Ph 09

Technik

Die Haftreibungskraft treibt ein Auto voran

Der Antrieb auf ein Auto kommt folgendermaßen zustande: Der Motor bewirkt, dass die angetriebenen Räder eine nach hinten gerichtete Kraft auf die Fahrbahn ausüben. Diese Kraft nennen wir Antriebskraft F_A. Dass sie nach hinten wirkt erkennt man, wenn Steinchen auf der Straße liegen; sie werden nach hinten weggeschleudert. Der Antriebskraft entgegen wirkt die Haftkraft F_H. Sie wird von der Fahrbahn auf das Rad und damit das Fahrzeug ausgeübt. Es ist also genaugenommen nicht die Antriebskraft, sondern die Haftkraft, welche das Fahrzeug vorantreibt.

Bei günstigen Straßenverhältnissen, geeigneten Reifen und vernünftiger Fahrweise hat die Haftkraft den gleichen Betrag wie die Antriebskraft. Ungünstige Straßenverhältnisse liegen z.B. vor, wenn die Straße nass oder gar vereist ist; dann ist die Haftzahl und damit auch die maximale Haftkraft klein. Ist die Antriebskraft größer als die maximale Haftkraft, rutschen die Räder durch, sie gleiten also über die Fahrbahn. In diesem Fall treibt nicht mehr die Haftkraft sondern die Gleitreibungskraft das Fahrzeug voran. Die Gleitreibungskraft ist meist kleiner als die maximale Haftkraft. Auch bei günstigen Straßenverhältnissen kann man die Antriebskraft größer machen als die maximale Haftkraft, wenn man zu stark Gas gibt (unvernünftige Fahrweise). Die maximale Haftkraft hängt von der Haftzahl µ_H und der Normalkraft F_N ab und beschränkt die Antriebskraft jedes Radgetriebenen Kraftfahrzeugs:

F_H = μ_H · F_N

Die Normalkraft F_N ist der senkrecht zu der Straße auf dem Rad lastende Kraft.
Meist ist dies ein Teil der Gewichtskraft, bei sehr schnellen Autos kommt aber durch Spoiler noch ein Aerodynamischer Teil dazu.
Die Haftzahl µ_H hängt vom Reifen- und Straßenzustand ab; sie liegt bei trockener Straße bei 0,7 bis 0,9, bei nasser Straße je nach Wassertiefe und Geschwindigkeit z.B. bei etwa 0,6 für 40km/h und 0,1 für 120km/h. Für Glatteis beträgt sie bei 0°C ungefähr 0,1 und bei -20°C etwa 0,4.

Die Rollwiderstandskraft ist umso geringer, je härter Rad und Unterlage sind und je größer der Durchmesser der Räder ist. Diese Größen bestimmen die Rollreibungszahl µ_R. Sie liegt bei guten Reifen mit geeignetem Reifendruck und normaler Straße bei 0,01 bis 0,03. Es gilt:

Die Formabhängigkeit der Luftwiderstandskraft misst man im Windkanal. Dazu stellt man ein Fahrzeugmodell bekannter Größe, bei bekannter Luftgeschwindigkeit und bekannter Luftdichte in den Windkanal und bestimmt die dabei auftretende Luftwiderstandskraft. Aus diesem berechnet man den von der Querschnittsfläche und der Luftgeschwindigkeit und Luftdichte unabhängigen Luftwiderstandsbeiwert c_W (kurz:c_W-Wert). Dieser liegt bei einem Pkw zwischen 0,3 und 0,4.
Die Luftwiderstandskraft ist zum Luftwiderstandsbeiwert direkt proportional: F_L ~ c_W

Außerdem ist der Luftwiderstandskraft direkt proportional zur Querschnittsfläche A des Fahrzeugs. Sie ergibt sich aus der Projektion des Fahrzeugs auf eine Ebene senkrecht zur Fahrtrichtung; sie liegt beim Pkw bei 1,7m² bis 2,0m².

F_L ~ A

Die Luftwiderstandskraft ist auch zur Dichte der Luft ρ_L direkt proportional:

F_L ~ ρ_L

und die Luftwiderstandskraft ist direkt proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit v mit der sich das Fahrzeug gegen die Luft bewegt:

. F_L ~ v²

Zusammenfassend berechnet sich die Luftwiderstandskraft sich nach der Formel:

Die Abbildung zeigt die Zerlegung der Gewichtskraft in die Normalkraft und die Hangabtriebskraft. Beachte: Der Winkel, den die Normalkraft und die Gewichtskraft miteinander einschließen ist gleich dem Steigungswinkel der schiefen Ebene.

Anmerkung:
Hangabtriebskraft und Normalkraft bestimmt man in einer maßstabsgerechten Zeichnung aus den Winkeln und der Gewichtskraft (siehe Grundwissen 8.Klasse G9 ).

Ausblick:
Kennt man (Stoff der 10.Klasse) auch die Winkelfunktionen Sinus (kurz: sin) und Cosinus (kurz: cos) so kann man damit Hangabtriebskraft und die Normalkraft aus der Gewichtskraft und dem Steigungswinkel berechnen. Es gilt:

Aufgabe 1:
Für ein Auto (m = 1000 kg) mit Hinterradantrieb betrage die Normalkraft auf die Hinterachse die Hälfte der Gesamtnormalkraft. Die Haftreibungszahl zwischen Fahrbahn und Reifen beträgt 0,7. Wie groß ist die maximale Antriebskraft auf ebener Straße, wenn von einer ausreichend großen Motorleistung ausgegangen werden kann.

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Aufgabe 2:
Welche Antriebskraft ist erforderlich, um ein Auto (m = 1300 kg) auf horizontaler Straße unter Berücksichtigung seines Rollwiderstands (µ_R = 0,03) und seines Luftwiderstandes (A = 1,90 m², c_W = 0,40) auf der Geschwindigkeit v = 50 km/h, 100 km/h, 150 km/h bzw. 200 km/h zu halten?
Die Dichte der Luft beträgt 1,29 kg/m³(für die Berechnung darf Windstille vorausgesetzt werden).

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Aufgabe 3: Ausblick auf die Bedeutung des Luftwiderstands beim Fallschirmsprung:

Beim Fallschirms ist A seine auf die Horizontalebene projizierte Fläche. Für einen Rundkappenschirm gilt c_W = 2,0 und A = 18 m².
Mit welcher (konstanten) Geschwindigkeit fällt ein Springer bei geöffnetem Schirm, wenn seine Masse incl. Ausrüstung 100 kg beträgt. Die Dichte der Luft ist 1,29 kg/m³.

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Aufgabe 4:

Ein Auto (m = 1000 kg, A = 2,0 m², c_W = 0,4, µ_R = 0,03) mit Allradantrieb fährt eine Straße mit dem Steigungswinkel 15° mit der Geschwindigkeit v = 50 km/h hinauf.

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