Ph 11 Umwelt

Energie im Gravitationsfeld

a) Potenzielle Energie

Bringt man einen Körper der Masse m im Gravitationsfeld der Masse M (z.B. Erde) von r_a nach r_e, so ist die Arbeit

zu verrichten (die Herleitung dieser Formel erfolgte im Punkt "Arbeit im Gravitationsfeld").

Für die potenzielle Energie im Gravitationsfeld gilt:

E_pot,e – E_pot,a = ΔW oder E_pot,e = ΔW + E_pot,a

a: Anfang; e: Ende

Wie Sie vielleicht noch aus früheren Kapiteln wissen, ist die Festlegung des Nullpunktes der potenziellen Energie freigestellt.

Wählt man z.B. als Ausgangspunkt der Reise im Gravitationsfeld der Erde einen Punkt der Erdoberfläche, so könnte man diesem Punkt die potenzielle Energie null zuordnen, d. h. es gilt:
E_pot,a = 0. Für die potenzielle Energie des beliebig gewählten Endpunktes
[r_e → r und E_pot,e→ E_pot(r)] gilt dann:

Der Verlauf der potenziellen Energie in Abhängigkeit von r ist in der folgenden Graphik dargestellt:

Meist wird jedoch als Nullpunkt der potenziellen Energie der unendlich ferne Punkt gewählt, da dann die Formel für die Arbeit ΔW besonders einfach wird (r_a  → ∞ und 1/r_a → 0; außerdem wird wieder r_e durch r ersetzt):

und somit

Man sieht, dass bei dieser Nullpunktswahl die potenzielle Energie eines Punktes auf der Erdoberfläche negativ ist.

Man sieht auch, dass – unabhängig von der Wahl des Nullpunktes der potenziellen Energie – die Änderung der potenziellen Energie (=Arbeit) beim Weg von r’ nach r’’ in beiden Systemen die Gleiche ist.

b) Kinetische Energie

Befindet sich ein Körper der Masse m (z. B. Satellit) auf einer Umlaufbahn um den Zentralkörper M (z. B. Erde), so besitzt der neben der in a) berechneten potenziellen Energie auch noch kinetische Energie (sonst würde z.B. der Satellit sofort auf die Erde stürzen). Für die kinetische Energie gilt:

Durchläuft der Körper annähernd eine Kreisbahn, so ist die Zentripetalkraft gleich der newtonschen Gravitationskraft.

Somit ergibt sich für die kinetische Energie ein stets positiver Ausdruck der dem Betrag nach halb so groß ist, wie die potenzielle Energie.

c) Gesamtenergie

Die Gesamtenergie ist die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie:

Die Gesamtenergie ist also bei der Wahl des Nullpunktes der potenziellen Energie im Unendlichen stets negativ. Man muss also Energie in das System Erde-Satellit stecken, um den Satelliten ins Unendliche (aus dem Anziehungsbereich der Erde) zu bringen. Wäre dies nicht so, so könnte die Erde keinen Satelliten in einem "gebundenen" Zustand halten (ebenso könnte die Erde in keinem "gebundenen" Zustand beim Zentralkörper Sonne sein).