Ph 07

Geschichte

Aus dem Englischen übersetzt aus einer Seite der Drexel-Universität Philadelphia, USA

Hiero II
306?-215 BC



Goldener Kranz aus
Amphipolis, Macedonien
Viertes Jahrhundert vor Chr.



Goldener Kranz aus
Derveni, Macedonien
Viertes Jahrhundert vor Chr.



Goldener Kranz aus
Vergina, Macedonien
Viertes Jahrhundert vor Chr.




Der Kranz und der Gold
Klumpen haben gleiches Gewicht




Der Kranz hat mehr Auftrieb
im Wasser als der Goldklumpen

Archimedes nach einem Gemälde von Ribera

 

Die Lösung fand er als er ins Bad stieg und dies dabei überlief. Er nahm ein Goldstück dessen Gewicht mit der Krone übereinstimmte und von dem er wusste, dass es aus reinem Gold war und legte es in eine bis zum Rand mit Wasser gefüllte Schüssel. Dann nahm er das Goldstück heraus und legte die Krone des Königs an dessen Stelle. Eine Legierung mit dem leichteren Silber würde das Volumen erhöhen und ein Überlaufen des Wassers aus der Schüssel bewirken.

Obwohl theoretisch richtig, wurde diese Methode aus verschiedenen Gründen kritisiert. Zuerst, war es nach Vitruvius' s Beschreibung das "Ergebnis eines genialen Geistes", während die beschriebene Methode viel leichter vorzustellen ist, als man dies bei den ausführlichen Beschreibungen des Archimedes gewohnt ist. Zweitens verwendet diese Methode nicht die von Archimedes gefundenen Gesetz des Auftriebs oder des Hebels. Drittens, und das ist wohl das entscheidende Argument, wäre die von Vitruvius beschriebene Methode auf Grund der Archimedes zur Verfügung stehenden Mittel viel zu ungenau für einen Archimedes, der für seine große Präzision bekannt war.

Der dritte Punkt bedarf der Erläuterung. Der größte goldene Kranz aus der Zeit des Archimedes ist der abgebildete Kranz von Vergina. Er hat einen größten Durchmesser von 18.5 Zentimeter und eine Masse von 714 Gramm, auch wenn einige seiner Blätter fehlen. Um uns das vorstellen zu können, nehmen wir an, der Kranz von Hiero wog 1000 Gramm und es wurde ein Wasserbehälter mit 20 Zentimeter Durchmesser verwendet. Die Öffnung des Behälters hatte eine Fläche von 314 cm². (Alle Berechnungen beruhen auf drei wichtigen Bedingungen.)

Da Gold eine Dichte von 19.3 g/m³ hat, hätten 1000 g Gold ein Volumen von 1000g : 19,3g/cm³ = 51,8 cm³;. Eine solche Menge Gold hätte den Wasserspiegel beim Eintauchen in den Behälter um 51,8 cm³ : 314cm² = 0,165 cm gehoben.

Nehmen wir weiter an, der unehrliche Goldschmied hat 30% (300 g) des für die Krone vorgesehenen Goldes durch Silber ersetzt. Silber hat die Dichte von 10,6 g/cm³ und die Gold-Silber-Krone hätte dann ein Volumen von 700g : 19,3g/cm³ + 300g : 10,6g/cm³ = 64,6 cm³. Eine solche Krone hätte den Wasserspiegel an der Öffnung um 64,6cm³/314cm² = 0,206 cm steigen lassen.

Die Differenz der durch die Krone bzw. den Goldklumpen bedingten Wasserstandsänderungen sind 0,206cm - 0,165 cm = 0,41 mm. Dies ist viel zu gering um direkt abgelesen oder durch Überlaufen gemessen werden zu können, wenn man die Fehlerquellen bedenkt, die unter anderem durch die Oberflächenspannung des Wassers, durch Wassertropfen die beim Herausnehmen am Goldklumpen hängen bleiben und durch Luftbläschen an dem fein gearbeiteten Goldkranz entstehen. Zusätzlich würde der Unterschied in der Wasserstandsänderung noch geringer als 0,41 mm, fall die Krone leichter als 1000 g, oder ihr Durchmesser größer als 30 cm oder der Silberanteil geringer als 30% wäre.

Eine besser vorstellbare und technisch einfach zu verwirklichende Methode ist die folgende, die die beiden Archimedeschen Gesetze vom Auftrieb und vom Hebel verwendet. Hänge den Kranz an das eine Ende einer Waage und bringe diese durch einen Goldklumpen gleicher Masse am anderen Ende der Waage ins Gleichgewicht. Tauche dann den daran hängenden Kranz und die Goldkrone in einen Wasserbehälter. Bleibt die Waage im Gleichgewicht, dann haben Kranz und Goldklumpen das gleiche Volumen und damit der Krabz dieselbe Dichte wie reines Gold. Sinkt aber die Waage in Richtung des Goldes, dann ist das Volumen des Kranzes größer als das von Gold und seine Dichte weniger als die von Gold. Es muss dann eine Legierung aus Gold und einem leichteren Material sein.

Um die Praktikabilität dieser Technik zu prüfen wollen wir erneut einen 1000 g Kranz annehmen der aus einer Legierung mit 70% Gold und 30% Silber besteht. Sie hat ein Volumen von 64,6 cm³, und verdrängt 64,6 g Wasser. (Wasser hat eine Dichte von 1,00 g/cm³.) Seine Masse von 1000 g wird im Wasser durch den Auftrieb von 64,6 g verringert, so dass die Waage mit 935,4 g belastet wird. Auf der anderen Seite haben 1000 g reines Gold ein Volumen von 51,8 cm³, und die Waage wird dadurch mit 1000g - 51,8 g, also 948,2 g belastet. Wenn also beide Enden der Waage ins Wasser tauchen, wird das eine Ende mit 935,4 g, das andere mit 948,2 g belastet und es besteht ein Unterschied von 12,8 g. Waagen aus der Zeit des Archimedes konnten solche Unterschiede gut feststellen. Außerdem spielen die Fehlerquellen der Vitruvius-Methode (Oberflächenspannung und anhängendes Wasser) bei dieser Waage-Methode keine Rolle.

Es ist anzumerken, dass die Waage-Methode auch dann funktioniert, wenn die Massen des Kranzes und des Goldstücks nicht gleich sind. Man muss nur die Abstände von Krone bzw. Goldklumpen vom Drehpunkt der Waage so ändern, dass diese im Gleichgewicht ist, bevor man die ins Wasser taucht.

Die zwei oben beschriebenen Methoden können wie folgt zusammengefasst werden: Unter unserer Annahme einer 1000g Krone, die aus 700 g Gold und 300 g Silber besteht, ergibt sich ein Volumenunterschied von 12,8 cm³ zu einem 1000 g Goldklumpen. Die Methode des Vitruvius versucht diesen Volumenunterschied durch das überlaufende Wasser zu erkennen. Dabei bilden 12,8 cm³ Wasser einen Würfel von 2,34 cm Kantenlänge und würden in dieser Form gut zu messen sein. Wenn aber diese 12,8 cm³ Wasser auf eine Oberfläche verteilt werden, die groß genug ist um die Krone einzutauchen (In unserem Beispiele 314 cm²) bedeutet dies einen Höhenunterschied von nur 0,41 mm. Ein solcher Höhenunterschied ist zu gering um durch direktes Beobachten oder durch Überlaufen genau festgestellt werden zu können. Die Waage-Methode übersetzt diesen Volumenunterschied von 12,8 cm³ genau in einen Belastungsunterschied der Waage von 12,8 g, der auch mit den antiken Waagen gut messbar war.