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Grundwissen

Energie-Impuls-Beziehung

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Klassisch ist die Beziehung zwischen kinetischer Energie und Impuls \({E_{\rm{kin}}} = \frac{{{p^2}}}{{2 \cdot m}}\)
  • Relativistisch gilt zwischen Gesamtenergie, Ruheenergie und Impuls die Beziehung \(E = \sqrt{E_0^2 + (c\cdot p)^2}\)
Aufgaben Aufgaben

Klassischer Zusammenhang zwischen kinetischer Energie und Impuls

Klassisch ergibt sich der Zusammenhang zwischen kinetischer Energie und Impuls aus den folgenden beiden Beziehungen:\[E_{\rm{kin}}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2\qquad (1)\qquad\qquad\qquad\qquad p=m\cdot v\qquad (2)\]Erweitern der rechten Seite von \((1)\) mit \(m\) ergibt:\[{E_{\rm{kin}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\,\,| \cdot \frac{m}{m} \Rightarrow {E_{\rm{kin}}} = \frac{{{m^2} \cdot {v^2}}}{{2 \cdot m}}\]Einsetzen von \((2)\) in \((1)\) führt zu\[{E_{\rm{kin}}} = \frac{{{p^2}}}{{2 \cdot m}}\]

Relativistisch korrekter Zusammenhang zwischen Gesamtenergie, Ruheenergie und Impuls

Relativistisch ergibt sich der Zusammenhang zwischen kinetischer Energie und Impuls aus den folgenden beiden Beziehungen:\[E=\frac{m_0}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\cdot c^2\qquad (3)\qquad\qquad\qquad\qquad p=\frac{m_0\cdot v}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\qquad (4)\]Wieder soll im Ausdruck für die Energie die Geschwindigkeit \(v\) eliminiert werden. Dazu bildet man zunächt den Ausdruck \(\frac{p}{E}\):\[\frac{p}{E} = \frac{v}{{{c^2}}} \Rightarrow v = \frac{{{c^2} \cdot p}}{E}\qquad (5)\]Durch Multiplizieren mit der Wurzel formt man \((3)\) wie folgt um:\[E = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \cdot {c^2} \Rightarrow E \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}}  = {m_0} \cdot {c^2}\]
Einsetzen von (5) führt dann zu:\[E \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{\frac{{{c^2} \cdot p}}{E}}}{c}} \right)}^2}}  = {m_0} \cdot {c^2} \Rightarrow E \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{c \cdot p}}{E}} \right)}^2}}  = {E_0}\]Quadrieren der Gleichung ergibt dann:\[{E^2} - {\left( {c \cdot p} \right)^2} = {E_0}^2\]Dies ist die relativistische Energie-Impuls-Beziehung.

Relativistische Energie-Impuls-Beziehung

\[E^2 = E_0^2 + (c\cdot p)^2     \Rightarrow   E = \sqrt{E_0^2 + (c\cdot p)^2}\]Dabei ist \(E\) die Gesamtenergie, \(E_0\) die Ruheenergie und \(p\) der Impuls.

Energie-Impuls-Beziehung im rechtwinkligen Dreieck

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Energie-Impuls-Beziehung im rechtwinkligen Dreieck

Die Energie-Impuls-Beziehung kann auch in einem rechtwinkligen Dreieck dargestellt werden (siehe Abb. 1). Dabei ist die Gesamtenergie die Hypotenuse, die Katheten sind die Ruheenergie \(E_0\) und das Produkt aus Impuls und Lichtgeschwindigkeit \(p\cdot c\).

Für Teilchen mit Ruhemasse \(m_0=0\) ergibt die Energie-Impuls-Beziehung \(E=p\cdot c\)