Direkt zum Inhalt

Grundwissen

Formeln Dynamik

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Formelübersicht für massebehaftete und masselose Teilchen

Die folgende Tabelle bietet einen kompakten Überblick über die zentralen Formeln für Masse, Energie und Impuls sowohl für massebehaftete Teilchen, also Teilchen mit einer von Null verschiedenen Ruhemasse \(m_0\), als auch für Teilchen mit Ruhemasse Null wie z.B. Photonen.

 
Teilchen mit Ruhemasse verschieden von Null
Teilchen mit Ruhemasse Null (Photonen)
Masse
\[m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}\]
\[m = \frac{E}{c^2}    \Rightarrow      m = \frac{h \cdot f}{c^2}\]
Energie
Gesamtenergie
\[E = m \cdot c^2      \Rightarrow     E = \frac{m_0 \cdot c^2}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}\]
\[E = h \cdot f\]
Ruheenergie
\[E_0 = m_0 \cdot c^2\]
- - -
Kinetische Energie
\[E_{kin} = E - E_0\]
- - -
Impuls
\[p = m(v) \cdot v  =\frac{m_0 \cdot v}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}\]
\[p = m \cdot c  = \frac{h \cdot f}{c}  = \frac{h}{\lambda}\]
Energie-Impuls-Beziehung
\[E^2 = E_0^2  + (p \cdot c)^2\]
\[E = p \cdot c\]

Ergänzende Hinweise

  • Die Formel für die relativistisch korrekte Berechnung der kinetischen Energie geht in die klassische Formel durch die folgende Näherung über:\[ E_{\rm{kin}} = \left( \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - m_0 \right) \cdot c^2 \qquad \text{mit } k = \frac{v^2}{c^2} \text{ gilt:} \qquad E_{\rm{kin}} = \left( \frac{1}{\sqrt{1-k}} - 1 \right) \cdot m_0 \cdot c^2 \]Aus der Mathematik ist für \(k\ll1\), also für \(v\ll c\) die folgende Näherung bekannt: \( \frac{1}{\sqrt{1-k}} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot k \) . Mit dieser Näherung ergibt sich:\[ E_{\rm{kin}} = \left( 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{v^2}{c^2} -1 \right) \cdot m_0 \cdot c^2 = \frac{1}{2} \cdot m_0 \cdot v^2 \]
  • Um relativistisch korrekt zu rechnen, reicht es nicht in der klassischen Formel für die kinetische Energie nur die Masse durch die geschwindigkeitsabhängige Masse zu ersetzen. Diese Vorgehensweise ist jedoch beim Impuls möglich.
  • Die relativistisch korrekte Energie-Impuls-Beziehung \(E^2 = E_0^2 + (p \cdot c)^2\) kann man sich über das untenstehend skizzierte Dreieck - auf welches der Satz des Pythagoras angewandt wird - einprägen.
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Energie-Impuls-Beziehung im rechtwinkligen Dreieck
  • Die Energie-Impuls-Beziehung für materielle Teilchen \(E^2 = E_0^2 + (p \cdot c)^2\) geht durch Nullsetzen der Ruheenergie in die Energie-Impuls-Beziehung für Photonen über.