Ph 12

Grundwissen

Schwingungsgleichungen

Aus dem Mechanik-Unterricht können Sie sich vielleicht noch an die Behandlung mechanischer Schwingungen erinnern. Im Folgenden werden die schwingungsfähigen mechanischen und elektromagnetischen Systeme gegenübergestellt.

a) Schwingung mit Dämpfung und äußerer Anregung

Auf einer rauen Unterlage kann ein zwischen zwei Federn eingespannter Körper schwingen. Von außen wird die Kraft Fa aufgeprägt, der Körper bewege sich gerade nach rechts.

Für die resultierende Kraft gilt dann:

Mit Hilfe der Differentialrechnung kann man auch schreiben:


Differentialgleichung der gedämpften, mechanischen Schwingung mit von außen aufgeprägter Kraft Fa

 

Spule, Kondensator und Widerstand sind wie skizziert zusammengeschaltet. Von außen wird die Spannung U(t) aufgeprägt.

Zwischen den Spannungen gilt die Beziehung:

U(t) = UL + UC + UR

Mit Hilfe der ausführlicheren Darstellung der Teilspannungen folgt:

Es gilt der Zusammenhang zwischen Ladung und Strom:

Setzt man (2) in (1), so erhält man:

Differentialgleichung der gedämpften, elektromagnetischen Schwingung mit von außen aufgeprägter Spannung

 

 

b) Schwingung mit Dämpfung ohne äußerer Anregung (freie gedämpfte Schwingung)

Entfällt die äußere Kraft, so vereinfacht sich die Differentialgleichung zu:

Differentialgleichung der freien, gedämpften mechanischen Schwingung

Hinweis:
Natürlich muss dem System einmalig Energie zugeführt werden, damit es zu schwingen beginnt.

 

 

 

Wird von außen keine Spannung aufgeprägt, so vereinfacht sich die Differentialgleichung zu:

Differentialgleichung der freien, gedämpften elektromagnetischen Schwingung

Hinweis:
Natürlich muss dem System einmalig Energie zugeführt werden, damit es zu schwingen beginnt.

Die Lösung dieser Differentialgleichung ist etwas umfänglich (meist nicht Pflichtstoff). Sie können die Lösung auf der Theorieseite betrachten.

 

c) Schwingung ohne Dämpfung und äußerer Anregung (freie ungedämpfte Schwingung)

 

 

 

 

Nun wird die Differentialgleichung besonders einfach:

 

Differentialgleichung der freien, ungedämpften mechanischen Schwingung

 

Hinweis:
Natürlich muss dem System einmalig Energie zugeführt werden, damit es zu schwingen beginnt.

Lösungsansatz:

Durch Differenzieren von (2) erhält man:

Setzt man (2) und (3) in die Differentialgleichung (1) ein, so folgt:

 

Die linke Seite der Gleichung (4) wird nur dann ständig gleich Null sein, wenn gilt:

 

Eine Lösung der Differentialgleichung lautet somit:

Befindet sich kein ohmscher Widerstand im Kreis, so gilt:

 

Differentialgleichung der freien, ungedämpften elektromagnetischen Schwingung

Hinweis:
Natürlich muss dem System einmalig Energie zugeführt werden, damit es zu schwingen beginnt.

Lösungsansatz:

Durch Differenzieren von (2) erhält man:

Setzt man (2) und (3) in die Differentialgleichung (1) ein, so folgt:

Die linke Seite der Gleichung (4) wird nur dann ständig gleich Null sein, wenn gilt:

Gleichung (5) wird als Thomson-Formel bezeichnet.

Eine Lösung der Differentialgleichung lautet somit:

Ein Vergleich des mechanischen mit dem elektromagnetischen Fall zeigt:

  • Gleichartig strukturierte Differentialgleichungen führen zu den gleich strukturierten Lösungen ("the same equations, the same solutions")
  • Es gelten offenbar die folgenden Entsprechungen:

 

Die Spule übernimmt als die Funktion der trägen Masse, der Widerstand die Funktion der geschwindigkeitsabhängigen Reibung und der Kondensator die Funktion der Feder.

 

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