Kinetische Gastheorie

Wärmelehre

Kinetische Gastheorie

  • Was geschieht eigentlich in einem Gas, das man erwärmt?
  • Wie schnell bewegen sich die Teilchen in einem Gas?
  • Wie funktioniert eine Lichtmühle?
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Fasst man das Gesetz von BOYLE-MARIOTTE  \(p \sim \frac{1}{V}\) und das Gesetz von GAY-LUSSAC \(V \sim T\) zusammen, so erhält man:

\[V \sim \frac{T}{p}\;{\rm{oder}}\;\frac{{p \cdot V}}{T}\;{\rm{ist}}\;{\rm{konstant}}\]

Diese Beziehung kennen Sie aus der Mittelstufe unter dem Namen "Allgemeine Gasgleichung". Sie beschreibt Zustandsänderungen eines idealen Gases unter Beibehaltung der Teilchenzahl.

Behält man nun bei einem idealen Gas den Druck \(p\) und die Temperatur \(T\) konstant und verändert man die Teilchenzahl \(N\), so wird sich das Gasvolumen proportional zur Teilchenzahl \(N\) ändern. Es gilt also:

\[V \sim N\]
bei festem \(p\) und \(T\)

Hinweis: Mit dem Applet von Prof. Hwang können Sie sich diese Beziehung klar machen, indem Sie beim Applet die Teilchenzahl \(N\) verändern und das sich einstellende Volumen \(V\) ablesen (\(p\) und \(T\) konstant halten!).

Liegt eine Proportionalität vor, so kann man z.B. die Größe links vom Porportionalitätszeichen mit Konstanten multiplizieren, ohne dass die Proportionalität verloren geht.
Multipliziert man \(V\) mit dem konstanten Faktor \(\frac{p}{T}\), so ergibt sich
\[\frac{{p \cdot V}}{T} \sim N \Rightarrow \frac{{p \cdot V}}{T} = k \cdot N\;{\rm{oder}}\;p \cdot V = k \cdot N \cdot T\]

Der eingeführte Proportionalitätsfaktor heißt BOLTZMANN-Konstante, die gewonnene Gleichung heißt universelle Gasgleichung:

\[p \cdot V = k \cdot N \cdot T\]
universelle Gasgleichung

Setzt man für die Zustandsgrößen \(T\) und \(p\) die Normalbedingungen (\(T_0 = 273\rm{K}\) , \(p_0 = 1013\rm{hPa}\)), für \(V\) das Volumen eines Kilomols (\(V_{\rm{kmol}} = 22,4\rm{m^3}\) und für \(N\) die Avogadrozahl (\(N_A = 6,022 \cdot 10^{26}\)), so erhält man den Wert für die BOLTZMANN-Konstante
\[k = \frac{{{p_0} \cdot {V_{{\rm{kmol}}}}}}{{{N_{\rm{A}}} \cdot {T_0}}} \Rightarrow k = \frac{{1013 \cdot {{10}^2}\frac{{\rm{N}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} \cdot 22,4{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{6,022 \cdot {{10}^{26}} \cdot 273{\rm{K}}}} = 1,38 \cdot {10^{ - 23}}\frac{{\rm{J}}}{{\rm{K}}}\]

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