Akustische Phänomene

Versuche

Bau einer Panflöte

Grundlagen

Tonentstehung bei einer Lippenpfeife:
Setzt man die Flöte an die Lippen und bläst über den Kantenrand, so wird der Luftstrom an der Vorderkante des Instrumentes unterbrochen. Dies bedeutet, dass immer etwas Luft über das Rohr und etwas Luft in das Rohr hinein fliesst. Dadurch entstehen Wirbel, die die Luftsäule im Innern in Schwingung versetzen. Jetzt wird der Ton hörbar.

Länge der Pfeife und Rohrlänge:
Die Länge des Rohres ist ausschlaggeben dafür, welche Frequenz der Ton aus der Flöte besitzt. In der Pfeife entsteht eine stehende Welle mit einem Knoten am geschlossenen Ende und einem Bauch in der Nähe des offenen Endes. Der Bauch entsteht etwa 0,3 Rohrdurchmesser außerhalb des Rohrendes. Wo er dort genau entsteht hängt auch von der Haltung der Lippen beim Anblasen ab, weshalb eine vom Bläser abhängige Feinstimmung durch Abgleichen der effektiven Rohrlänge mit Knetmasse oder besser Wachs über das Gehör erfolgen muss.
Zwischen Knoten und Bauch ist dann in der Grundschwingung eine viertel Wellenlänge.
Für die um 0,3 Rohrdurchmesser berichtigte Rohrlänge l gilt deshalb: \(l = \frac{1}{4}\lambda \)
und wegen \(\lambda = \frac{{{c_S}}}{f}\) gilt: \(l = \frac{1}{4} \cdot \frac{{{c_S}}}{f}\)

Schallgeschwindigkeit und Luftemperatur:
Die Schallgeschwindigkeit in Luft hängt nach der Formel \({c_S} = 20,1\frac{m}{s} \cdot \sqrt {\frac{T}{{1K}}} \) von der Raumtemperatur ab.
Für 20°C ergibt sich die Schallgeschwindigkeit \({c_S} = 20,1\frac{m}{s} \cdot \sqrt {\frac{{293K}}{{1K}}} = 344\frac{m}{s}\) .

Frequenzen der reinen Dur-Tonleiter
Die Frequenzen der einzelnen Töne bei natürlich reiner Stimmung verhalten sich wie einfache natürliche Zahlen. Ist f₀die Grundfrequenz des Tones C, so gilt folgende Tabelle:

C	D	E	F	G	A	H	C´
\[{f_0}\]	\[\frac{9}{8}{f_0}\]	\[\frac{5}{4}{f_0}\]	\[\frac{4}{3}{f_0}\]	\[\frac{3}{2}{f_0}\]	\[\frac{5}{3}{f_0}\]	\[\frac{{15}}{8}{f_0}\]	\[2 \cdot {f_0}\]

Genaueres zu Tonleitern und Stimmungen finden Sie weiter unten.

Das Bild von Raffael zeigt einen Amor mit Panflöte.

So könnte die Panflöte später aussehen.

Aufgabe

Bestimme aus diesen Angaben die Längen der Rohre einer Panflöte für die obige Oktave (wenn der Kammerton A die Frequenz 440 Hz hat.)

Lösung

Für die effektiven Rohrlängen (Abstimmlänge) gilt \(l = \frac{1}{4} \cdot \frac{{{c_S}}}{f}\). Mit der Schallgeschwindigkeit von \(344\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) erhält man die nebenstehenden Werte bei einer reinen Stimmung.

Die Rohre selbst schneidet man etwas länger zu und füllt zur Feinabstimmung das Rohr mit Knetmasse oder besser mit Wachs, das man in das Rohr eintropft und das man auch mit einem heissen Stab wieder teilweise entfernen kann.

Ton	Frequenz in Hz	Abstimmlänge in cm.	Baulänge in cm
C	264	32,58	34,1
D	297	28,96	30,5
E	330	26,06	27,6
F	352	24,44	25,9
G	396	21,72	23,2
A	440	19,55	21,0
H	495	17,38	18,9
C´	528	16,29	17,8
D´	594	14,48	16,0
E´	660	13,03	14,5
F´	704	12,22	13,7
G´	792	10,86	12,4
A´	880	9,77	11,3
H´	990	8,69	10,2
C´´	1056	8,15	9,6
D´´	1188	7,24	8,7
E´´	1320	6,52	8,0
F´´	1408	6,11	7,6
G´´	1584	5,43	6,9
A´´	1760	4,89	6,4
H´´	1980	4,34	5,8
C´´´	2112	4,07	5,6

Materialbedarf: 1 Bambusrohr ca. 2,5 m mit einem Durchmesser von ca. 12 mm alternativ Isolierrohr Durchm. 13,5 mm (beides am Baumarkt erhältlich) ca. 20 - 25 cm Holzleiste ca. 30 x 15 cm Karton ca. 2 bis 5 m Bast oder Band zum Zusammenbinden und Ausschmücken Klebstoff (am besten Heißkleber) Flüssiges Wachs (oder Knetmasse)
Werkzeug: 1 Handsäge Lineal Bleistift Schere Schraubzwinge (zum Fixieren beim Sägen) Feile bzw. Schmirgelpapier Kerze und Zündhölzer (zum eventuellen Stimmen)
Vorgehen:
1.	Schneide bei Bambusrohren die Knoten heraus und das befreie das Rohrinnere von Fasern.
2.	Glätte die Kanten mit Schmirgelpapier, runde sie aber nicht ab.
3.	Schneide alle Rohre auf die Baulänge zu und bezeichne sie mit dem Namen des Tones.
4.	Klebe eine Seite mit Karton zu; achte dabei auf eine saubere und dichte Verklebung.
5.	Fülle jedes Rohr mit so viel Wachs (eventuell Knetmasse) auf, dass die Abstimmlänge stimmt. Drücke dazu mit einem Stab von innen gegen das Wachs bzw. die Knetmasse.
6.	Stimme die Tonhöhe jeder Flöte mit dem Gehör genau ab.
7.	Lege alle Pfeifen nebeneinander mit einem Abstand von etwa 2mm auf ein nach unten gewölbtes Kartonstück und verbinde die Pfeifen mit Heißkleber.
8.	Fixiere zusätzlich die Pfeifen an einem Holzstab mit Bast, dadurch kann man sie auch künstlerisch schön gestalten.

Tonleiter und Stimmungen

Der Einzelton
Der Einzelton ist eine einfache Sinusschwingung, die mit unserem menschlichen Hörorgan empfunden und durch ihre Frequenz (Anzahl Schwingungen pro Sekunde) in der Masseinheit Herz (Hz.) und durch die Lautstärke definiert ist. In der Praxis ist ein Ton meistens von mitschwingenden Obertönen begleitet, die den Ton in ihrem Klang charakterisieren.
So ist der Ton einer Flöte zum Ton einer Trompete durch diese Obertöne in ihrer Klangfarbe markant unterschiedlich.

Die Intervalle
Zwei Töne, die miteinander schwingen, erregen unser Empfinden und wir unterscheiden Intervalle, die sehr harmonisch klingen von denen, die weniger gut klingen und solche, die wir sie als unangenehm empfinden. Es ist die Kunst der Musik, durch gezielte Wahl der Intervalle unsere Gefühle an verschiedenen Stellen zu berühren.

Die Tonleiter
In der westlichen Welt hat sich durchgesetzt, die Oktave in 12 Halbtonschritte aufzuteilen (chromatische Tonleiter). Dabei ist es möglich, die Oktave mit 12 gleichen Halbtonschritten (gleichstufige Stimmung) oder mit 12 ungleich grossen Halbtonschritten (ungleichstufige Stimmung) zu durchlaufen. Jede dieser Möglichkeiten führt zu einem unterschiedlichen Klang.

Die reine Stimmung und ihre Frequenzverhältnisse
Die wichtigste ungleichstufige Stimmung ist die reine Stimmung. Gemäss nachfolgender Tabelle stehen die 12 Halbtöne einer Oktave in einem festen Frequenzverhältnis zum Grundton (f₀).
Die Frequenz des n-ten Halbtons wird mit f_n bezeichnet.

Frequenz des Halbtons	Tonschritt
f₀ = 1 · f₀	Prim
f₁ = 16/15 · f₀	Kleine Sekunde
f₂ = 9/8 · f₀	Grosse Sekunde
f₃ = 6/5 · f₀	Kleine Terz
f₄ = 5/4 · f₀	Grosse Terz
f₅ = 4/3 · f₀	Quarte
f₆ = 45/32 · f₀
f₇ = 3/2 · f₀	Quinte
f₈ = 8/5 · f₀
f₉ = 5/3 · f₀	Sexte
f₁₀ = 9/5 · f₀
f₁₁ = 15/8 · f₀	Septime
f₁₂ = 2 · f₀	Oktave

Die Durtonleitern der reinen Stimmung

Das feste Frequenzverhältnis der 12 Halbtöne einer Oktave zum Grundton ist relativ. Auf jedem Grundton mit einer beliebigen Frequenz kann demzufolge eine Durtonleiter in reiner Stimmung aufgebaut werden. Erst mit dem Referenzton (Kammerton) wird die Tonskala mit absoluten Frequenzzahlen definiert. Es hat sich durchgesetzt, dass die Frequenz des Tones a der eingestrichenen Oktave mit 440 Herz festgelegt ist und dass auf jedem Halbton eine neue Durtonleiter (Tonart) aufgebaut wird. Somit sind 12 Durtonarten möglich. Mit dem Quintenzirkel werden sechs # -Tonarten von C nach oben schreitend und sechs b-Tonarten von C nach unten schreitend definiert. Oft fühlen sich Musiker in diesem Tonartenraster eingeengt und variieren den Referenzton (Kammerton) in seiner Frequenz beliebig nach unten oder nach oben.

Die Töne der 12 chromatischen Durtonleitern bzw. Durtonarten mit ihren festen Frequenzverhältnissen zum Grundton:

Frequenz / Tonart

1·f₀

16/15 ·f₀

9/8·f₀

6/5·f₀

5/4 ·f₀

4/3 ·f₀

45/32 ·f₀

3/2 ·f₀

8/5 ·f₀

5/3 ·f₀

9/5 ·f₀

15/8 ·f₀

2 ·f₀

c-Dur

cis

dis

fis

gis

des-Dur 5b

des

ges

des

d-Dur 2#

dis

fis

gis

cis

es-Dur 3b

ges

des

e-Dur 4#

fis

gis

cis

dis

f-Dur 1b

ges

des

fis-Dur 6#

fis

gis

cis

dis

fis

ges-Dur 6b

ges

des

ges

g-Dur 1#

gis

cis

dis

fis

as-Dur 4b

des

ges

a-Dur 3#

cis

dis

fis

gis

b-Dur 2b

des

ges

h-Dur 5#

cis

dis

fis

gis

Die Frequenzen aller Halbtöne in den 12 reinen Durtonarten:

Ton / Tonart	c	cis des	d	dis es	e	f	fis ges	g	gis as	a	ais b	h	c
c-Dur	264	281.6	297.0	316.8	330	352	371.3	396	422.4	440	475.2	495	528
des-Dur 5b	257.8	275	293.3	309.4	330	343.8	366.7	386.7	412.5	440	458.3	495	515,6
d-Dur 2#	264	275	293.3	312.9	330	352	366.7	391.1	412.5	440	469.3	488.9	528
es-Dur 3b	260.7	281.6	293.3	312.9	333.7	352	375.5	391.1	417.2	440	469.3	500.6	521.5
e-Dur 4#	264	275	297	309.4	330	352	371.3	396	412.5	440	464.1	495	528
f-Dur 1b	264	281.6	293.3	316.8	330	352	375.5	396	422.4	440	469.3	495	528
fis-Dur 6#	257.8	275	293.3	305.6	330	343.8	366.7	391.1	412.5	440	458.3	488.9	515.6
ges-Dur 6b	257.8	275	293.3	305.6	330	343.8	366.7	391.1	412.5	440	458.3	488.9	515.6
g-Dur 1#	260.7	275	293.3	312.9	325.9	352	366.7	391.1	417.2	440	469.3	488.9	521.5
as-Dur 4b	257.8	275	290	309.4	330	343.8	371.3	386.7	412.5	440	464.1	495	515.6
a-Dur 3#	264	275	293.3	309.4	330	352	366.7	396	412.5	440	469.3	495	528
b-Dur 2b	264	281.6	293.3	312.9	330.0	352	375.5	301.1	422.4	440	469.3	500.6	528
h-Dur 5#	260.7	275	293.3	305.6	325.9	343.8	366.7	391.1	407.4	440	458.3	488.9	521.5

Die absoluten Frequenzwerte der einzelnen Töne in der Tabelle der chromatischen Durtonleitern zeigen, dass der Wechsel in eine andere Tonart die Umstimmung gewisser Töne fordert. Es gäbe sonst Intervalle, die Dissonanzen hervorbringen. Bei fest gestimmten Musikinstrumenten ist dies nicht möglich. So hat man sich z.B. bei Kirchenorgeln mit mehreren Manualen beholfen, die auf unterschiedlich gestimmte Register zugreifen.

Das Pythagoräische Komma
Pythagoras hat erkannt, dass die Aneinanderreihung reiner Intervalle zu einer Abdrift der Tonart führt. Dieses Phänomen lässt sich mit folgendem Beispiel belegen: Das Intervall einer reinen Quinte hat das Frequenzverhältnis 1 : 3/2.
Zwölf Quinten sind zusammen 12 · 7 = 84 Halbtöne.
Sieben Oktaven zusammen sind ebenfalls 7 · 12 = 84 Halbtöne.
Werden vom Ausgangston mit der Frequenz f₀ z.B. 12 Quinten aufwärts-schreitend aneinandergereiht und vom erreichten Endton wieder 7 Oktaven nach unten-schreitend aneinandergereiht, so könnte man glauben, wieder am Anfangston mit der Frequenz f₀ zu sein.
Die folgende Rechnung zeigt, dass der Schlusston nicht die Frequenz f₀ sondern 1.0136 · f₀ hat:
f₀ · (3/2)¹² : (2)⁷ = f₀ · 129.75 : 128 = 1.0136 · f₀
Diese Abweichung nennt man das Pythagoräische Komma.

Die Komplexität der Zusammenhänge in der Harmonielehre hat zu einem Kompromiss geführt, damit auf einer Tastatur (Klavier) alle Tonarten gespielt werden können. Es wird J.S.Bach zugeschrieben, die wohl temperierte Stimmung erfunden zu haben. Heute hat sich die gleichstufig temperierte Stimmung auf der Basis der reinen Oktave als Normstimmung durchgesetzt.

Die gleichstufig temperierte Stimmung auf der Basis der reinen Oktave
Unterteilt man die Oktave in 12 gleiche Halbtonstufen, dann jeder Halbton zu seinem benachbarten Halbton einen konstanten Faktor U in der Frequenz, der sich aus der 12ten Wurzel aus zwei ergibt.
U =1.05946 In dieser Stimmung sind alle Intervalle ausser der Oktave geringfügig unrein. Der Vorteil liegt darin, dass alle Tonarten auf einer Tastatur spielbar sind.

Die absoluten Frequenzen aller Halbtöne der 12 Durtonarten in der gleichstufig temperierten Stimmung auf der Basis der reinen Oktave:

Ton / Tonart	c	cis des	d	dis es	e	f	fis ges	g	gis as	a	ais b	h	c
c-Dur	261,6	277,2	293,7	311,1	329,6	349,2	370	392	415,3	440	466,2	493,9	523,2
des-Dur 5b	261,6	277,2	293,7	311,1	329,6	349,2	370	392	415,3	440	466,2	493,9	523,2
d-Dur 2#	261,6	277,2	293,7	311,1	329,6	349,2	370	392	415,3	440	466,2	493,9	523,2
es-Dur 3b	261,6	277,2	293,7	311,1	329,6	349,2	370	392	415,3	440	466,2	493,9	523,2
e-Dur 4#	261,6	277,2	293,7	311,1	329,6	349,2	370	392	415,3	440	466,2	493,9	523,2
f-Dur 1b	261,6	277,2	293,7	311,1	329,6	349,2	370	392	415,3	440	466,2	493,9	523,2
fis-Dur 6#	261,6	277,2	293,7	311,1	329,6	349,2	370	392	415,3	440	466,2	493,9	523,2
ges-Dur 6b	261,6	277,2	293,7	311,1	329,6	349,2	370	392	415,3	440	466,2	493,9	523,2
g-Dur 1#	261,6	277,2	293,7	311,1	329,6	349,2	370	392	415,3	440	466,2	493,9	523,2
as-Dur 4b	261,6	277,2	293,7	311,1	329,6	349,2	370	392	415,3	440	466,2	493,9	523,2
a-Dur 3#	261,6	277,2	293,7	311,1	329,6	349,2	370	392	415,3	440	466,2	493,9	523,2
b-Dur 2b	261,6	277,2	293,7	311,1	329,6	349,2	370	392	415,3	440	466,2	493,9	523,2
h-Dur 5#	261,6	277,2	293,7	311,1	329,6	349,2	370	392	415,3	440	466,2	493,9	523,2

Daneben gibt es auch noch Stimmungen mit 12 gleichen Halbtonstufen, bei denen die Quinten stimmen, dafür die Oktave gestreckt ist oder bei der die Duodezime (eine Oktave und eine Quinte) stimmt.

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