f = 680{\rm{Hz}}\). Das Mikrophon M wird längs der \(x\)-Achse verschoben.
a)Berechne, in welchen Abständen \(x\) bei Verschiebung des Mikrophons Minima auftreten.
b)Begründe, warum für \(x < 7,2{\rm{cm}}\) und für \(336{\rm{cm}} < x\) keine Minima mehr auftreten können.
a)Zuerst berechnet man aus der Frequenz \(f = 680{\rm{Hz}}\) und der Schallgeschwindigkeit \(c = 340\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) die Wellenlänge \(\lambda \) der Schallwellen: \[\lambda = \frac{c}{f} \Rightarrow \lambda = \frac{{340\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{680{\rm{Hz}}}} = 0,5{\rm{m}}\] Minima treten genau dann auf, wenn der Gangunterschied, d.h. die Differenz der Streckenlängen \(z\) und \(x\), ein ungeradzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge \(\frac{\lambda }{2} = 0,25{\rm{m}}\) ist. Daraus ergibt sich für das erste Minimum die Bedingung \[z - x_1 = 1 \cdot \frac{\lambda }{2} = 0,25\rm{m} \Leftrightarrow z = x_1 + 0,25{\rm{m}}\] Nach dem Satz des PYTHAGORAS gilt nun \[{\left( {1,32{\rm{m}}} \right)^2} + {x_1}^2 = {z^2} \Leftrightarrow {\left( {1,32{\rm{m}}} \right)^2} + {x_1}^2 = {\left( {{x_1} + 0,25{\rm{m}}} \right)^2}\] Auflösen die Gleichung nach \(x_1\) liefert \({x_1} = 3,36{\rm{m}}\).
Analog ergibt sich für \[z - x_2 = 3 \cdot \frac{\lambda }{2} = 0,75{\rm{m}} \Leftrightarrow z = x_2 + 0,75{\rm{m}}\] \({x_2} = 0,79{\rm{m}}\) und für \[z - {x_3} = 5 \cdot \frac{\lambda }{2} = 1,25{\rm{m}} \Leftrightarrow z = {x_3} + 1,25{\rm{m}}\]
\({x_3} = 0,072{\rm{m}}\)
b)Aus der Abbildung sieht man, dass für größer werdendes \(x\) der Gangunterschied immer kleiner und wird und somit keine Auslöschung der Wellen mehr möglich ist. Andererseits ist ein größerer Gangunterschied als \(5 \cdot \frac{\lambda }{2} = 1,25{\rm{m}}\) wegen des Abstandes der Lautsprecher von \(1,32{\rm{m}}\) nicht möglich.
