Gleichförmige Bewegung

Mechanik

Gleichförmige Bewegung

  • Was versteht man unter einer 'gleichförmigen Bewegung'?
  • Wie definiert man eigentlich 'Geschwindigkeit'?
  • Wie misst man denn Geschwindigkeiten?
  • Vom Schneckentempo bis zur Lichtgeschwindigkeit

Die gleichförmige Bewegung ist eine der wichtigsten Bewegungstypen im Alltag. Förderbänder und Rolltreppen bewegen sich gleichförmig, Fahrräder, Autos, Züge und Flugzeuge bewegen sich ebenfalls zwischen den Beschleunigungs- und Bremsvorgängen auf geradlinigien Strecken nahezu gleichförmig.

gleichförmige Bewegung

nicht gleichförmige (beschleunigte) Bewegung

Zwar ist aus den beiden Animationen anschaulich sofort klar, was der Unterschied zwischen einer gleichförmigen und einer nicht gleichförmigen - wir sagen in der Physik beschleunigten - Bewegung ist: bei einer gleichförmigen Bewegung ist der Körper immer gleich "schnell", er hat immer die gleiche "Geschwindigkeit", bei einer beschleunigten Bewegung dagegen wird der Körper mal "schneller" und mal "langsamer", er verändert seine "Geschwindigkeit". Aber wie kann man quantitativ, d.h. zahlenmäßig erfassen, ob eine Bewegung gleichförmig oder beschleunigt ist? Wie kann man den Begriff der "Geschwindigkeit" physikalisch definieren, d.h. so festlegen, dass man mit Hilfe einer eindeutigen Messvorschrift einen Zahlenwert für die "Geschwindigkeit" angeben und so "schnell" und "langsam" unterscheiden kann?

Im weiteren Verlauf unserer Überlegungen werden wir Definitionen der Begriffe "gleichförmige Bewegung" sowie "Geschwindigkeit bei einer gleichförmigen Bewegung" erarbeiten und wichtige Erkennungsmerkmale von gleichförmigen Bewegungen zusammenstellen, um so die oben gestellten Fragen beantworten zu können.

Zum Erfassen einer gleichförmigen Bewegung benötigt man (wie bei allen anderen Bewegungen auch) zum einen eine Uhr zur Zeitmessung und zum anderen einen geeigneten Maßstab zur Messung der zurückgelegten Strecke. Der Einfachheit halber legen wir den Maßstab so, dass sich der Körper zum Beginn der Bewegung im Nullpunkt befindet, also noch keine Strecke \(s\) zurückgelegt hat. Außerdem starten wir die Messung der Zeit \(t\) genau dann, wenn sich der Körper in Bewegung setzt.

In der untenstehenden Animation wird während der Bewegung alle \(0,5\rm{s}\) die zurückgelegte Strecke \(s\) gemessen und die sich ergebenden \((t|s)\)-Wertepaare in die sogenannte Zeit-Weg-Tabelle eingetragen.

Anschließend werden die \((t|s)\)-Wertepaare als Punkte in ein geeignetes Koordinatensystem mit der Zeit \(t\) auf der horizontalen Achse (Rechtsachse) und der zurückgelegte Strecke \(s\) auf der vertikalen Achse (Hochachse) eingetragen und durch eine passende Linie verbunden. So entsteht der sogenannte Zeit-Weg-Graph, der oft auch als Zeit-Weg-Diagramm bezeichnet wird.

Schließlich wird der zum Graphen gehörige Funktionsterm in Form der Funktionsgleichung der Zeit-Weg-Funktion angegeben.

Hinweis für Fortgeschrittene: Normalerweise wird auf dem Maßstab nicht die vom Körper seit dem Start der Bewegung zurückgelegte Strecke \(s\), sondern dessen momentaner Ort \(x\) gemessen. Da die hier dargestellte Bewegung aber nur in einer Richtung stattfindet und sich der Körper zum Zeitpunkt \(t=0\rm{s}\) am Ort \(x=0\rm{m}\) befindet, stimmen zurückgelegte Strecke und Ort überein.

   

Die Auswertung der Bewegung in der Animation zeigt mehrere auffällige Eigenschaften:

In der Zeit-Weg-Tabelle sieht man, dass nach z.B. \(1,00\rm{s}\) eine Strecke von \(1,50\rm{m}\) zurückgelegt wurde, nach der doppelten Zeit von \(2,00\rm{s}\) die doppelte Strecke von \(3,00\rm{m}\), nach der dreifachen Zeit von \(3,00\rm{s}\) die dreifache Strecke von \(4,50\rm{m}\) und nach der vierfachen Zeit von \(4,00\rm{s}\) die vierfache Strecke von \(6,00\rm{m}\). Die zurückgelegte Strecke wächst als proportional zur verstrichenen Zeit an.
Dies bedeutet aber auch, dass für alle \((t|s)\)-Wertepaare der Quotient \(\frac{s}{t}\) aus zurückgelegter Strecke \(s\) und dafür benötigter Zeit \(t\) den selben Wert besitzt (sogenannte Quotientengleichheit). Es ergibt sich in unserem Beispiel stets
\[\frac{s}{t}=\frac{{1,50{\rm{m}}}}{{1,00{\rm{s}}}} = \frac{{3,00{\rm{m}}}}{{2,00{\rm{s}}}} = \frac{{4,50{\rm{m}}}}{{3,00{\rm{s}}}} = 1,50\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Der Zeit-Weg-Graph verläuft auf einer Geraden, die durch den Ursprung des Koordinatensystems geht.
Die Funktionsgleichung der Zeit-Weg-Funktion lautet \(s = 1,50\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot t\).

Alle diese Eigenschaften sind typisch für sogenannte Proportionale Funktionen, die du im Mathematikunterricht bereits kennengelernt haben solltest. Da sich diese Eigenschaften bei jeder gleichförmigen Bewegung - lediglich mit anderen Zahlenwerten - zeigen, können wir sie zur Charakterisierung der gleichförmigen Bewegung heranziehen:

Charakterisierung der gleichförmigen Bewegung

Ein Körper bewegt sich gleichförmig, wenn er sich auf einer geraden Linie bewegt und die seit dem Start der Bewegung zurückgelegte Strecke \(s\) proportional zu der seit dem Start der Bewegung vergangenen Zeit \(t\) ist. Dies erkennt man unter anderem daran, dass
in der Zeit-Weg-Tabelle zur doppelten, dreifachen, ... Zeit die doppelte, dreifache, ... Strecke gehört und deshalb für alle \((t|s)\)-Wertepaare der Quotient \(\frac{s}{t}\) aus zurückgelegter Strecke \(s\) und dafür benötigter Zeit \(t\) den selben Wert besitzt
der Zeit-Weg-Graph auf einer Ursprungsgeraden liegt
die Funktionsgleichung der Zeit-Weg-Funktion die Form \(s = v \cdot t\) hat.

Nachdem wir nun wissen, was man sich unter einer gleichförmigen Bewegung vorzustellen hat, wollen wir im weiteren untersuchen, wie man erfassen kann, ob sich ein Körper "schnell" oder langsam" bewegt; es geht also um den Begriff der "Geschwindigkeit". Dazu zeichnen wir die Bewegungen von drei unterschiedlich "schnellen" Körpern auf - der mittlere Körper bewegt sich genau so schnell wie unser bekannter Körper, der obere schneller und der untere langsamer -  und werten die drei Bewegungen genau wie oben aus:

   

Die Auswertung der drei Bewegungen in der Animation zeigt mehrere auffällige Eigenschaften:

In der Zeit-Weg-Tabelle sieht man, dass der schnellere Körper nach z.B. \(1,00\rm{s}\) eine Strecke von \(2,00\rm{m}\) zurückgelegt hat, der mittlere Körper in der gleichen Zeit eine Strecke von \(1,50\rm{m}\) und der langsamere Körper in der gleichen Zeit eine Strecke von \(1,00\rm{m}\). Ein schnellerer Körper legt also in der gleichen Zeit eine größere Strecke zurück als ein langsamerer.
Dies bedeutet aber auch, dass sich für die verschieden schnellen Körper für die jeweiligen \((t|s)\)-Wertepaare unterschiedlich große Quotienten \(\frac{s}{t}\) aus zurückgelegter Strecke \(s\) und dafür benötigter Zeit \(t\) ergeben; Es ergibt sich in unserem Beispiel für den schnelleren Körper
\[\frac{s}{t}=\frac{{2,00{\rm{m}}}}{{1,00{\rm{s}}}} = \frac{{4,00{\rm{m}}}}{{2,00{\rm{s}}}} = \frac{{6,00{\rm{m}}}}{{3,00{\rm{s}}}} = 2,00\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
für den mittleren Körper
\[\frac{s}{t}=\frac{{1,50{\rm{m}}}}{{1,00{\rm{s}}}} = \frac{{3,00{\rm{m}}}}{{2,00{\rm{s}}}} = \frac{{4,50{\rm{m}}}}{{3,00{\rm{s}}}} = 1,50\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
und für den langsameren Körper
\[\frac{s}{t}=\frac{{1,00{\rm{m}}}}{{1,00{\rm{s}}}} = \frac{{2,00{\rm{m}}}}{{2,00{\rm{s}}}} = \frac{{3,00{\rm{m}}}}{{3,00{\rm{s}}}} = 1,00\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Man kann also erkennen, dass der Quotient \(\frac{s}{t}\) um so größer wird, je schneller sich der Körper bewegt.
Weiter kann man sehen, dass der Zeit-Weg-Graph des schnellereren Körpers steiler und der des langsameren Körpers flacher verläuft als der des mittleren bekannten Körpers. Man kann also erkennen, dass der Steigungsfaktor der Geraden um so größer wird, je schneller sich der Körper bewegt.
Schließlich unterschieden sich auch die Funktionsgleichung der Zeit-Weg-Funktion voneinander; die des schnelleren lautet \(s = 2,00\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot t\) und die des langsameren \(s = 1,00\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot t\) gegenüber der Gleichung \(s = 1,50\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot t\) unseres bekannten Körpers. Man kann also erkennen, dass der Proportionalitätsfaktor der Funktion um so größer wird, je schneller sich der Körper bewegt.
Alle diese Eigenschaften zeigen, dass der Wert des Quotienten \(\frac{s}{t}\) scheinbar ein gutes Maß dafür ist, ob sich ein Körper schnell oder langsam bewegt: bei einem großen Wert von \(\frac{s}{t}\) bewegt sich der Körper schneller, bei einem kleineren Wert langsamer. Somit liegt folgende Definition des Begriffs der Geschwindigkeit einer gleichförmigen Bewegung nahe:

Geschwindigkeit bei gleichförmigen Bewegung

Bewegt sich ein Körper gleichförmig, dann bezeichnet man den Quotienten \(\frac{s}{t}\) aus der seit dem Beginn der Bewegung zurückgelegten Strecke \(s\) und der seit Beginn der Bewegung verstrichenen Zeit \(t\) als die Geschwindigkeit der gleichförmigen Bewegung. Mit dem Formelbuchstaben \(v\) für die Geschwindigkeit (velocitas (lat.): Geschwindigkeit, Schnelligkeit) ergibt sich so
\[v = \frac{s}{t}\]
Für die Einheit \(\left[ v \right]\) der Geschwindigkeit ergibt sich durch die Definition
\[\left[ v \right] = \frac{{\left[ s \right]}}{{\left[ t \right]}} = \frac{{1{\rm{m}}}}{{1{\rm{s}}}} = 1\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\;\;\left( \rm{lies:\;"Meter\;pro\;Sekunde"} \right)\]

Hinweis: Diese Definition gilt nur dann, wenn die Bewegung zum Zeitpunkt \(t = 0{\rm{s}}\) beginnt und der Körper zu diesem Zeitpunkt noch keine Strecke zurückgelegt hat, wovon wir bisher stets ausgegangen sind.

Um Rechenaufgaben zur gleichförmigen Bewegung bearbeiten zu können, benötigt man - wie bei allen anderen physikalischen Themen auch - die berüchtigten "Formeln". Diese Formeln sind aber letzten Endes nur die in mathematischen Symbolen konzentrierten Erkenntnisse, die man durch Experimente und Überlegungen gewonnen hat, sogenannte Physikalische Gesetze. Wir wollen an dieser Stelle unsere Erkenntnisse zur gleichförmigen Bewegung in Form von Formeln zusammenfassen.

Bewegungsgesetze der gleichförmigen Bewegung

Bewegt sich ein Körper gleichförmig, dann gilt:

Die Geschwindigkeit \(v\) des Körpers ist während der gesamten Bewegung konstant: \(v = \rm{konstant}\). Man berechnet diese Geschwindigkeit \(v\), indem man für eine beliebige seit dem Start der Bewegung zurückgelegte Strecke \(s\) diese durch die seit dem Start der Bewegung vergangene Zeit \(t\) dividiert: \(v = \frac{s}{t}\).

Ist \(v\) die Geschwindigkeit des Körpers, \(t\) die seit dem Start der Bewegung vergangene Zeit und \(s\) die seit dem Start der Bewegung zurückgelegte Strecke, so gilt für den Zusammenhang zwischen diesen drei Größen das sogenannte Zeit-Weg-Gesetz der gleichförmigen Bewegung
\[s = v \cdot t\]

Hinweis: Diese Zusammenhänge gelten nur dann, wenn die Bewegung zum Zeitpunkt \(t = 0\rm{s}\) beginnt und der Körper zu diesem Zeitpunkt noch keine Strecke zurückgelegt hat, wovon wir bisher stets ausgegangen sind.

  1. Ein Körper bewegt sich gleichförmig und legt in der Zeit \(12,0{\rm{s}}\) eine Strecke von \(72,0{\rm{m}}\) zurück. Berechne die Geschwindigkeit \(v\) des Körpers.

  2. Ein Körper bewegt sich gleichförmig mit der Geschwindigkeit \({\rm{15}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Berechne die Strecke \(s\), die der Körper in der Zeit \(6,0{\rm{s}}\) zurücklegt.

  3. Ein Körper bewegt sich gleichförmig mit der Geschwindigkeit \({\rm{5,0}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Berechne die Zeit \(t\), die der Körper zum Zurücklegen der Strecke \(45{\rm{m}}\) benötigt.

Im täglichen Leben werden Geschwindigkeiten häufig in der Maßeinheit \(\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) (lies: "Kilometer pro Stunde") angegeben, in der Physik dagegen in der Maßeinheit \(\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) (lies: "Meter pro Sekunde"). Es ist also wichtig, Geschwindigkeiten aus diesen beiden Maßeinheiten ineinander umrechnen zu können.

   
Aufgaben

a)

\(108\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = ?\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)  

b)

\(90\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = ?\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)  

   
Aufgaben

a)

\(20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = ?\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) 

b)

\(35\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = ?\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) 

Auf einer längeren Fahrt ändert sich die Geschwindigkeit eines Zuges ständig; auf gerader Strecke ist der Zug schneller, Kurven dagegen muss er langsamer durchfahren, an Bahnhöfen steht der Zug jeweils eine Zeit lang. Dennoch spricht man auch bei solchen Bewegungen von einer Geschwindigkeit, der sogenannten mittleren Geschwindigkeit (auch: Durchschnittsgeschwindigkeit).

   

In der Animation bewegt sich keiner der drei Körper gleichförmig, alle drei haben jedoch für die Strecke \(s = 6,00{\rm{m}}\) die gleiche Zeitspanne \(t = 4,00{\rm{s}}\) benötigt. Ein Körper, der sich gleichförmig mit der Geschwindigkeit \(v = \frac{{6,00{\rm{m}}}}{{4,00{\rm{s}}}} = 1,50\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) bewegt hätte, hätte in der gleichen Zeitspanne die gleiche Strecke zurückgelegt; seine Geschwindigkeit nennt man die mittlere Geschwindigkeit der verschiedenen (nicht gleichförmigen) Bewegungen in der Animation. Es liegt nun folgende Definition auf der Hand:

Mittlere Geschwindigkeit (auch: Durchschnittsgeschwindigkeit) bei einer nicht gleichförmigen Bewegung

Bewegt sich ein Körper nicht gleichförmig, dann bezeichnet man den Quotienten \(\frac{s}{t}\) aus der seit dem Beginn der Bewegung zurückgelegten Strecke \(s\) und der seit Beginn der Bewegung verstrichenen Zeit \(t\) als die mittlere Geschwindigkeit (auch: Durchschnittsgeschwindigkeit) der nicht gleichförmigen Bewegung. Mit dem Formelbuchstaben \({\bar v}\) für die mittlere Geschwindigkeit (velocitas (lat.): Geschwindigkeit, Schnelligkeit) ergibt sich so
\[\bar v = \frac{s}{t}\]
Für die Einheit \(\left[{\bar v} \right]\) der mittleren Geschwindigkeit ergibt sich durch die Definition (genau wie bei der Geschwindigkeit \(v\) der gleichförmigen Bewegung)
\[\left[ {\bar v} \right] = \frac{{\left[ s \right]}}{{\left[ t \right]}} = \frac{{1{\rm{m}}}}{{1{\rm{s}}}} = 1\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\;\;\left( \rm{lies:\;"Meter\;pro\;Sekunde"} \right)\]

Hinweis: Diese Definition gilt nur dann, wenn die Bewegung zum Zeitpunkt \(t = 0{\rm{s}}\) beginnt und der Körper zu diesem Zeitpunkt noch keine Strecke zurückgelegt hat, wovon wir bisher stets ausgegangen sind.

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