Spezielle Relativitätstheorie

Relativitätstheorie

Spezielle Relativitätstheorie

  • Warum vergrößert sich die Masse bewegter Körper?
  • Was versteht man unter der Ruheenergie eines Körpers?
  • Wie kommt Einstein zu seiner berühmten Formel E=mc2?

Was ist eine Lichtuhr?

Die Lichtuhr besteht aus zwei Spiegeln, deren Abstand z.B. h = 1,5 m ist. Wird nun ein Lichtimpuls vom unteren Spiegel zum oberen Spiegel geschickt und dort reflektiert, so verstreicht bis zum Wiedereintreffen beim unteren Spiegel die Zeit Δt'. Bei dem gewählten Beispiel gilt für Δt':
\[\Delta t' = \frac{2 \cdot h}{c}   \Rightarrow   \Delta t' = \frac{2 \cdot 1,5}{3,0 \cdot 10^8} \frac{m}{s} = 1,0 \cdot 10^{-8}s = 10ns\]

Dieser stets wiederholbare Vorgang (Auf- und Absteigen des Lichtsignals) entspricht z.B. der stets wiederholbaren Schwingung des Pendels einer Pendeluhr oder der Schwingung eines Quarzes in einer modernen Armbanduhr. Solche, auf stets gleiche Weise ablaufenden Vorgänge sind für die Zeitmessung geeignet.

 

In der folgenden Animation wird nun eine Periode der Lichtuhr, die sich in einem Raumschiff befindet, aus verschiedenen Positionen beobachtet:

a) von einem im Raumschiff mitfliegenden Astronauten (Eigensystem S');
b) von einer auf der Erde befindlichen Beobachterin (System S) an der das Raumschiff mit der konstanten Geschwindigkeit v vorbeifliegt;

Hinweise:

  • Die Vorgänge sind gegenüber der oberen Animation verlangsamt dargestellt.

  • Die Überlegungen werden allgemein durchgeführt, d.h. für den Abstand h der Spiegel in der Lichtuhr wird keine spezieller Wert verwendet.

Zusammenhang zwischen Δt' und Δt:

Im S'-System gilt:
\[\Delta t' = \frac{{2 \cdot h}}{c}\quad (1)\]
Im S-System gilt:
\[\Delta t = \frac{{2 \cdot l}}{c}\quad (2)\]
Aus der Animation erkennt man (graues rechtwinkliges Dreieck):
\[l = \sqrt {{{\left( {\frac{{v \cdot \Delta t}}{2}} \right)}^2} + {h^2}} \quad (3)\]
Setzt man (3) in (2), so erhält man:
\[\begin{array}{l}\Delta t = \frac{{2 \cdot \sqrt {{{\left( {\frac{{v \cdot \Delta t}}{2}} \right)}^2} + {h^2}} }}{c} \Rightarrow {c^2} \cdot \Delta {t^2} = {\left( {v \cdot \Delta t} \right)^2} + {\left( {2 \cdot h} \right)^2}\\\Delta {t^2} \cdot \left( {{c^2} - {v^2}} \right) = {\left( {2 \cdot h} \right)^2} \Rightarrow \Delta t = 2 \cdot h \cdot \frac{1}{{\sqrt {{c^2} - {v^2}} }} \Rightarrow \Delta t = \frac{{2 \cdot h}}{c} \cdot \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {{\textstyle{v \over c}}} \right)}^2}} }}\end{array}\]

Unter Berücksichtigung von (1) ergibt sich dann für den Zusammenhang zwischen Δt und Δt':

\[\Delta t = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}}\]Zeitdilatation

Erläuterungen und Hinweise:

  • Da v stets kleiner c ist, gilt für \(\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}\) < 1. Somit gilt Δt > Δt'.
  • Obige Gleichung besagt:
    Eine relativ zu einem Beobachter bewegte Uhr geht aus der Sicht des Beobachters langsamer als der Satz synchronisierter Uhren im "Beobachter-System" (Zeitdilatation).
    Oft hört man hierfür die etwas saloppe Formulierung: "Bewegte Uhren gehen langsamer".
  • Beachten Sie, dass das Zeitintervall Δt' durch zwei aufeinanderfolgende Ablesungen an einer Uhr im S'-System bestimmt ist. Dagegen ist das Zeitintervall Δt bestimmt durch Ablesungen an zwei verschiedenen, synchronisierten Uhren im S-System.
  • Eine mehr formale Herleitung der Zeitdilatation ist auch mit den Minkowski-Diagrammen möglich.
  • Würde man davon ausgehen, dass es eine absolute Zeit gibt, d.h. dass Δt = Δt' ist, so hätte dies zur Konsequenz, dass man für die Lichtgeschwindigkeit in den Systemen S und S' verschiedene Werte erhält: \[c_{S'} = \frac{2 \cdot h}{\Delta t}   \text{bzw.}     c_S = \frac{2 \cdot l}{\Delta t}     \text{da}    l > h   \text{wäre auch}      c_S > c_{S'}\]

 

Ergänzendes Material zum Thema bei Welt der Physik

 

Bis zum Beginn 20. Jahrhunderts war man der Meinung, dass die Zeit eine absolute Größe ist, d.h. die Zeit läuft in allen Intertialsystemen gleich ab. Das Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit führt jedoch dazu, dass man von dieser Vorstellung, die in unseren Hirnen fest verankert scheint, Abschied nehmen muss.

Gleichzeitigkeit von Ereignissen in einem Inertialsystem, die sich an verschiedenen Orten A und B befinden
Zwei Ereignisse an verschiedenen Orten A und B eines Inertialsystems sind gleichzeitig, wenn sie von Lichtstrahlen ausgelöst werden können, die im gleichen Augenblick von einem Punkt ausgehen, der in der Mitte von A und B liegt.

Betrachtet man die Gleichzeitigkeit in verschiedenen Inertialsystemen, so entsteht eine neue Situation:
Um diese genauer zu verstehen, betrachten wir zwei sehr lange Raketen (eine aus Frankreich und eine aus Deutschland), die mit der Relativgeschwindigkeit \(v\) aneinander vorbei fliegen. Beide Raketen seien baugleich und haben sowohl am Heck als auch am Bug eine Uhr. Um Vorgänge im All gleichartig beurteilen zu können, sollen die Uhren in den Raketen gleichzeitig gestartet werden.
Zum Uhrenstart soll ein Lichtsignal dienen, das genau dann in der Mitte der beiden Raketen ausgesandt wird, wenn die beiden Raumschiffe genau nebeneinander liegen. Die mögliche Bewegung der Lampe, die das Lichtsignal aussendet, relativ zu den Raketen ist hier nicht relevant und wird deshalb auch nicht gezeigt.

 


Beurteilung des Vorgangs in einem System, in dem die französische Rakete ruht:
Beurteilung des Vorgangs in einem System, in dem die deutsche Rakete
ruht:

Die Uhren im französischen Raumschiff werden gleichzeitig gestartet, die Uhren im deutschen Raumschiff dagegen nicht.
Die Uhren im deutschen Raumschiff werden gleichzeitig gestartet, die Uhren im französischen Raumschiff dagegen nicht.

Relativität der Gleichzeitigkeit

Finden in einem Inertialsystem zwei Ereignisse an verschiedenen Orten gleichzeitig statt, so finden diese Ereignisse in einem dazu bewegten Inertialsystem zu verschiedenen Zeiten statt.


Hinweis:
Die Relativität der Gleichzeitigkeit kann sehr schön auch mit Hilfe der Minkowski-Diagramme gezeigt werden.

In der Musteraufgabe "Fahrt zu α-Centauri" dauert die gleichförmige Fahrt für den auf der Erde sitzenden Beobachter Δt = 5,4 Jahre, für den mitfliegenden Astronauten jedoch nur Δt' = 3,2 Jahre. Beide (Erdbewohner und Astronaut) gehen von der gleichen Relativgeschwindigkeit v = 0,8·c aus.

Der Erdbewohner schreibt: \[v = \frac{\Delta x}{\Delta t}    (1)\] Setzt man (1) und (2) gleich, so erhält man:
\[\frac{\Delta x'}{\Delta t'} = \frac{\Delta x}{\Delta t}  \Rightarrow    \Delta x' = \Delta x \cdot \frac{\Delta t'}{\Delta t}\]
mit der Formel für die Zeitdilatation folgt:
\[\Delta x' = \Delta x \cdot \frac{\Delta t \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}{\Delta t}    \Rightarrow    \Delta x' = \Delta x \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}\]
Der Astronaut schreibt: \[v = \frac{\Delta x'}{\Delta t'}    (2)\]

Der Astronaut muss also für die Entfernung Erde - Alpha-Centauri von einer kürzeren Strecke ausgehen. Man spricht von der Längenkontraktion.

Bewegt sich ein Beobachter an einer Strecke der Länge Δx mit der Geschwindigkeit v vorbei, so ist die Strecke für ihn auf den Wert Δx' verkürzt (Längenkontraktion):
\[\Delta x' = \Delta x \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}\]

Hinweis:
Die Längenkontraktion findet nur in Bewegungsrichtung statt. Strecken senkrecht zur Bewegungsrichtung behalten ihre Länge auch für den bewegten Beobachter bei.

Die Verhältnisse für den Flug von der Erde zu Alpha-Centauri sind in den folgenden Bildern illustriert:

  • Das obere Bild zeigt, wie ein Erdbewohner beobachtet: Er stellt für die Entfernung der Himmelskörper die Strecke Δx fest und misst als Zeitspanne zwischen den Ereignissen "Start" und "Ankunft" die Zeit Δt (Ablesung an räumlich verschiedenen Uhren).
    Die Rakete würde der Erdbewohner verkürzt wahrnehmen.
  • Das untere Bild zeigt, wie ein mitfliegender Astronaut beobachtet: Er stellt für die Entfernung der Himmelskörper die Strecke Δx' < Δx fest und misst als Zeitspanne zwischen den Ereignissen "Start" und "Ankunft" die Zeit Δt' < Δt (Ablesung an einer Uhr).
    Die Erde sieht der Astronaut in Bewegungsrichtung geschrumpft.

Historisches: In seiner Arbeit aus dem Jahre 1905 stellt EINSTEIN in der Überschrift die Frage: "Ist die Trägheit (Anm.: Masse) eines Körpers von seinem Energiegehalt abhängig?" Diese Arbeit können Sie kurz betrachten. Sie behandelt zunächst ein Spezialproblem, nämlich die Emission von Strahlung. Am Ende kommt jedoch EINSTEIN zu der folgenden Verallgemeinerung:

Hinweise

  • Hinter die von EINSTEIN benutzten Größen sind zu Ihrer leichteren Orientierung die heute üblichen Größen rot eingetragen.

  • Erg ist eine ältere, heute kaum noch benutzte Energieeinheit.

  • Die Lichtgeschwindigkeit wurde von EINSTEIN häufig in der Einheit cm/s angegeben.

  • Im unteren Abschnitt äußert sich EINSTEIN schon über ein Experiment mit Radiumsalzen (dies waren die zu seiner Zeit üblichen Stoffe die Strahlung aussandten und Kernreaktionen eingingen), dass zu einer Prüfung der Theorie dienen könnte.

  • In dem kurzen Ausschnitt von EINSTEINs Originalarbeit wird die Tatsache ausgedrückt, welche Sie in der Mittelstufe schon zur Berechnung von Bindungs- und Reaktionsenergien benutzt haben: ΔE = Δm · c2

Die Überlegungen EINSTEINs führten schließlich dazu, dass er ein Proportionalität zwischen der dynamischen Masse m(v) und der relativistischen Gesamtenergie E herleiten konnte. Es gilt:

Relativistische Gesamtenergie

\[E = m(v) \cdot {c^2}\]

Dabei ist E: Relativistische Gesamtenergie eines Körpers, m(v): Dynamische Masse eines Körpers und c: Vakuumlichtgeschwindigkeit

Über diese fundamentale Beziehung sind Masse und Energie miteinander verknüpft, man spricht auch von der Äquivalenz von Masse und Energie. In dem für einen breiten, interessierten Leserkreis geschriebenen Artikel erläutert Einstein, wie durch obige Beziehung die Erhaltungssätze für Masse und Energie zu einem einzigen umfassenden Erhaltungssatz verschmelzen. Eine tragfähige Herleitung dieser berühmten Formel setzt die Integralrechnung voraus, deshalb haben wir an dieser Stelle darauf verzichtet.

Ruheenergie

Nach der obigen Beziehung ist auch einem Körper mit der Geschwindigkeit Null eine Energie zuzuordnen, die man als Ruheenergie E0 bezeichnet:
\[E(v) = m(v) \cdot {c^2} \Rightarrow E(v) = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \cdot {c^2}\mathop  \text{ und für v=0 } E(0) = {m_0} \cdot {c^2}\]
\[{E_0} = {m_0} \cdot {c^2}\]

Kinetische Energie

Je schneller ein Körper bewegt wird, desto größer ist seine dynamische Masse und damit seine Gesamtenergie. Die kinetische Energie des Körpers ist die Differenz zwischen dessen Gesamtenergie und Ruheenergie:
\[{E_{kin}} = E(v) - {E_0} \Rightarrow {E_{kin}} = m(v) \cdot {c^2} - {m_0} \cdot {c^2} \Rightarrow {E_{kin}} = \left( {m(v) - {m_0}} \right) \cdot {c^2}\]

Vertrauensbildende Maßnahme: Nichtrelativistische Näherung für die kinetische Energie

In der Mathematik kann man bei den Reihenentwicklungen lernen, dass für kleine x (d.h. x << 1) gilt: \(\frac{1}{\sqrt{1 - x}}  \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot x\). Diese Näherung soll nun auf den relativistisch korrekten Ausdruck für die kinetische Energie angewandt werden, wobei x durch den Quotienten aus v und c ersetzt wird.
\[{E_{kin}} = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \cdot {c^2} - {m_0} \cdot {c^2} \Rightarrow {E_{kin}} \approx {m_0} \cdot {c^2} \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} \cdot {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} \right) - {m_0} \cdot {c^2} \Rightarrow {E_{kin}} \approx \frac{1}{2} \cdot {m_0} \cdot {v^2}\]
Dies bedeutet, dass für \(\frac{v}{c} \ll 1    \Rightarrow   v \ll c \) die Beziehung für die relativistisch korrekt berechnete kinetische Energie in die wohlvertraute Formel für die kinetische Energie in der klassischen Physik übergeht.

Hinweis auf einen häufigen Fehler

Manche Schüler meinen bei der Berechnung der kinetischen Energie der Relativitätstheorie Genüge zu tun, wenn sie in der klassischen Formel \(E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\) die Masse durch die dynamische Masse m(v) ersetzen. Wie Sie leicht überprüfen können, kommt man damit nicht auf die obige, korrekte Beziehung für die kinetische Energie.

  1. Berechne für Elektronen (Ruhemasse m0 = 9,11 ·10-31kg) die Ruheenergie in eV.

  2. Bestimme die kinetische Energie von Elektronen (in eV) für folgende Werte von v/c: 0,300; 0,600; 0,800; 0,900; 0,950; 0,990. Stelle v in Abhängigkeit von der kinetischen Energie in einem Ekin-v-Diagramm dar.

Bestimme rechnerisch die Geschwindigkeit eines Elektrons, das eine Beschleunigungsspannung von 800kV durchlaufen hat.

Mit dem Versuch von BUCHERER kann nachgewiesen werden, dass die "dynamische" Masse von schnellen Teilchen mit der Geschwindigkeit zunimmt:
\[ m_\text{dyn} = m \left( v \right) \]

Versuchsergebnisse verschiedener Autoren mit schnelle Elektronen

Bezeichnet man mit m0 die Ruhemasse1 eines Teilchens, so lässt sich aus den Versuchen die folgende Beziehung für die dynamische Masse ableiten:

\[m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}\]

Dabei ist m(v): Geschwindigkeitsabhängige Masse (dynamische Masse), m0: Ruhemasse und v: Teilchengeschwindigkeit

1Die Ruhemasse m0 eines Teilchens wird von einem Beobachter festgestellt, der in Bezug auf das Teilchen in Ruhe ist und sich in einem Inertialsystem befindet.

Die Beziehung für den Impuls p, für den Sie aus der klassischen Mechanik den Ausdruck p = m·v kennen, wird in der speziellen Relativitätstheorie beibehalten. Allerdings setzt man für die Masse die dynamische Masse ein.

\[p = m(v) \cdot v    \Rightarrow     p = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}} \cdot v\]

1Die Ruhemasse m0 eines Teilchens wird von einem Beobachter festgestellt, der in Bezug auf das Teilchen in Ruhe ist und sich in einem Inertialsystem befindet.

Im Folgenden bieten wir einige Aufgaben zur Festigung dieser Formel an (siehe auch Musteraufgaben). Wenn du daran interessiert bist, wie sich obige Beziehung aus den Einsteinschen Postulaten ableiten lässt (wir wählen dazu ein einfaches Beispiel), so kannst du dir diese Herleitung hier einblenden.

Berechne, bei welcher Geschwindigkeit die dynamische Masse dreimal so groß wie die Ruhemasse ist.

Elektronen treten senkrecht zu den magnetischen Feldlinien in ein Magnetfeld (B = 6,0·10-2Vs/m2), wodurch die Teilchen auf einer Kreisbahn mit dem Radius r = 4,4cm geführt werden.

  1. Berechne den Impuls der Elektronen.

  2. Zeige, dass sich bei klassischer Rechnung für die Elektronen Überlichtgeschwindigkeit ergeben würde.

  3. Ermittle die Elektronengeschwindigkeit unter Berücksichtigung der relativistischen Massenzunahme.

a)

Klassischer Zusammenhang zwischen kinetischer Energie und Impuls

Ausgangsbeziehungen:

\[{E_{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\quad (1)\]
\[p = m \cdot v\quad (2)\]
 

Erweiterung der rechten Seite von (1) mit m und Einsetzen von (2) in (1) ergibt:
\[{E_{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\,\,| \cdot \frac{m}{m} \Rightarrow {E_{kin}} = \frac{{{m^2} \cdot {v^2}}}{{2 \cdot m}}\text{ und mit (2) }{E_{kin}} = \frac{{{p^2}}}{{2 \cdot m}}\]

b)

Relativistisch korrekter Zusammenhang zwischen Gesamtenergie, Ruheenergie und Impuls

Ausgangsbeziehungen:

\[E = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \cdot {c^2}\quad (3)\]
\[p = \frac{{{m_0} \cdot v}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }}\quad (4)\]
 

Ziel: Elimination von v in Gleichung (3). Dazu bildet man den Ausdruck p/E:

\[\frac{p}{E} = \frac{v}{{{c^2}}} \Rightarrow v = \frac{{{c^2} \cdot p}}{E}\quad (5)\]

Formt man (3) um, so folgt:
\[E = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \cdot {c^2} \Rightarrow E \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}}  = {m_0} \cdot {c^2}\]
Mit (5) ergibt sich:
\[E \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{\frac{{{c^2} \cdot p}}{E}}}{c}} \right)}^2}}  = {m_0} \cdot {c^2} \Rightarrow E \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{c \cdot p}}{E}} \right)}^2}}  = {E_0}\]
Quadrieren der Gleichung ergibt dann:
\[{E^2} - {\left( {c \cdot p} \right)^2} = E_0^2\]

 

Relativistische Energie-Impuls-Beziehung

\[E^2 = E_0^2 + (c\cdot p)^2     \Rightarrow   E = \sqrt{E_0^2 + (c\cdot p)^2}\]

Dabei ist E die Gesamtenergie, E0 die Ruheenergie und p der Impuls.

Erinnerungsstütze kann das Energie-Impuls-Dreieck sein:

Hinweis: Für Teilchen mit Ruhemasse m0 = 0 ergibt die Energie-Impuls-Beziehung: E = p·c

 
Teilchen mit Ruhemasse verschieden von Null
Teilchen mit Ruhemasse Null (Photonen)
Masse
\[m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}\]
\[m = \frac{E}{c^2}    \Rightarrow      m = \frac{h \cdot f}{c^2}\]
Energie
Gesamtenergie
\[E = m \cdot c^2      \Rightarrow     E = \frac{m_0 \cdot c^2}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}\]
\[E = h \cdot f\]
Ruheenergie
\[E_0 = m_0 \cdot c^2\]
- - -
Kinetische Energie
\[E_{kin} = E - E_0\]
- - -
Impuls
\[p = m(v) \cdot v  =\frac{m_0 \cdot v}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}\]
\[p = m \cdot c  = \frac{h \cdot f}{c}  = \frac{h}{\lambda}\]
Energie-Impuls-Beziehung
\[E^2 = E_0^2  + (p \cdot c)^2\]
\[E = p \cdot c\]

Hinweise:

  • Die Formel für die relativistisch korrekte Berechnung der kinetischen Energie geht in die klassische Formel durch die folgende Näherung über:

    \[ E_{kin} = \left( \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - m_0 \right) \cdot c^2 \qquad \text{mit } k = \frac{v^2}{c^2} \text{ gilt:} \qquad E_{kin} = \left( \frac{1}{\sqrt{1-k}} - 1 \right) \cdot m_o \cdot c^2 \]

    Aus der Mathematik ist für k << 1 (d.h. v << c) die folgende Näherung bekannt: \( \frac{1}{\sqrt{1-k}} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot k \) . Mit dieser Näherung ergibt sich:

    \[ E_{kin} = \left( 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{v^2}{c^2} -1 \right) \cdot m_0 \cdot c^2 = \frac{1}{2} \cdot m_0 \cdot v^2 \]

  • Um relativistisch korrekt zu rechnen, reicht es nicht in der klassischen Formel für die kinetische Energie nur die Masse durch die geschwindigkeitsabhängige Masse zu ersetzen. Diese Vorgehensweise ist jedoch beim Impuls möglich.
  • Die relativistisch korrekte Energie-Impuls-Beziehung \(E^2 = E_0^2 + (p \cdot c)^2\) kann man sich über das untenstehend skizzierte Dreieck - auf welches der Satz des Pythagoras angewandt wird - einprägen.

  • Die Energie-Impuls-Beziehung für materielle Teilchen \(E^2 = E_0^2 + (p \cdot c)^2\) geht durch Nullsetzen der Ruheenergie in die Energie-Impuls-Beziehung für Photonen über.
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