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Grundwissen

Flaschenzug

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Beim Flaschenzug spielt die Anzahl \(n\) der tragenden Seile eine wichtige Rolle.
  • Je größer die Zahl der tragenden Seile ist, desto weniger Zugkraft \(F_Z\) musst du aufbringen, um eine Last \(F_L\) anzuheben. Dafür verlängert sich die notwendige Zugstrecke \(s_Z\), um eine Last die Strecke \(s_L\) anzuheben.
  • Für die Zugkraft gilt \(F_Z=\frac{1}{n}\cdot F_L\), für die Zugstrecke hingegen \(s_Z=n\cdot s_L\).
Aufgaben Aufgaben

Als Flaschenzug bezeichnet man eine geschickte Kombination von einer oder mehreren Rollen, um die ein Seil geschlungen ist. In den Abbildungen rechts siehst du verschiedene, immer komplizierter werdende Flaschenzüge.

Üblicherweise ist entweder das Seil oder aber eine der Rollen an der Decke oder einem starken Balken unterhalb der Decke befestigt. An einer anderen Rolle befindet sich jeweils eine Last, die mit Hilfe des Flaschenzugs angehoben werden soll. Schließlich ist ein Ende des Seils entweder an der Decke oder an einer der Rollen befestigt, an dem anderen Ende des Seils kann man ziehen.

Größen am Flaschenzug

Wir bezeichnen die Kraft der Last mit \({\vec F_{\rm{L}}}\), die Länge der Strecke, um die die Last angehoben wird, mit \({s_{\rm{L}}}\), die Kraft, mit der man am Seil ziehen muss (die Zugkraft), mit \({\vec F_{\rm{Z}}}\) und die Länge der Strecke, um die das Seil gezogen werden muss (die Zugstrecke), mit \({s_{\rm{Z}}}\).

Tragende Seile

Entscheidend bei der Anordnung der Rolle(n) und des Seils ist es nun, dass die Last nicht mehr nur an einem, sondern an mehreren Teilen des Seils hängt. Man spricht bei diesen Teilen von den "tragenden Seilen", obwohl es sich natürlich immer nur um das gleiche Seil handelt. Die "tragenden Seile" sind in den Abbildungen jeweils durch rote Punkte markiert, ihre Anzahl bezeichnen wir mit \(n\). Je größer die Anzahl \(n\) der tragenden Seile eines Flaschenzuges, desto geringer ist die Zugkraft \({\vec F_{\rm{Z}}}\), die du aufbringen musst, um eine Last anzuheben.

Gesetze des Flaschenzugs

Wir nutzen folgende Bezeichnungen:

\(n\): Anzahl der "tragenden Seile"

\({F_{\rm{L}}}\): Betrag der Kraft der Last

\({s_{\rm{L}}}\): Länge der Strecke, um die die Last angehoben wird

\({F_{\rm{Z}}}\): Betrag der Kraft, mit der man am Seil ziehen muss

\({s_{\rm{Z}}}\): Länge der Strecke, um die das Seil gezogen werden muss

Dann gilt:

1. Der Betrag \({F_{\rm{Z}}}\) der Zugkraft ist gleich dem \(n\)-ten Teil des Betrages \({F_{\rm{L}}}\) der Kraft der Last:\[{F_{\rm{Z}}} = \frac{1}{n} \cdot F_{\rm{L}}  \quad (1)\]

2. Die Länge \({s_{\rm{Z}}}\) der Strecke, um die das Seil gezogen werden muss, ist gleich dem \(n\)-fachen der Länge \({s_{\rm{L}}}\) der Strecke, um die die Last angehoben wird:\[{s_{\rm{Z}}} = n \cdot {s_{\rm{L}}} \quad (2)\]

3. Bei jedem Flaschenzug ist das Produkt aus dem Betrag \({F_{\rm{Z}}}\) der Zugkraft und der Länge \({s_{\rm{Z}}}\) der Zugstrecke gleich dem Produkt aus dem Betrag \({F_{\rm{L}}}\) der Kraft der Last und der Länge \({s_{\rm{L}}}\) der Strecke, um die die Last angehoben wird:\[{F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}} = {F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}} \quad (3)\]

Aufgabe

Leite mit Hilfe der beiden Gleichungen \((1)\) und \((2)\) die Gleichung \((3)\) her.

Lösung

Mit \({F_{\rm{Z}}} = \frac{F_{\rm{L}}}{n}\) und \({s_{\rm{Z}}} = n \cdot {s_{\rm{L}}}\) erhält man
\[{F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}} = \frac{F_{\rm{L}}}{n} \cdot n \cdot {s_{\rm{L}}} = \frac{n}{n} \cdot {F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}} = 1 \cdot {F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}} = {F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}}\]

Hinweis: Manchmal werden Flaschenzüge auch horizontal angeordnet, um z.B. ein Auto, das im Schnee feststeckt, freizuziehen. Dann gelten die obigen Gleichungen entsprechend auch.

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zum Flaschenzug zu lösen musst du häufig eine der drei Gleichungen \((1)\), \((2)\) oder \((3)\) nach einer unbekannten Größe auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in den folgenden drei Animationen.

Die Gleichung\[{\color{Red}{F_{\rm{Z}}}} = {\frac {1}{n}} \cdot {F_{\rm{L}}}\]ist bereits nach \({\color{Red}{F_{\rm{Z}}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{Z}}} = {\frac {1}{{{\color{Red} n}}}} \cdot {F_{\rm{L}}}\]nach \({\color{Red} {n}}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({\color{Red} {n}}\). Schreibe das \({\color{Red} {n}}\) auf der rechten Seite der Gleichung direkt als Zähler in den Bruch.\[{\color{Red} {n}} \cdot {F_{\rm{Z}}} = \frac{\color{Red}{n}}{\color{Red}{n}} \cdot {F_{\rm{L}}}\]
Kürze den Bruch auf der rechten Seite der Gleichung durch \({\color{Red} {n}}\); der Bruch wird zu \(1\).\[{\color{Red} {n}} \cdot {F_{\rm{Z}}} = {F_{\rm{L}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({F_{\rm{Z}}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({F_{\rm{Z}}}\) im Nenner steht.\[\frac{{\color{Red} {n}} \cdot {F_{\rm{Z}}}}{{F_{\rm{Z}}}} = \frac{{F_{\rm{L}}}}{{F_{\rm{Z}}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({F_{\rm{Z}}}\).\[{\color{Red} {n}} = \frac{{F_{\rm{L}}}}{{F_{\rm{Z}}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red} {n}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{Z}}} = {\frac {1}{n}} \cdot {\color{Red}{F_{\rm{L}}}}\]nach \({\color{Red}{F_{\rm{L}}}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[{\frac {1}{n}} \cdot {\color{Red}{F_{\rm{L}}}} = {F_{\rm{Z}}}\]
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({n}\). Schreibe das \({n}\) auf der linken Seite der Gleichung direkt als Zähler in den Bruch, in dem \({n}\) im Nenner steht.\[\frac{n}{n} \cdot {\color{Red}{F_{\rm{L}}}} = {F_{\rm{Z}}} \cdot {n}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{n}}\); der Bruch wird zu \(1\).\[{\color{Red}{F_{\rm{L}}}} = {F_{\rm{Z}}} \cdot {n}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{F_{\rm{L}}}}\) aufgelöst.
Abb. 2 Schrittweise Auflösen der Formel \({F_{\rm{Z}}} = {\frac {1}{n}} \cdot {F_{\rm{L}}}\) für den Flaschenzug nach den drei in der Formel auftretenden Größen
Die Gleichung\[{\color{Red}{s_{\rm{Z}}}} = {n} \cdot {s_{\rm{L}}}\]ist bereits nach \({\color{Red}{s_{\rm{Z}}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{s_{\rm{Z}}} = {\color{Red}{n}} \cdot {s_{\rm{L}}}\]nach \({\color{Red}{n}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[{\color{Red}{n}} \cdot {s_{\rm{L}}} = {s_{\rm{Z}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({s_{\rm{L}}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({s_{\rm{L}}}\) im Nenner steht.\[\frac{{\color{Red}{n}} \cdot {s_{\rm{L}}}}{{s_{\rm{L}}}} = \frac{{s_{\rm{Z}}}}{{s_{\rm{L}}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({s_{\rm{L}}}\).\[{\color{Red}{n}} = \frac{{s_{\rm{Z}}}}{{s_{\rm{L}}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{n}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{s_{\rm{Z}}} = {n} \cdot {\color{Red}{s_{\rm{L}}}}\]nach \({\color{Red}{s_{\rm{L}}}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[{n} \cdot {\color{Red}{s_{\rm{L}}}} = {s_{\rm{Z}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({n}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({n}\) im Nenner steht.\[\frac{{n} \cdot {\color{Red}{s_{\rm{L}}}}}{{n}} = \frac{{s_{\rm{Z}}}}{{n}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({n}\).\[{\color{Red}{s_{\rm{L}}}} = \frac{{s_{\rm{Z}}}}{{n}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{s_{\rm{L}}}}\) aufgelöst.
Abb. 3 Schrittweises Auflösen der Formel \({s_{\rm{Z}}} = {n} \cdot {s_{\rm{L}}}\) für den Flaschenzug nach den drei in der Formel auftretenden Größen
Um die Gleichung\[{\color{Red}{F_{\rm{Z}}}} \cdot {s_{\rm{Z}}} = {F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}}\]nach \({\color{Red}{F_{\rm{Z}}}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:


Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({s_{\rm{Z}}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({s_{\rm{Z}}}\) im Nenner steht.\[\frac{{\color{Red}{F_{\rm{Z}}}} \cdot {s_{\rm{Z}}}}{{s_{\rm{Z}}}} = \frac{{F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}}}{{s_{\rm{Z}}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({s_{\rm{Z}}}\).\[{\color{Red}{F_{\rm{Z}}}} = \frac{{F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}}}{{s_{\rm{Z}}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{F_{\rm{Z}}}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{Z}}} \cdot {\color{Red}{s_{\rm{Z}}}} = {F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}}\]nach \({\color{Red}{s_{\rm{Z}}}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:


Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({F_{\rm{Z}}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({s_{\rm{Z}}}\) im Nenner steht.\[\frac{{F_{\rm{Z}}} \cdot {\color{Red}{s_{\rm{Z}}}}}{{F_{\rm{Z}}}} = \frac{{F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}}}{{F_{\rm{Z}}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({F_{\rm{Z}}}\).\[{\color{Red}{s_{\rm{Z}}}} = \frac{{F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}}}{{F_{\rm{Z}}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{s_{\rm{Z}}}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}} = {\color{Red}{F_{\rm{L}}}} \cdot {s_{\rm{L}}}\]nach \({\color{Red}{F_{\rm{L}}}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[{\color{Red}{F_{\rm{L}}}} \cdot {s_{\rm{L}}} = {F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({s_{\rm{L}}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({s_{\rm{L}}}\) im Nenner steht.\[\frac{{\color{Red}{F_{\rm{L}}}} \cdot {s_{\rm{L}}}}{{s_{\rm{L}}}} = \frac{{F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}}}{{s_{\rm{L}}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({s_{\rm{L}}}\).\[{\color{Red}{F_{\rm{L}}}} = \frac{{F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}}}{{s_{\rm{L}}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{F_{\rm{L}}}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}} = {F_{\rm{L}}} \cdot {\color{Red}{s_{\rm{L}}}}\]nach \({\color{Red}{s_{\rm{L}}}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[{F_{\rm{L}}} \cdot {\color{Red}{s_{\rm{L}}}} = {F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({F_{\rm{L}}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({F_{\rm{L}}}\) im Nenner steht.\[\frac{{F_{\rm{L}}} \cdot {\color{Red}{s_{\rm{L}}}}}{{F_{\rm{L}}}} = \frac{{F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}}}{{F_{\rm{L}}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({F_{\rm{L}}}\).\[{\color{Red}{s_{\rm{L}}}} = \frac{{F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}}}{{F_{\rm{L}}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{s_{\rm{L}}}}\) aufgelöst.
Abb. 4 Schrittweises Auflösen der Formel \({F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}} = {F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}}\) für den Flaschenzug nach den vier in der Formel auftretenden Größen