Einführung:
Für eine konstant beschleunigte, geradlinige Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit und Anfangsort haben wir nach einer Reihe nicht ganz einfacher Überlegungen die Beziehung:

als Lösung erarbeitet. Als Graphen ergaben sich im t-x-Diagramm eine Parabel und im t-v-Diagramm eine Gerade.

Steht ein Rechner zur Verfügung, so kann man mit sehr einfachen Überlegungen schrittweise den t-x-Graphen ermitteln. Man nennt diese Vorgehensweise die Methode der kleinen Schritte (Euler-Verfahren). Diese Methode hat den Vorteil, dass man sie auch auf kompliziertere Bewegungsvorgänge anwenden kann, für die wir in der 11. Klasse sonst keine Lösung finden würden.

Die Grundideen beim Euler-Verfahren:

• Man ersetzt für ein - nicht zu großes - Zeitintervall Δt die beschleunigte Bewegung durch eine gleichförmige Bewegung (Geradenstück im t-x-Diagramm bzw. Parallele zur t-Achse im t-v-Diagramm) und berechnet den neuen Ort x_neu mit den Formeln für die gleichförmige Bewegung aus dem alten Ort x_alt:

• Man berechnet die neue Geschwindigkeit v_neu mit Hilfe der Definition für die mittlere Beschleunigung:

Zusammengefasst führt dies zu dem folgenden Algorithmus:

tneu = talt + Δt

• Klicken Sie in dem Tabellenblatt die Zellen der ersten drei Zeilen an, dann erkennen Sie wie in dem Excel-Programm der Algorithmus realisiert wurde.

t in s	a in m/s2	v(t) in m/s	x(t) in m
t0 = 0	a(0) = a	v(0) = v0	x(0) = x0
t1 = t0 + Δt	a1 = a	v1 = v0 + a·Δt	x1 = x0 + v0·Δt
t2 = t1 + Δt	a2 = a	v2 = v1 + a·Δt	x2 = x1 + v1·Δt

• Ändern Sie die Zahlen der Anfangswerte x₀, v₀ und a ab (gelbe Felder) und betrachten Sie dann die Veränderung in der Tabelle und in der Graphik.
• Variieren Sie den Wert für Δt und betrachten Sie daraufhin die Abweichung zwischen "wahrer Kurve"(lila) und "Euler-Kurve"(blau).

Wie die Annäherung an die "wahre Kurve" durch das Euler-Verfahren erfolgt, wird in den folgenden Skizzen verdeutlicht:

Man sieht an den Graphen im Tabellenblatt, dass die "Euler-Kurve" unter der "wahren Kurve" liegt. Dies ist auch verständlich, da für das ganze Intervall mit einem festen (zu niedrigen) Geschwindigkeitswert gerechnet wird, obwohl bei der beschleunigten Bewegung die Geschwindigkeit im Intervall zunimmt.

Variante des obigen Euler-Verfahrens:
Man benutzt für die Berechnung des neuen Ortes x_neu nicht die alte Geschwindigkeit v_alt , sondern bereits die neue Geschwindigkeit v_neu. Dies führt zu dem folgenden Algorithmus:

tneu = talt + Δt

Wie das folgende Excel-Tabellenblatt - Euler-Beschl2 zeigt, liegt jetzt die "Euler-Kurve" über der "wahren Kurve".

Hinweise zum Aufbau der Tabellenkalkulation:

Das Halbschritt-Verfahren:
Wie Sie bei den beiden dargestellten Euler-Verfahren gesehen haben, weicht die "Euler-Kurve" immer etwas von der "wahren Kurve" ab.
Man kann die Abweichung verringern, wenn man für die Berechnung des neuen Ortes x_neu nicht die Anfangs- oder Endgeschwindigkeit im Intervall verwendet, sondern die Geschwindigkeit in der Intervallmitte.

Berechnung der Geschwindigkeit v_alt‘ in der Mitte des ersten Intervalls:

Für den Algorithmus des Halbschrittverfahrens gilt dann:

tneu = talt + Δt

Wie Sie dem Excel-Tabellenblatt - Halbschritt entnehmen können, stimmen "wahre Kurve" und "Halbschritt-Kurve" recht gut überein.

Graphische Erläuterung: