Beugung und Interferenz

Grundwissen

Einzelspalt

Das Wichtigste auf einen Blick

Auch am Einzelspalt treten Interferenzerscheinungen auf.
Die Lage der Maxima und Minima wird von der Spaltbreite \(B\) und der Wellenlänge \(\lambda\) beeinflusst.
Die Bedingungen für konstruktive und destruktive Interferenz unterscheiden sich von denen beim Doppelspalt bzw. Gitter.

Abb. 1 Versuchsaufbau für das Beugungsbild am Einzelspalt

Abb. 2 Winkel und Gangunterschied am Einzelspalt

Zur Darstellung des Beugungs- und Interferenzbildes eines Einzelspalts benutzt man üblicherweise den nebenstehenden Aufbau.

Die folgende Simulation zeigt das entstehende Bild.

Einzelspalt

N = 1

Spaltbreite

Wellenlänge

Abb. 2 Winkelabhänge Intensitätsverteilung hinter einem Einzelspalt sowohl als optisches Bild als auch als Diagramm

Einzelspalt

Bezeichnet man mit \(b\) die Spaltbreite und mit \(\lambda\) die Wellenlänge, so gilt für die Lichtintensität \(I\) hinter dem Einzelspalt in Abhängigkeit von der Winkelweite \(\alpha\)\[I(\alpha ) = {I_0} \cdot {\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{{\pi \cdot b \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}{{\frac{{\pi \cdot b \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }}}} \right]^2}\]Dabei ist \({I_0}\) die Intensität des Hauptmaximums (0. Maximum).

Als Bedingungen für die Winkelweiten \(\alpha_k\), unter denen Maxima auftreten, erhält man\[{\alpha _k} = 0^\circ \;\;{\rm{oder}}\;\;b \cdot \sin \left( {{\alpha _k}} \right) = \left( {2 \cdot k + 1} \right) \cdot \frac{\lambda }{2} = \;\left( {k + \frac{1}{2}} \right) \cdot \lambda \;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\]

Als Bedingungen für die Winkelweiten \(\alpha_k\), unter denen Minima auftreten, erhält man\[b \cdot \sin \left( {{\alpha _k}} \right) = k \cdot \lambda \;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\]

Abb. 3 Zustandekommen von Maxima und Minima beim Einzelspalt. Die Animation macht dies aber lediglich plausibel, eine exakte Herleitung benötigt Werkzeuge der höheren Mathematik

Hinweis: Die folgende Darstellung macht die Lage für die Maxima und Minima beim Einzelspalt nur plausibel. Für eine genauere Herleitung muss man etwas tiefer einsteigen. Hilfen dazu findet man auf dem Applet von Peter Kraus.

Trifft eine ebene Wellenfront auf einen Einzelspalt der Breite \(B\), so kann man sich die Interferenzerscheinung hinter dem Spalt dadurch erklären, dass von Punkten im Spalt sogenannte HUYGENS'sche Elementarwellen ausgehen, welche interferieren. Vereinfachend soll angenommen werden, dass vom Spalt zwölf Elementarwellen ausgehen. In der nebenstehenden Animation sind die Wellenstrahlen dieser Elementarwellen für verschiedene Winkelweiten \(\alpha\) gelb dargestellt. Es ergibt sich:

Das Maximum 0. Ordnung liegt bei \(\alpha = 0^\circ \)

Das 1. Minimum ergibt sich, wenn der Gangunterschied \(\Delta s = B \cdot \sin (\alpha )\) der Randstrahlen des Bündels eine Wellenlänge \(\lambda \) beträgt: \[B \cdot \sin (\alpha) = \lambda \quad \Rightarrow \quad \sin (\alpha) = \frac{\lambda }{B}\]

Das 1. Maximum ergibt sich, wenn der Gangunterschied \(\Delta s = B \cdot \sin (\alpha )\) der Randstrahlen des Bündels \(\frac{3}{2} \cdot \lambda \) beträgt: \[B \cdot \sin(\alpha ) = \frac{3}{2} \cdot \lambda \quad \Rightarrow \quad \sin (\alpha ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{\lambda }{B}\]

Das 2. Minimum ergibt sich, wenn der Gangunterschied \(\Delta s = B \cdot \sin (\alpha )\) der Randstrahlen des Bündels \(2 \cdot \lambda \) beträgt: \[B \cdot \sin (\alpha )= 2 \cdot \lambda \quad \Rightarrow \quad \sin (\alpha) = 2 \cdot \frac{\lambda }{B}\]

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