Material
- Zentralkraftgerät
- Motor mit variabler Drehzahl, je nach Modell mit Antriebsriemen
- Rollwagen
- Massestücke
- Stoppuhr / Alternativ: Ultraschallabstandssensor oder Lichtschranke
- Kraftsensor mit Bluetooth (vgl. Abb. 1.1)
- Alternativ: Federkraftmesser mit \(F_{\rm{max}}\thickapprox 2\,\rm{N}\) (vgl. Abb. 1.2)
Versuchsaufbau
Das Zentralkraftgerät mit dem gegen Wegfliegen gesicherten Rollwagen wird auf einem gut befestigten Motor variabler Drehzahl montiert. Alternativ kann das Zentralkraftgerät auch mittels Tischklemme am Experimentiertisch befestigt und mittels Motor mit Antriebsriemen gedreht werden. Der Rollwagen wird mittels Seil mit dem ebenfalls gut auf dem Zentralkraftgerät befestigten digitalen Kraftmesser oder dem Federkraftmesser verbunden. Die Masse \(m\) des Wagens kannst du über Massestücke variieren, die Frequenz \(f\) bzw. die Umlaufdauer \(T\) und damit die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) kannst du über die Drehzahl des Motors variieren und den Radius \(r\) über die Länge des Seils. Die Messung von \(T\) kann manuell über eine Zeitmessung für mehrere Umdrehungen erfolgen oder digital über eine Lichtschranke oder einen Ultraschallabstandssensor.
Hinweis: Beim Aufbau mit Federkraftmesser ist zu beachten, dass eine Kraftänderung stets auch mit einer Änderung des Radius verbunden ist, was wiederum zu einer Kraftänderung führt! Daher zu Beginn jeder Messung bei stehendem Motor, den Kraftmesser möglichst weit nach oben schieben und bei sich drehendem Zentralkraftgerät der Kraftmesser langsam absenken bis der Wagen den gewünschten Abstand von der Drehachse erreicht hat.
Tipp: Die Versuche können auch sehr gut mit der analog aufgebauten Simulation schülerzentriert durchgeführt werden.
1. Versuch: Abhängigkeit vom Radius \(r\)
Zunächst wird die Abhängigkeit der Zentripetalkraft \({F_{{\rm{ZP}}}}\) vom Radius \(r\) der Kreisbahn untersucht. Dazu werden die Masse (\(m\) und die Umlaufdauer \(T\) konstant gehalten, der Radius der Kreisbahn wird schrittweise erhöht und die nötige Zentripetalkraft jeweils gemessen.
Tipp: Die Masse \(m\) nicht zu groß wählen, da dies gerade bei großen Radien zu stärkerer Unwucht im Aufbau führen kann.
| \(r\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) | 0 | 0,10 | 0,15 | 0,20 | 0,15 | 0,30 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \({F_{{\rm{ZP}}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{N}}\) | 0 | 0,21 | 0,32 | 0,42 | 0,52 | 0,63 |
Die Auswertung kann rechnerisch über die Quotientengleichheit oder graphisch mittels \(r\)-\(F_{\rm{ZP}}\)-Diagramm erfolgen, wobei sich im Diagramm eine Gerade ergibt.
Joachim Herz Stiftung
| \[\frac{F_{\rm{ZP}}}{r}\text{ in }\rm{\frac{N}{m}}\] | - | 2,1 | 2,1 | 2,1 | 2,1 | 2,1 |
|---|
Die für die Bewegung auf einer Kreisbahn nötige Zentripetalkraft \(F_{\rm{ZP}}\) ist somit bei konstanter Masse und konstanter Umlaufdauer direkt proportional zum Radius \(r\) der Kreisbahn:\[F_{\rm{ZP}}\sim r\]
2. Versuch: Abhängigkeit von der Masse \(m\)
Nun wird die Abhängigkeit der Zentripetalkraft \({F_{{\rm{ZP}}}}\) von der Masse \(m\) des Körpers auf der Kreisbahn untersucht. Dazu werden der Radius \(r\) der Kreisbahn und die Umlaufdauer \(T\) konstant gehalten, die Masse des Körpers auf der Kreisbahn wird schrittweise erhöht und die nötige Zentripetalkraft jeweils gemessen.
Tipp: Den Radius \(r\) nicht zu groß wählen, da dies gerade bei großen Massen \(m\) zu stärkerer Unwucht im Aufbau führen kann.
| \(m\;{\rm{in}}\;{\rm{kg}}\) | 0 | 0,10 | 0,20 | 0,30 |
|---|---|---|---|---|
| \({F_{{\rm{ZP}}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{N}}\) | 0 | 0,20 | 0,42 | 0,63 |
Die Auswertung kann auch hier rechnerisch über die Produktgleichheit oder graphisch mittels \(m\)-\(F_{\rm{ZP}}\)-Diagramm erfolgen, wobei sich im Diagramm eine Gerade ergibt.
Joachim Herz Stiftung
| \[\frac{F_{\rm{ZP}}}{m}\text{ in }\rm{\frac{N}{kg}}\] | - | 2,0 | 2,1 | 2,1 |
|---|
Die für die Bewegung auf einer Kreisbahn nötige Zentripetalkraft \(F_{\rm{ZP}}\) ist somit direkt proportional zur Masse \(m\) des Körpers auf der Kreisbahn:\[F_{\rm{ZP}}\sim m\]
3. Versuch: Abhängigkeit von der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\)
Nun wird die Abhängigkeit der Zentripetalkraft \({F_{{\rm{ZP}}}}\) von der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) des Körpers auf der Kreisbahn untersucht. Dazu werden der Radius \(r\) der Kreisbahn und die Masse \(m\) konstant gehalten, die Umlaufdauer \(T\) des Körpers auf der Kreisbahn wird schrittweise erhöht und die nötige Zentripetalkraft jeweils gemessen. Aus der Umlaufdauer \(T\) kann mit \(\omega=\frac{2\cdot\pi}{T}\) direkt die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) oder auch für eine quadratische Auftragung \(\omega^2\) berechnet werden.
Für die folgende Messreihe ist \(m=0{,}100\,\rm{kg}\) und \(r=0{,}27\,\rm{m}\).
| \(T\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) | 3 | 2 | 1,5 | 1,4 | 1,1 | 1,0 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\omega\;{\rm{in}}\;{\rm{s^{-1}}}\) | 2,09 | 3,14 | 4,19 | 4,49 | 5,71 | 6,28 |
| \(\omega^2\;{\rm{in}}\;{\rm{s^{-2}}}\) | 4,37 | 9,87 | 17,5 | 20,1 | 32,6 | 39,5 |
| \({F_{{\rm{ZP}}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{N}}\) | 0,12 | 0,26 | 0,47 | 0,57 | 0,94 | 1,10 |
Die Auswertung kann hier grafisch mittles \(\omega\)-\(F_{\rm{ZP}}\)-Diagramm und einer quadratischen Anpassung erfolgen (vgl. Abb. 4.1).
Natürlich ist auch eine Auftragung der Kraft \(F_{\rm{ZP}}\) gegen \(\omega^2\) möglich (vgl. Abb. 4.2) oder ein entsprechender rechnerischer Nachweis über die Quotientengleichheit von \(\frac{F}{\omega^2}\). Hier muss man allerdings schon eine solche Abhängigkeit vermuten und "entdeckt" sie nicht beim Auswerten.
| \[\frac{F_{\rm{ZP}}}{\omega^2}\text{ in }\rm{\frac{N}{s^2}}\] | 0,027 | 0,026 | 0,027 | 0,028 | 0,029 | 0,028 |
|---|
Zusammenführung
Aus den Teilversuchen 1-3 ergibt sich \[F_{\rm{ZP}} \sim m \cdot r \cdot {\omega ^2}\] Mit Einführung einer Proportionalitätskonstanten \(C\) folgt\[F_{\rm{ZP}}=C\cdot m \cdot r \cdot {\omega ^2} \Leftrightarrow C = \frac{F_{\rm{ZP}}}{m \cdot r \cdot {\omega ^2}}\]Mit den Daten z.B. des dritten Versuchsteils kannst du nun die Proportionalitätskonstante \(C\) bestimmen. Bei einer Masse von \(m=0{,}100\,\rm{kg}\) und einem Radius von \(r=0{,}27\,\rm{m}\) ergibt sich.
| \(T\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) | 3 | 2 | 1,5 | 1,4 | 1,1 | 1,0 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\omega^2\;{\rm{in}}\;{\rm{s^{-2}}}\) | 4,37 | 9,87 | 17,5 | 20,1 | 32,6 | 39,5 |
| \({F_{{\rm{ZP}}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{N}}\) | 0,12 | 0,26 | 0,47 | 0,57 | 0,94 | 1,10 |
| \(C\;{\rm{in}}\;{\rm{\frac{N\cdot s^2}{kg\cdot m}}}\) | 1,02 | 0,98 | 0,99 | 1,05 | 1,07 | 1,03 |
Für die Einheit von \(C\) gilt wegen der Definition der Kraft nach dem 2. Axiom von NEWTON \(\frac{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{m}}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = {\rm{N}}\) und damit\[\left[ C \right] = 1\]Somit gilt für den Betrag der Zentripetalkraft\[{F_{{\rm{ZP}}}} = m \cdot r \cdot {\omega ^2}\]