Ph 11 Umwelt

Arbeit im Gravitationsfeld

Sie haben bereits Erfahrung mit der Arbeitsberechnung im Gravitationsfeld.) Für die Hubarbeit im homogenen Gravitationsfeld gilt: Δ W = Faußen·Δ h = m · g ·Δ h Dieser Berechnung liegt zu Grunde, dass sich der Betrag der Gravitationskraft längs des Weges nicht ändert.

Wie hat man aber vorzugehen, wenn die Ortsveränderung im Gravitationsfeld so groß ist, dass diese vereinfachende Annahme nicht mehr zulässig ist und man vom Gravitationsgesetz

ausgehen muss?

Man kommt der Lösung nahe, wenn man sich an die grafische Interpretation der Arbeitsberechnung erinnert:

"Die Arbeit ist die Fläche unter dem h-F bzw. r-F-Graphen"

Die Arbeitsberechnung im Gravitationsfeld erfordert die Flächenberechnung unter einem nicht geradlinigen Graphen. Dies leistet i.A. die Integralrechnung, die Sie im nächsten Jahr in der Mathematik erlernen werden.

Bei unserem speziellen Problem (Fläche unter dem 1/r²-Graphen) kommen wir auch ohne Intergralrechnung aus, wenn wir geschickt vorgehen.

Zunächst nähern wir die Fläche unter dem 1/r²-Graphen durch kleine Rechtecke an (die Annäherung wird besonders gut, wenn wir viele schmale Rechtecke verwenden). Für die Höhe dieser Rechtecke wählen wir einen Mittelwert <F>, der zwischen der maximalen Kraft am linken und der minimalen Kraft am rechten Rand des betrachteten Intervalls liegt.

Für den Arbeitsbetrag ΔW₁, der dem ersten (linken) Rechteck zugeordnet ist, gilt:

ΔW₁ = <F> · (r₂ – r₁) (1)

Eine brauchbare Näherung für <F> ist das geometrische Mittel aus F₁ und F₂:

(2)

aus (1) und (2) folgt:

Man erhält die gesamte Arbeit ΔW_ges, indem man alle Teilarbeiten aufaddiert:

Δ W_ges = Δ W₁ +Δ W₂ + Δ W₃ + . . .Δ W_n-1

Nach dem Weglassen der runden Klammern kann der Inhalt der eckigen Klammer kann stark vereinfacht werden:

Man sieht an dem Graphen, dass die Arbeit mit wachsendem r in unmittelbarer Nähe der Erdoberfläche stark zunimmt. Je weiter man sich jedoch von der Erde entfernt, desto geringer ist die Zunahme der Gesamtarbeit für eine bestimmte Strecke. Dies ist auf Grund der 1/r²-Abhängigkeit der Gravitationskraft auch zu vermuten.