Innere Energie - Wärmekapazität

Beim Kurbeln herrscht ein Kräftegleichgewicht zwischen der nach unten gerichteten Gewichtskraft von \(10{\rm{N}}\) und der Summe aus Reibungskraft \({F_{\rm{R}}}\) und Federkraft von \(2{\rm{N}}\), die beide nach oben gerichtet sind. Also gilt
\[10{\rm{N}} = {F_{\rm{R}}} + 2{\rm{N}} \Leftrightarrow {F_{\rm{R}}} = 10{\rm{N}} - 2{\rm{N}} = 8{\rm{N}}\]

Bei einer Zylinderumdrehung legt dieser gegenüber dem Plastikseil - unabhängig davon, wie oft das Seil um den Zylinder gewickelt ist - genau einmal den Umfang \(u = 2 \cdot \pi \cdot r\) des Zylinders zurück. Für den Weg \(s\) für eine Umdrehung gilt also
\[s = 2 \cdot \pi \cdot r \Rightarrow s = 2 \cdot 3,14 \cdot 2,35{\rm{cm}} = 15{\rm{cm}}\]

\[{W_{\rm{R,1}}} = {F_{\rm{R}}} \cdot s \Rightarrow {W_{\rm{R,1}}} = 8{\rm{N}} \cdot 0,15{\rm{m}} = 1,2{\rm{J}}\]

Der Zusammenhang zwischen der Anzahl \(N\) der Umdrehungen und der dadurch verursachten Erhöhung \(\Delta {E_{\rm{i}}}\) der inneren Energie des Zylinders lautet
\[\Delta {E_{\rm{i}}} = {W_{\rm{R}}} = N \cdot {W_{{\rm{R}}{\rm{,1}}}} = N \cdot 1,2{\rm{J}}\]
Damit ergibt sich

Zum einen sieht man direkt, dass der Graph eine Ursprungsgerade ist. Zum anderen konnte man bereits an der Wertetabelle erkennen, dass sich für die gleiche Erhöhung \(\Delta {E_{\rm{i}}}\) der inneren Energie (pro 50 Umdrehungen werden \(60\rm{J}\) zugeführt) immer die gleiche Temperaturerhöhung \(\Delta \vartheta \) (\(0,3{\rm{^\circ C}}\)) ergibt.

Die Temperaturzunahme \(\Delta \vartheta \) ist also direkt proportional zur Erhöhung \(\Delta {E_{\rm{i}}}\) der inneren Energie. Es gilt also
\[\Delta {E_{\rm{i}}} \sim \Delta \vartheta \]

Die zweite Gerade hat die doppelte Steigung wie die aus Versuchsreihe 1. Dies bedeutet, dass bei doppelter Masse \(m\) doppelt so viel Energie zugeführt werden muss, um die gleiche Temperaturerhöhung zu erreichen. Es gilt also
\[\Delta {E_{\rm{i}}} \sim m\]

Aus \(\Delta {E_{\rm{i}}} \sim \Delta \vartheta \) und \(\Delta {E_{\rm{i}}} \sim m\) schließt man \(\Delta {E_{\rm{i}}} \sim m \cdot \Delta \vartheta \) oder oder durch Einführung einer materialabhängigen Proportionalitätskonstanten \(c\), der sogenannten spezifischen Wärmekapazität
\[\Delta {E_{\rm{i}}} = c \cdot m \cdot \Delta \vartheta \]

Man benutzt z.B. die Messwerte \({m = 220{\rm{g}} = 0,220{\rm{kg}}}\), \({\Delta {E_{\rm{i}}} = 300{\rm{J}}}\) und \({\Delta \vartheta  = 1,5^\circ {\rm{C}}}\). Damit ergibt sich
\[\Delta {E_{\rm{i}}} = c \cdot m \cdot \Delta \vartheta  \Leftrightarrow c = \frac{{\Delta {E_{\rm{i}}}}}{{m \cdot \Delta \vartheta }} \Rightarrow {c_{{\rm{Al}}}} = \frac{{300{\rm{J}}}}{{0,220{\rm{kg}} \cdot 1,5^\circ {\rm{C}}}} = 910\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{kg}} \cdot ^\circ {\rm{C}}}}\]

Analog zur letzten Aufgabe ergibt sich
\[{c_{{\rm{Cu}}}} = \frac{{300{\rm{J}}}}{{0,660{\rm{kg}} \cdot 1,2^\circ {\rm{C}}}} = 380\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{kg}} \cdot ^\circ {\rm{C}}}}\]
Es ergeben sich also für Kupfer und Aluminium verschiedene Proportionalitätskonstanten. Dies rechtfertigt den Begriff der spezifischen Wärmekapazität, da es sich hier um eine Konstante handelt, die spezifisch für jedes einzelne Material ist und damit nur vom Material abhängt. Wärmekapazität kann man mit Wärmeenergiefassungsvermögen übersetzen.