Optische Linsen

Optik

Optische Linsen

  • Was sind Sammellinsen …
  • … und was Zerstreuungslinsen?
  • Wie erzeugen Linsen eigentlich Bilder?
  • Was sind virtuelle …
  • … und was reelle Bilder?

Weitere Linsenformen

In der Praxis kann man nicht nur allgemein Konvex- und Konkavlinsen voneinander unterscheiden, sondern auch Unterkategorien bilden. Die Unterkategorien werden entsprechend der optischen Eigenschaft (Sammellinse oder Zerstreuungslinse) und der Linsenform benannt. Dabei gibt immer der hintere Namensteil an, ob es sich um eine Sammel- oder Zerstreuungslinse handelt.

Auf den ersten Blick kannst du die verschiedenen Linsentypen oft kaum unterscheiden. Eine Hilfe bietet meist dein Tastsinn. Konvexlinsen (Sammellinsen) sind in der Mitte dicker als am Rand. Konkavlinsen (Zerstreuungslinsen) sind am Rand dicker als in der Mitte. Dies gilt auch für die entstprechenden Unterkategorien.

Lupe

Der Sehwinkel beeinflusst die Bildgröße

 

Hält man ein 5-Cent-Stück in der Entfernung einer Armlänge vor das Auge, so erscheint das 5-Cent-Stück größer als der Vollmond.

Wie groß uns ein Gegenstand erscheint, hängt von der Größe des Netzhautbildes \(B\) ab und nicht von seiner tatsächlichen Größe. Das Netzhautbild wird durch den festen Abstand zwischen Augenlinse und Netzhaut und dem Sehwinkel \(\alpha\) bestimmt.

In der Skizze ist der betrachtete Gegenstand immer gleich groß. Von dem näher am Auge befindlichen Gegenstand wird jedoch ein größeres Bild \(\rm{B}_2\) auf deiner Netzhaut erzeugt. Der nahe Gegenstand erscheint unter dem größeren Sehwinkel \(\alpha_2\) und somit größer. Den weiter entfernten Gegenstand sehen wir unter dem kleineren Sehwinkel \(\alpha_1\). Daher erzeugt der weiter entfernte Gegenstand ein kleineres Bild \(\rm{B}_2\) auf der Netzhaut und du hast den Eindruck, dass der nahe Gegenstand größer ist als der weit entfernte.

Nahpunkt

Je geringer ein Gegenstand vom Auge entfernt ist, desto größer erscheint er dir. Jedoch sind der Annäherung Grenzen gesetzt: ab etwa 10cm Entfernung kann dein Auge nicht mehr auf den Gegenstand scharf stellen. Diesen Punkt bezeichnet man als Nahpunkt. Für dein Auge ist das jedoch sehr anstregend. Die Entfernung, bei der das Scharfstellen (Akkommodieren) noch ohne große Anstrengung möglich ist, bezeichnet man als deutliche Sehweite, die häufig mit s bezeichnet wird. Sie beträgt ca. 25cm.

Definition der Vergrößerung

Man definiert die Vergrößerung \(V\) eines optischen Instrumentes ganz allgemein:

\[V = \frac{{{\alpha _{{\rm{mit}}}}}}{{{\alpha _{{\rm{ohne}}}}}}\;{\rm{d}}{\rm{.h}}{\rm{.}}\;{\rm{Vergrößerung}} = \frac{{{\rm{Sehwinkel}}\;{\rm{mit}}\;{\rm{Instrument}}}}{{{\rm{Sehwinkel}}\;{\rm{ohne}}\;{\rm{Instrument}}}}\]

oder

\[V = \frac{{{B_{{\rm{mit}}}}}}{{{B_{{\rm{ohne}}}}}}\;{\rm{d}}{\rm{.h}}{\rm{.}}\;{\rm{Vergrößerung}} = \frac{{{\rm{Größe}}\;{\rm{des}} \;{\rm{Netzhautbildes}} \;{\rm{mit}} \;{\rm{Instrument}}}}{{{\rm{Größe}} \;{\rm{des}} \;{\rm{Netzhautbildes}} \;{\rm{ohne}} \;{\rm{Instrument}}}}\]

Berechnung des Sehwinkels

Hinweis (nur für besonders Interessierte und weit Fortgeschrittene)
Zur Charakterisierung des Sehwinkels kann man anstelle des Winkels auch das Verhältnis \(\frac{G}{g}\) von Gegenkathete zu Ankathete in dem gelben rechtwinkligen Dreieck verwenden. Du wirst in einer späteren Klasse lernen, dass dieser Quotient mit dem Begriff Tangens (kurz: tan) abgekürzt wird.

\[\tan \alpha = \frac{G}{g}\]
Für die Vergrößerung V gilt dann
\[V = \frac{{\tan {\alpha _m}}}{{\tan {\alpha _o}}}\]

Nahlupe

Eine Lupe ist eine einfache Sammellinse, deren Brennweite kleiner als die deutliche Sehweite ist (typische Werte: 20mm - 50mm). Die Nahlupe wird direkt vor das Auge gehalten, der zu betrachtende Gegenstand befindet sich in der Brennebene der Lupe. Somit sind die aus der Lupe tretenden Lichtstrahlen untereinander parallel und das Auge kann das Bild im völlig entspannten Zustand betrachten.

Hinweis: Es ist auch g < f möglich. Dabei entsteht hinter der Lupe ein divergentes Bündel.

Im folgende Bild ist die Entstehung des Netzhautbildes ohne Lupe dargestellt (Gegenstand in deutlicher Sehweite s). In der unteren Animation kannst du die Konstruktion des Netzhautbildes bei Verwendung der Nahlupe nachvollziehen.

Somit gilt
\[{V_{Lupe}} = \frac{s}{f}\]
Dabei ist s die deutliche Sehweite von ca. 25 cm.

Für besonders Fortgeschrittene zeigen wir auch die Herleitung der Formel für die Vergrößerung der Nahlupe.

KEPLER- oder astronomisches Fernrohr

Ziel eines jeden Fernrohres ist die Vergrößerung des Sehwinkels. Das von Johannes KEPLER entwickelte astronomische Fernrohr besteht aus zwei Sammellinsen. Es entwirft ein höhen- und seitenverkehrtes Bild des Gegenstandes.

Wir gehen von einem sehr weit entfernten Gegenstand aus, dessen Sehwinkel \(\beta\) klein ist. Mit der ersten Sammellinse (Objektiv) wird zunächst ein reelles Zwischenbild \(B'\) erzeugt, das umso größer ist, je länger die Brennweite \(f_1\) des Objektivs ist.

Das reelle Zwischenbild wird mit einer als Lupe wirkenden Sammellinse (Okular) mit Brennweite \(f_2\)) betrachtet. Dabei fallen die Brennebenen von Objektiv und Okular zusammen. Somit ist die gesamte Baulänge des Kepler-Rohres \(l = f_1 + f_2\).

Die folgende Animation zeigt in einzelnen Schritten den Strahlengang durch das KEPLER-Fernrohr.

Für die Vergrößerung \(V\) des KEPLER-Fernrohres (der Vergrößerungsfaktor ist das Verhältnis des Winkels \(\alpha\) unter dem das Bild B´ mit Fernrohr auf die Augenlinse trifft zum Winkel \(\beta\) unter dem es ohne Linsen aufs Auge treffen würde) gilt
\[V = \frac{{{B_m}}}{{{B_0}}}\]
Mitteilung (ohne Beweis)
\[\frac{{{B_m}}}{{{B_0}}} = \frac{{{f_1}}}{{{f_2}}} = \frac{{{f_{Objektiv}}}}{{{f_{Okular}}}}\]
Es ist somit
\[V = \frac{{{f_{Objektiv}}}}{{{f_{Okular}}}}\]

Hinweise

Durch den Einbau einer dritten Sammellinse kann man beim KEPLER-Fernrohr erreichen, dass das entworfene Bild höhen- und seitenrichtig ist, das Fernrohr also auch für Beobachtungen auf der Erde geeignet ist. Allerdings vergrößert sich dadurch die Baulänge weiter.

Man kann die Bildumkehr jedoch auch mit zwei totalreflektierenden Prismen erreichen, die - wenn man sie geschickt anordnet - auch noch eine geringere Baulänge des Fernrohrs (Prismenfernglas) zulassen.

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Nur für besonders Interessierte und Fortgeschrittene

Betrachtet man das letzte Bild der Animation so kann man mit der Definition der Vergrößerung optischer Instrumente die Formel für die Vergrößerung des KEPLER-Fernrohres verstehen (Bz: Größe des reellen Zwischenbildes)
\[V = \frac{{\tan {\alpha _m}}}{{\tan {\alpha _o}}}\quad da\quad \tan {\alpha _m} = \frac{{{B_z}}}{{{f_{Okular}}}}\quad und\quad \tan {\alpha _o} = \frac{{{B_z}}}{{{f_{Objektiv}}}}\quad {\rm{folgt}}\quad {\rm{V = }}\frac{{\frac{{{B_z}}}{{{f_{Okular}}}}}}{{\frac{{{B_z}}}{{{f_{Objektiv}}}}}}\quad \Rightarrow \quad V = \frac{{{f_{Objektiv}}}}{{{f_{Okular}}}}\]

GALILEI- oder holländisches Fernrohr

Beim GALILEI- oder holländischen Fernrohr wird ein sehr weit entfernter Gegenstand, dessen Sehwinkel \(\beta\) klein ist, durch eine Sammellinse mit langer Brennweite (Objektiv) auf ein Zwischenbild \(B'\) abgebildet. Dieses wird durch eine Zerstreuungslinse mit kurzer Brennweite (Okular) und das dahinter befindliche Auge auf der Netzhaut abgebildet. Dabei werden parallele Strahlen vor dem Objektiv wieder zu parallelen Strahlen nach dem Okular. Es entsteht - im Gegensatz zum KEPLER-Fernrohr - ein höhen- und seitenrichtiges Bild des Gegenstandes.

Mit dem Objektiv wird zunächst ein reelles Zwischenbild erzeugt, das umso größer ist, je länger die Brennweite \(f_1\) des Objektivs ist.

Bringt man die Zerstreuungslinse (Okular mit Brennweite \(f_2\)) so in den Strahlengang, dass die rechten Brennebenen beider Linsen zusammenfallen, so verlässt das Licht die Zerstreuungslinse als Parallelbündel. Die gesamte Baulänge des GALILEI-Rohres ist (beachte, dass \(f_2<0\) \(l = f_1 - f_2\).

Um das GALILEI-Fernrohr verstehen zu können, muss man wissen wie ein konvergentes Lichtbündel, das sich in der rechten Brennebene einer Konkavlinse vereinigen würde, durch die Konkavlinse verändert wird. Die folgenden Animationen (fahre zu deren Start mit dem Mauszeiger auf die Zeichnungen) sollen dir das Verständnis erleichtern.

Zunächst wird ein Parallelbündel (parallel zur optischen Achse) betrachtet, das von rechts kommt.

Das Parallelbündel wird zu einem divergenten Bündel, welches vom rechten Linsenbrennpunkt auszugehen scheint.

Aufgrund der Umkehrbarkeit des Lichtweges muss nun ein von links kommendes konvergentes Bündel, das sich im rechten Brennpunkt der Konkavlinse treffen würde, zu einem Parallelbündel werden.

Wie verhält sich nun ein von rechts kommendes Parallelbündel, dessen Bündelachse nicht parallel zur optischen Achse ist?

Das Parallelbündel wird zu einem divergenten Bündel, welches vom Schnittpunkt B der Achse des Parallelbündels mit der Brennebene auszugehen scheint.

Aufgrund der Umkehrbarkeit des Lichtweges muss nun das von links kommende (nicht zur optischen Achse symmetrische) konvergente Bündel, das sich rechts von der Konkavlinse in B treffen würde, zu einem Parallelbündel werden. Die Richtung des Parallelbündels wird durch die Verbindung der Linsenmitte mit B vorgegeben (Hauptstrahl).

Die folgende Animation zeigt den Strahlengang durch das GALILEI-Fernrohr. Es ist nur dasjenige, von der Pfeilspitze ausgehende Lichtbündel gezeichnet, dessen Licht ins Auge trifft.

Für die Vergrößerung V des GALILEI-Fernrohres (der Vergrößerungsfaktor ist das Verhältnis des Winkels \(\alpha\) unter dem das Bild \(B'\) auf die Augenlinse trifft zum Winkel \(\beta\) unter dem es ohne Linsen aufs Auge treffen würde) gilt (wie beim KEPLER-Fernrohr)
\[V = \frac{{{B_m}}}{{{B_o}}}\]
Mitteilung (ohne Beweis)
\[\frac{{{B_m}}}{{{B_o}}} = \frac{{{f_1}}}{{{f_2}}} = \frac{{{f_{Objektiv}}}}{{{f_{Okular}}}}\]
Es ist somit
\[V = \frac{{{f_{Objektiv}}}}{{{f_{Okular}}}}\]

Mikroskop

Im Prinzip besteht ein gewöhnliches Mikroskop aus zwei Sammellinsen, einem Objektiv und einem Okular. Im Gegensatz zum KEPLER-Fernrohr ist hier aber der abzubildende Gegenstand nicht groß und weit entfernt, sondern in der Regel klein und nahe.

Beim Mikroskop wird ein sehr kleiner Gegenstand (Gegenstandsgröße G), dessen Sehwinkel auch bei einer Annäherung von 15cm vor das Auge noch zu klein ist, durch eine erste Linse mit kurzer Brennweite (Objektiv) auf ein Zwischenbild B´ abgebildet. Dieses Zwischenbild wird mit einer als Lupe verwendeten zweite Linse (Okular) vom Auge betrachtet. Der Vergrößerungsfaktor ist das Verhältnis des Winkels α unter dem das Bild B´ (mit Mikroskop) auf die Augenlinse trifft, zum Winkel β unter dem es ohne Linsen aufs Auge treffen würde.

Zunächst wird dargestellt, wie ein Betrachter den Gegenstand in der deutlichen Sehweite \(s\) sieht. Die nachfolgende Animation zeigt das Lichtbündel, welches von einer Pfeilspitze ausgeht und durch das Mikroskop in das Auge des Betrachters gelangt.

Bei den heute üblichen Mikroskopen kann man bequem die Objektive austauschen, in dem man den "Objektiv-Revolver" verdreht. An den Objektiven stehen Zahlen wie z.B. 20x oder 100x. Sie bedeuten den Abbildungsfaktor.

Darüber hinaus kann das Okular aus seiner Halterung herausgezogen und durch ein anderes ersetzt werden. Auch hier gibt es eine Bezeichnung wie 5x oder 10x. Sie stellt die Okularvergrößerung dar. Durch Multiplikation des Abbildungsfaktors und der Okularvergrößerung erhält man dann die Gesamtvergrößerung des Mikroskops.

 

Die Vergrößerung des Mikroskops kann auch berechnet werden. Für besonders Interessierte und weit Fortgeschrittene haben wir angedeutet, wie diese Rechnung aussieht.

Fotoapparat

Overheadprojektor

Ein Tageslichtprojektor (Overheadprojektor) ist ähnlich aufgebaut wie ein Diaprojektor. Als Lichtquelle dient in der Regel eine Halogenlampe (400W - 1000W). Um deren Lichtausbeute zu steigern, befindet sie sich im Brennpunkt eines Hohlspiegels. Das direkt von der Lampe kommende und vom Hohlspiegel reflektierte Licht durchsetzt eine sogenannte Fresnellinse, auf deren Funktion weiter unten eingegangen wird. Die Fresnellinse leuchtet die großflächige Folienvorlage gut aus und übernimmt die Funktion des Kondensors (vgl. Diaprojektor). Die Fresnellinse wird durch eine darüber liegende Glasplatte geschützt, auf der die Folie aufgelegt wird. Das Projektionsobjektiv hat die Aufgabe, die Folie scharf abzubilden. Der Umlenkspiegel dient zur Richtungsänderung des vom Objektiv kommenden Lichtbündels.

 

Die FRESNEL-Linse

Würde man für die Ausleuchtung der Folie (ca. 25cm x 25cm) einen Kondensor aus Glas verwenden, so wäre dieser äußerst dick und schwer. Auch die Lichtdurchlässigkeit wäre bei einer solch voluminösen Linse nicht mehr optimal.

Man erzielt fast den gleichen Effekt mit der sogenannten Fresnellinse (benannt nach dem berühmten franz. Physiker Fresnel). Bei einer Plankonvexlinse geschieht die Ablenkung der Lichtstrahlen an der gekrümmten und an der planen Linsenfläche. Das dicke Glasmaterial des Linseninneren hat keinen Einfluss auf die Strahlablenkung, also kann man es einsparen. Die folgende Animation zeigt die Entstehung einer Fresnellinse aus einer Plankonvexlinse. Das linke Bild zeigt zwei Fresnellinsen, die meist aus Plexiglas gefertigt sind.

 

Das Objektiv des Tageslichtprojektors bildet den Punkt P der Folie scharf auf die Schirm ab (P').

Erläutere, wie das Objektiv zum Scharfstellen bewegt werden muss, wenn der Schirm näher an den Tageslichtprojektor gestellt wird.

 

FRESNEL-Linsen werden auch in Leuchttürmen zur Erzeugung von Parallelbündeln mit großem Querschnitt eingesetzt.

NEWTON- oder Spiegelteleskop

 

Das von Isaak NEWTON im 17. Jahrhundert entwickelte Spiegelteleskop ist weitgehend farbfehlerfrei, da die Lichtstrahlen lediglich reflektiert werden und nur beim Okular Glas durchdringen müssen. Das vom Objektivspiegel (meist parabolisch) reflektierte und gebündelte Licht trifft auf den unter 45° zur optischen Achse stehenden Sekundärspiegel (auch Fangspiegel genannt). Der Sekundärspiegel blendet die vom Objektivspiegel kommenden Lichtstrahlen um 90° seitlich aus dem Fernrohrtubus, wo sie dann auf das Okular treffen. Die Lichtverluste durch die Abschattung des Fangspiegels und seiner Halterung betragen ca. 7%.

Vorteile gegenüber Linsenfernrohren (Linsenteleskopen)

Beim Spiegelteleskop nach NEWTON muss nur die die Fläche des Objektivspiegels mit hoher Präzision bearbeitet werden. Bei Linsenfernrohren mit mehreren Linsen müssen dagegen viele Glasflächen genau bearbeitet werden. Dies wirkt sich auf den Preis aus. So sind die meisten Amateurfernrohre für die Astronomie Spiegelteleskope.

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