Grundwissen

Harmonische Schwingung


Definition
Schwingungen sind Vorgänge, bei denen sich ein physikalischer Zustand zeitlich periodisch verändert.

Der wichtigste Schwingungstyp ist die harmonische Schwingung oder Sinusschwingung. Er tritt z. B. bei der Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung oder bei der Schwingung eines Federpendels auf.

In der kleinen Animation werden diese beiden Typen nochmals dargestellt.

Hinweis:
Meist beschreibt man eine harmonische Schwingung, die beim Phasenwinkel φ = 0° startet. Liegt z.B. der Körper zur Zeit t = 0 schon bei einem Winkel ungleich Null, so muss man dies bei der Beschreibung berücksichtigen.

 

Bewegungsgleichungen

Zeit-Orts-Gesetz:

Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz:

Zeit-Beschleunigungs-Gesetz:

 

Bezeichnungen
Beziehungen
y(t): Elongation T: Schwingungsdauer
: Amplitude f: Schwingungsfrequenz
ω: Kreisfrequenz φ: Phasenwinkel

 

Lineares Kraftgesetz

  • Durch Verwendung von Newton II erkennt man mit Hilfe des Zeit-Beschleunigungsgesetzes:

F(t) = m·a(t) → F(t) = - m·ω 2·y(t) oder F ~ y

Fazit : Bei einer harmonischen Schwingung liegt ein lineares Kraftgesetz vor. Der Proportionalitätsfaktor zwischen Kraft und Elongation ist m·ω 2.

 

  • Der Vergleich der Federschwingung (es liegt nach Hooke ein lineares Kraftgesetz vor) mit der projizierten Kreisbewegung zeigt:

Um den Nachweis zu führen, dass eine harmonische Schwingung vorliegt, reicht daher der Nachweis des linearen Kraftgesetzes.

Zusammenfassung:

Rücktreibende Kraft - Richtgröße - Schwingungsdauer
Wendet man auf die obige Zeit-Beschleunigungs-Beziehung das Gesetz von Newton II (F = m·a) an und berücksichtigt man noch die Zeit-Orts-Beziehung, so ergibt sich:

F(t) = - m·ω 2·y(t)

  • Aus dieser Beziehung ist die Proportionalität zwischen der Kraft und der Auslenkung abzulesen (lineares Kraftgesetz). Die Proportionalitätskonstant C = m·ω 2 wird als Richtgröße bezeichnet.

 

  • Außerdem sieht man aus dieser Beziehung, dass die Kraft stets das entgegengesetzte Vorzeichen der Auslenkung besitzt. Ist z.B. y positiv, so ist die Kraft negativ, d. h. sie zeigt in die negative x-Richtung. Die Kraft ist also stets zum Nullpunkt der Schwingung hingerichtet. Man bezeichnet sie daher auch als rücktreibende Kraft.
  • Schwingungsdauer des Federpendels
    Beim Federpendel ist die Richtgröße C gleich der Federhärte D (Gesetz von Hooke). Es gilt also:



Die Schwingungsdauer des Federpendels ist unabhängig von der Auslenkung des Pendels.

 

  • Schwingungsdauer des Fadenpendels



Diese Formel gilt nur für kleine Pendelauslenkungen. Unter dieser Einschränkung ist T unabhängig von der Auslenkung (wenn sie nur klein genug ist) und auch unabhängig von der Pendelmasse. Die Größe g ist der Ortsfaktor.

 

Eine Herleitung der Schwingungsdauern für Feder- und Fadenpendel finden Sie auf der folgenden Seite!

 

Energiebetrachtung bei der Schwingung
Bei der mechanischen Schwingung ist ein periodisches Hin- und Herpendeln zwischen den zwei Energieformen "kinetische Energie" und "potentielle Energie" zu beobachten.
Speziell beim Federpendel gilt:

Die Gesamtenergie der Schwingung ist also zeitlich konstant.

 

Hinweis:
Das periodische Hin- und Herpendeln zwischen zwei Energieformen ist ein allgemeines Kennzeichen einer Schwingung. So tritt z.B. bei den elektromagnetischen Schwingungen ein Hin- und Herpendeln zwischen "elektrischer Energie" und "magnetischer Energie" auf.

 

Die Grundlagen der harmonischen Schwingung eines Federpendels werden sehr eindrucksvoll in dem Applet von W. Fendt zusammengestellt.

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