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Grundwissen

Linsengleichungen

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die Abbildungsgleichung \(\frac{B}{G} = \frac{b}{g}\) beschreibt den Zusammenhang zwischen Bildgröße \(B\), Gegenstandsgröße \(G\), Bildweite \(b\) und Gegenstandsweite \(g\) bei einer Linsenabbildung.
  • Die Linsengleichung \(\frac{1}{f}=\frac{1}{b}+\frac{1}{g}\) beschreibt den Zusammenhang zwischen Brennweite \(f\), Gegenstandsweite \(g\) und Bildweite \(b\) bei einer Linsenabbildung.
  • Die Linsengleichung kann mithilfe der Hauptstrahlen und des Strahlensatzes hergeleitet werden.
  • Die Linsengleichung gilt sowohl für Sammel- als auch Zerstreuungslinsen.
Aufgaben Aufgaben

Hinweis: Dieses Thema wird leider nicht mehr in allen Bundesländern behandelt. Wenn du jedoch die Linsengleichung beherrschst, kannst du aus der Gegenstandgröße \(G\), der Gegenstandsweite \(g\) und der Brennweite \(f\) die Bildgröße \(B\) und die Bildweite \(b\) berechen.

Gleichungen mittels Strahlensatz aufstellen

Die Linsengleichung kannst du mithilfe der Hauptstrahlen zur Bildkonstruktion und dem Strahlensatz entwickeln.

 

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1
Dazu betrachtest du zunächst den Mittelpunktsstrahl. Der Strahlensatz besagt hierbei
\[\frac{G}{g} = \frac{B}{b}\] Dies kannst du umformen zu \[\frac{B}{G} = \frac{b}{g}\quad (1)\]

 

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2
Nun betrachtest du den Parallelstrahl. Der Strahlensatz ergibt hierbei
\[\frac{G}{f} = \frac{B}{{b - f}} \quad (2)\]

Gleichungen zur Linsengleichung zusammenführen

Nun kannst du aus den Gleichungen \((1)\) und \((2)\) die Linsengleichung wie folgt herleiten
Umformen von \((2)\) liefert: \[\frac{B}{G}=\frac{{b - f}}{f}\] Einsetzen in \((1)\) führt zu \[\frac{{b - f}}{f} = \frac{b}{g}\] Hieraus ergibt sich
\[\frac{b}{f} - \frac{f}{f} = \frac{b}{g}\;|\;:b\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{f} - \frac{1}{b} = \frac{1}{g}\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g}\]

Abbildungsgesetze bei optischen Linsen

Wir nutzen folgende Bezeichnungen:

\(B\): Bildgröße

\(G\): Gegenstandsgröße

\(b\): Bildweite

\(g\): Gegenstandsweite

\(f\): Brennweite

Dann gilt:

1.Bei jeder Abbildung mit einer Linse ist der Quotient aus Bildgröße \(B\) und Gegenstandsgröße \(G\) gleich dem Quotienten aus Bildweite \(b\) und Gegenstandsweite \(g\):\[\frac{B}{G} = \frac{b}{g}\]

2.Bei jeder Abbildung mit einer Linse gilt für Brennweite \(f\), Bildweite \(b\) und Gegenstandsweite \(g\) die Linsengleichung:\[\frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g}\]