Herleitung des 3. KEPLERschen Gesetzes für Kreisbahnen

Johannes KEPLER (1571 - 1630)
unbekannter Autor [Public domain], via Wikimedia Commons

Die drei Keplerschen Gesetze sind nach dem Astronomen und Naturphilosophen Johannes KEPLER benannt. Er fand diese fundamentalen Gesetzmäßigkeiten für die Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne, als er sie in Bezug zu einer gesuchten Harmonik brachte und die Abweichungen des Mars von einer Kreisbahn mathematisch analysierte. Die Sätze beschreiben die Bewegung idealer Himmelskörper.

1. KEPLERsches Gesetz

Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem gemeinsamen Brennpunkt die Sonne steht.

2. KEPLERsches Gesetz

Ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.

3. KEPLERsches Gesetz

Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Bahnhalbachsen.

Betrachtet man vereinfachend die Ellipsenbahnen als Kreisbahnen und damit die großen Halbachsen wie Kreisradien, so lässt sich das 3. KEPLERsche Gesetz leicht  herleiten. Es lautet dann etwas anders formuliert: Für alle Planeten im Gravitationsfeld der Sonne ist der Quotient aus der dritten Potenz des Kreisradius und dem Quadrat der Umlaufzeit gleich groß und damit für das gesamte Planetensystem konstant:
\[\frac{{{r^3}}}{{{T^2}}} = {\rm{const.}}\]

Leite dies mit Hilfe des Gravitationsgesetzes her.