Festlegung der Dichte

Zusammenhang zwischen Volumen und Massen

**Abb. 1** \({V}\)-\({m}\)-Diagramm für Eisen und Aluminium

Wenn du für verschieden große Körper aus einem Material (bspw. einen kleinen, einen mittelgroßen und einen großen Eisenwürfel) jeweils das Volumen \(V\) und die Masse \(m\) bestimmst, kannst du ein Volumen-Masse-Diagramm erstellen. Abb. 1 zeigt ein solches \({V}\)-\({m}\)-Diagramm für Körper aus Eisen und Aluminium.

Im Diagramm ergibt sich für Eisen eine Ursprungsgerade. Daher ist die Masse m proportional zum Volumen V. Es gilt\[{m\sim V}\]Verdoppelst du also das Volumen \({V}\) des Eisenstückes, verdoppelt sich auch seine Masse \({m}\).

Festlegung der Dichte

Auch für andere Materialien ergeben sich im \({V}\)-\({m}\)-Diagramm Ursprungsgeraden, also proportionale Zusammenhänge. Jedoch hängt die Steigung (Steilheit) der Geraden vom Material ab. In Abb. 1 kannst du sehen, dass die Steigung der Geraden für Eisen größer ist als die Steigung der Geraden für Aluminium.

Die Steigung der Geraden ist jeweils der Proportionalitätsfaktor des Zusammenhangs zwischen Masse und Volumen. Man nennt diesen Proportionalitätsfaktor die Dichte \({\rho}\) (Rho) des Materials.

Da die Steigung der Geraden für Eisen größer ist als die Steigung der Geraden für Aluminium, ist die Dichte von Eisen höher als die Dichte von Aluminium.

Festlegung der Dichte

Die Dichte \({\rho}\) ist das Verhältnis von Masse \({m}\) und Volumen \({V}\). Du kannst die Dichte berechnen, indem du den Quotienten aus der Masse \({m}\) und dem Volumen \({V}\) bildest:\[{\rho=\frac{m}{V} }\]Die Einheit der Dichte ist\[{\left[ \rho \right] = 1\,\rm{\frac{{kg}}{{{m^3}}}}}\]

Wissenswertes zur Dichte

Dichtewerte für ausgewählte Materialien
Material	Dichte in \(\rm{kg/m^3}\)
Gold	19302
Eisen	7900
Aluminium	2710
Wasser (0°C)	1000
Eichenholz	800
Kork	500

Eine Dichte von \({\rho=800\,\rm{{\frac{{kg}}{m^{3}}}}}\) besagt, dass \({\rm 1\,{m^{3}}}\) des Materials die Masse \({\rm 800\,{kg}}\) besitzt.
Die Dichte ist typisch für ein bestimmtes Material. Man nennt sie daher auch eine Materialkonstante. Die Tabelle rechts zeigt ausgewählte Dichtewerte.
Da die Masse \({m}\) und das Volumen \({V}\) ortsunabhängig sind, ist auch die Dichte \({\rho}\) ortsunabhängig. Das heißt, die Dichte eines Material ist an allen Orten (auf der Erde, auf dem Mond usw.) gleich.

Schwimmen oder Sinken?

Wasser hat eine Dichte von \(\rho=1000\,\rm\frac{kg}{m^3}\). Stoffe, die eine größere Dichte als Wasser besitzen, gehen unter und versinken im Wasser. So zum Beispiel Aluminium oder Eisen. Stoffe wie Holz oder Kork, die eine geringere Dichte als Wasser besitzen, schwimmen hingegen auf dem Wasser.

Umstellen der Formel

Um Aufgaben zur Dichte zu lösen musst du häufig die Gleichung \(m=\rho \cdot V\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst, zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Auflösen von\[{{m}} = {{\rho}} \cdot {{V}}\]nach ...

Die Gleichung\[{\color{Red}{{m}}} = {{\rho}} \cdot {{V}}\]ist bereits nach \({\color{Red}{{m}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.

Um die Gleichung\[{{m}} = {\color{Red}{{\rho}}} \cdot {{V}}\]nach \({\color{Red}{{\rho}}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:

Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\color{Red}{{\rho}}} \cdot {{V}} = {{m}}\]

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{V}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{V}}\) im Nenner steht.
\[\frac{{\color{Red}{{\rho}}} \cdot {{V}}}{{{V}}} = \frac{{{m}}}{{{V}}}\]

Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{V}}\).\[{\color{Red}{{\rho}}} = \frac{{{m}}}{{{V}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{\rho}}}\) aufgelöst.

Um die Gleichung\[{{m}} = {{\rho}} \cdot {\color{Red}{{V}}}\]nach \({\color{Red}{{V}}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:

Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{{\rho}} \cdot {\color{Red}{{V}}} = {{m}}\]

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{\rho}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{\rho}}\) im Nenner steht.
\[\frac{{{\rho}} \cdot {\color{Red}{{V}}}}{{{\rho}}} = \frac{{{m}}}{{{\rho}}}\]

Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{\rho}}\).\[{\color{Red}{{V}}} = \frac{{{m}}}{{{\rho}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{V}}}\) aufgelöst.

Abb. 2 Schrittweises Auflösen der Formel für den Zusammenhang zwischen Masse, Volumen und Dichte nach den drei in der Formel auftretenden Größen

Aufgabe

1.) Welche Dichte besitzt ein Körper mit der Masse \({m=2000\,\rm{kg}}\) und dem Volumen \({V=2\,\rm{m^3}}\)?

2.) Ein Körper aus Holz mit dem Volumen \({V=\rm{300\,cm^3}}\) besitzt die Masse von \({m=\rm{200\,g}}\). Welches Volumen besitzt ein Holzstück mit der Masse \({m=\rm{600\,g}}\)?

Masse, Volumen und Dichte