Mechanik

Kreisbewegung

Betrag und Richtung der Beschleunigung

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Betrag und Richtung der Beschleunigung

Vordergründig könnte man meinen, dass bei der gleichförmigen Kreisbewegung (konstanter Geschwindigkeitsbetrag) keine Beschleunigung auftritt. Bei einer geradlinigen Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit ist doch die Beschleunigung auch gleich Null. Jedoch muss man bedenken, dass bei der Kreisbewegung sich wohl die Länge des Geschwindigkeitspfeils (Betrag) nicht ändert, jedoch liegt ein ständiger Wechsel der Geschwindigkeitsrichtung vor und dies ist nur möglich, wenn eine Beschleunigung vorhanden ist.

Merke: Ändert sich bei einer Bewegung der Betrag oder die Richtung der Geschwindigkeit (oder beides), so liegt eine Beschleunigung vor.

Auf dieser Seite werden die Definitionen der mittleren Beschleunigung und der Momentanbeschleunigung, welche Sie schon von der linearen Bewegung her kennen sollten, auf eine ebene Bewegung - wie sie die Kreisbewegung darstellt - erweitert. Hierzu ist die Einführung von Vektoren notwendig.

Vektor der mittleren Beschleunigung
\[\overrightarrow { < a > }  = \frac{{\vec v({t_2}) - \vec v({t_1})}}{{\Delta t}} \Rightarrow \overrightarrow { < a > }  = \frac{{\overrightarrow {\Delta v} }}{{\Delta t}}\]
Aus der rechten Vektor-Gleichung kann man ersehen, dass der Vektor der mittleren Beschleunigung die gleiche Richtung haben muss wie \(\overrightarrow {\Delta v} \).

Vektor der Momentanbeschleunigung
\[{\vec a_r} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \overrightarrow { < a > }  \Rightarrow {\vec a_r} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\overrightarrow {\Delta v} }}{{\Delta t}}\]

Wendet man obige Definitionen auf die gleichförmige Kreisbewegung an, so gelangt man durch "geometrisch-infinitesimale" Überlegungen - die mathematisch etwas salopp ausgeführt sind - zu Aussagen über die Richtung und den Betrag des Beschleunigungsvektors.

Richtung des Vektors der Momentanbeschleunigung

Der Vektor der Momentanbeschleunigung hat die gleiche Richtung wie der Vektor \(\overrightarrow {\Delta v} \) für den Fall, dass \({\Delta t \to 0}\) geht. Dabei ist \({\Delta t \to 0}\) gleichbedeutend mit \(\Delta \varphi  \to 0\).

Die obigee Animation zeigt, welche Richtung \(\overrightarrow {\Delta v} \) hat. Geht in dem Vektordreieck rechts oben der Winkel \(\Delta \varphi  \to 0\), so nähert sich der Winkel α zwischen \(\overrightarrow {\Delta v} \) (und somit \(\vec a\)) und der Momentangeschwindigkeit \(\vec v\) dem Winkel \(90^\circ \).

Der Vektor \(\vec a\) ist antiparallel zum Radiusvektor, er zeigt stets auf den Kreismittelpunkt. Man nennt diese Beschleunigung daher auch Radial- oder Zentripetalbeschleunigung \({{\vec a}_{\rm{R}}}\).

Betrag der Momentanbeschleunigung

Für \(\Delta \varphi  \to 0\) geht in dem Vektordreieck der obigen Animation die Länge der Sekante \(\overrightarrow {\Delta v} \) in die Länge des Bogens \(v \cdot \Delta \varphi \) über. Somit lässt sich der Betrag der Momentanbeschleunigung schreiben:
\[{a_{\rm{R}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{v \cdot \Delta \varphi }}{{\Delta t}} = v \cdot \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta \varphi }}{{\Delta t}} = v \cdot \omega \]
Dies lässt sich mit \(v = r \cdot \omega \) schreiben als
\[{a_{\rm{R}}} = r \cdot {\omega ^2}\]
bzw. mit \(\omega  = \frac{v}{r}\) schreiben als
\[{a_{\rm{R}}} = \frac{{{v^2}}}{r}\]
 

Momentanbeschleunigung bei einer gleichförmigen Kreisbewegung

Der Vektor \({{\vec a}_{\rm{R}}}\) der Momentanbeschleunigung und der Vektor \({\vec v}\) der Momentangeschwindigkeit stehen aufeinander senkrecht.
\[{\vec a}_{\rm{R}} \bot \vec v \]

Der Betrag \({a_{\rm{R}}}\) der Momentanbeschleunigung ist das Produkt aus dem Bahnradius \(r\) und dem Quadrat der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\)
\[{a_R} = r \cdot {\omega ^2}\]
bzw. der Quotient aus dem Quadrat der Bahngeschwindigkeit \(v\) und dem Bahnradius \(r\)
\[{a_{\rm{R}}} = \frac{{{v^2}}}{r}\]

Merkregel: Gewinnung des Beschleunigungsvektors aus dem Geschwindigkeitsvektor

Richtung: Drehe den Geschwindigkeitsvektor \({\vec v}\) im Gegenuhrzeigersinn um \(90^\circ \)

Betrag: Multipliziere den Betrag des Geschwindigkeitsvektors \(v\) mit \(\omega \)

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