Druck, Kolben- und Schweredruck

Mechanik

Druck, Kolben- und Schweredruck

  • Warum kann ein Fakir in einem Nagelbett schlafen?
  • „Stöckelschuhe verboten!“  Warum eigentlich?
  • Warum können Menschen nicht beliebig tief tauchen?
  • Wie steigt eigentlich der Wasserdruck mit der Tiefe?

Definition des Drucks

Wirkt senkrecht auf eine Fläche mit dem Flächeninhalt \(A\) eine Kraft mit dem Betrag \(F\), so bezeichnet man den Quotienten
\[p = \frac{F}{A}\]
als Druck.

Für die Einheit \(\left[ p \right]\) des Drucks gilt nach dieser Definition \(\left[ p \right] = \frac{{\left[ F \right]}}{{\left[ A \right]}} = \frac{{1{\rm{N}}}}{{1{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} = 1\frac{{\rm{N}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} = 1{\rm{Pa}}\;{\rm{(Pascal)}}\).

Beispiel

Durch das Wirken einer Kraft F auf eine Stelle des flüssigkeits- bzw. gasgefüllten Behälters treten an allen Wänden des Behälters Kräfte auf, die senkrecht zum jeweiligen Wandstück gerichtet sind. Man sagt in der Flüssigkeit bzw. in dem Gas herrscht ein Druck p.

Über die Beträge dieser Kräfte kann man mit der nebenstehenden Anordnung eine Aussage gewinnen:
Die Anordnung besteht aus drei frei beweglichen Stempeln mit den Querschnittsflächen A1, A2 und A3. Auf die Stempel werden Gewichtsstücke gestellt, so dass die Anordnung im "Gleichgewicht" ist.
Die Summe der nach unten wirkenden Gewichtskräfte des Zusatzkörpers und des Stempels, kurz mit G bezeichnet, ist dann genau so groß wie die durch das Gas beziehungsweise die Flüssigkeit auf die Stempelfläche nach oben wirkende Kraft F. Auf diese Weise kann man über die Gewichtskräfte G1 , G2 und G3 die vom Gas bzw. der Flüssigkeit ausgehenden Krafte F1, F2 und F3 bestimmen.

Für den dargestellten Gleichgewichtsfall ergeben die Messungen:

\[\frac{{{F_1}}}{{{A_1}}} = \frac{{{F_2}}}{{{A_2}}} = \frac{{{F_3}}}{{{A_3}}}\]

Diesen für alle Stempel gleichen Quotienten bezeichnet man als Druck.

 

Beispiel:
F1= 5 N; A1= 2 cm2 \(p = \frac{{{F_1}}}{{{A_1}}}\) = 2,5 \(\frac{N}{{{cm^2}}}\); ist A2= 6 cm2, so findet man für F2= 15 N.

Hinweise:

  • F ist der Betrag der Kraft durch das Gas oder die Flüssigkeit, die senkrecht zur Fläche A wirkt.
  • Die Kraft F (Einheit N) ist nicht mit der Masse (Einheit kg) zu verwechseln. Die Kraft kann aus der Masse mit Hilfe des Ortsfaktors berechnet werden.
  • Der Druck kennzeichnet einen Zustand des Gases oder der Flüssigkeit, er ist keine gerichtete Größe (Vektor) wie die Kraft.
  • Bei Festkörpern macht der Druckbegriff keinen Sinn.
  • Der Wetterbericht verwendet die Druckeinheit 1 hPa (1 hPa = 100 Pa).
    Diese Einheit ist genauso groß wie die Einheit 1 mbar (1 mbar = 1/1000 bar). Überlege warum!

Es stehen drei Zylinder mit den Kolbenflächen A1= 1,0 m2; A2= 1,0 dm2 und A3= 1,0 cm2 zur Verfügung.

Welche zwei der drei Zylinder eignen sich zum Bau einer hydraulischen Hebebühne, bei der mit minimaler Kraft eine maximale Last gehoben werden kann? Begründe deine Wahl!

Skizziere den Aufbau einer hydraulischen Hebebühne (mit Beschriftung).

Berechne die aufzuwendende Kraft, wenn eine Last von 1500 kg gehoben werden soll. Beachte unbedingt die Ausführungen zur Einheitenumrechnung.

Theorie

Aufgrund des Gewichtes einer Flüssigkeitssäule herrscht an deren Grund ein Bodendruck (Schweredruck).

Berechnung des Schweredruckes am Boden einer Flüssigkeitssäule der Dichte ρ , der Querschnittsfläche A und der Höhe h:

\(p = \frac{{{F_g}}}{A}\)

Da Fg = m · g ist (g: Erdbeschleunigung ) ergibt sich:

\(p = \frac{{m \cdot g}}{A}\)

Die Masse lässt sich durch Volumen und Dichte der Säule ausdrücken:

m = V · ρ und somit \(p = \frac{{V \cdot \rho \cdot g}}{A}\).

Für das Volumen lässt sich V = A · h schreiben und somit:

\(p = \rho \cdot g \cdot h\)

Hinweise:

  • Der Schweredruck hängt nicht von der Querschnittsfläche und nicht von der Form der Flüssigkeitssäule ab, sondern nur von deren Höhe und Dichte.
  • Will man den Schweredruck in Pa (= N/m2) angeben, so braucht man die Dichte in der Einheit kg/m3 und die Höhe in der Einheit m.

 

Anmerkungen:

  • Der reibungsfrei bewegliche Kolben in nebenstehender Anordnung bewegt sich nicht nach links, wenn Gasdruck und äußerer Luftdruck b gleich groß sind, d.h. die Druckkräfte im Gleichgewicht sind.

 

  • Der Luftdruck hängt von der Wetterlage ab. Er ist in Meereshöhe durchschnittlich größer (1 bar) als bei uns in München. Man kann den Luftdruck mit einem Barometer messen. Sehr genaue Barometer sind die Flüssigkeitsbarometer.
    Da über dem Quecksilber kein Gas ist, das Druckkräfte erzeugt, ist der Druck der Quecksilbersäule in A (Bodendruck) so groß wie der Luftdruck in B. Wäre einer der beiden Drucke größer, so würde sich die U-förmige Flüssigkeitssäule unterhalb der Linie A---B in Bewegung setzen. Vom Normaldruck spricht man, wenn die Quecksilbersäule h = 760 mm hoch ist.

 

Die nebenstehende Anordnung zeigt ein U-Rohr-Manometer. Es dient zur Messung von Druckänderungen (Druckunterschieden).

Berechne, wie groß der Unterschied zwischen Gasdruck und Luftdruck ist, wenn h = 37 mm ist.

Berechne, wie groß der Gasdruck ist, wenn b = 925 hPa ist.

 

Theorie

Eine physikalische Größe kann als Produkt von Maßzahl (Zahlenwert) und Maßeinheit aufgefasst werden:
\(p = 10\frac{N}{{{m^2}}}\) kann in der Form \(p = 10 \cdot 1\frac{N}{{{m^2}}}\) oder \(p = 10 \cdot \frac{{1N}}{{1{m^2}}}\) geschrieben werden.

Will man nur die Einheit einer Größe angeben, so schreibt man \(\left[ p \right] = 1\frac{N}{{{m^2}}} = \frac{N}{{{m^2}}}\).

Die Einheiten sind meist im sogenannten SI-System angegeben. Man sagt hierzu auch MKSA-System (Meter, Kilogramm, Sekunde, Ampere System). Daneben sind aber auch noch andere Einheiten üblich, wie z.B. die Druckangabe in bar.

Wichtig zu merken: \(1Pa = 1\frac{N}{{{m^2}}}\) und \(1{\rm{bar}} = {10^5}Pa\)

Musteraufgabe

Wie viel \(\rm{Pa}\) sind \(10\frac{\rm{N}}{{{\rm{cm^2}}}}\)?      Kurz: \(10\frac{\rm{N}}{{{\rm{cm^2}}}} = ?\rm{Pa}\)

1. Schritt:

Drücke die gegebene Größe \(10\frac{\rm{N}}{{{\rm{cm^2}}}}\) in der gesuchten Einheit Pa aus.

\(10\frac{N}{{{cm^2}}}\) = 10 · \(\frac{1N}{{{1cm^2}}}\) = 10 · \(\frac{N}{{\frac{1}{{10000}}{m^2}}}\)

Hinweise: \(1\rm{Pa}=1\frac{\rm{N}}{{\rm{{m^2}}}}\) ; 10 000 cm2 = 1 m2 also 1 cm2 = \(\frac{1}{{10000}}\) m2 ; Umrechnungszahl für Flächen: 100!

2. Schritt:

Beseitige eventuelle Doppelbrüche. 10 · \(\frac{N}{{\frac{1}{{10000}}{m^2}}}\) = 10 · \(\frac{10000N}{{{m^2}}}\) = 1,0 · 105\(\frac{N}{{{m^2}}}\);

Ergebnis: \(10\frac{\rm{N}}{{{\rm{cm^2}}}}\) = 1,0 ·105 Pa

Hinweis: Die Zahl der gültigen Stellen muss bei der Umwandlung erhalten bleiben (vgl. Grundwissen: Genauigkeit bei Zahlenangaben)

10 mbar= ? Pa

\(15 \frac{cN}{{{cm^2}}}= ? \frac{N}{{{m^2}}}\)

1000 hPa= ? bar

Betrachtung eines Versuches:

Ein zylindrisches Glasrohr mit der Querschnittsfläche A ist auf der Unterseite dicht mit einem Diadeckglas (Gewicht vernachlässigbar) abgeschlossen. Bringt man diese Anordnung in ein wassergefülltes Becken (Diadeckglas in Tiefe h), so hält das Diadeckglas von selbst am Glasrohr.

Füllt man Wasser in das Rohr, so fällt das Deckglas ab, wenn der Wasserspiegel im Rohr und außen gleich hoch ist (Fall c).

Der Druck in der Tiefe h bewirkt eine Druckkraft mit Betrag FD auf das Diadeckglas von unten. Daher fällt das Deckglas zunächst nicht vom Rohr ab.

Erst wenn soviel Wasser in das Rohr gegossen wurde, dass dessen Gewichtskraft (Betrag Fg) gleich der Druckkraft FD ist, fällt das Blättchen ab.

Unter Benutzung des Gleichgewichtes zwischen FD und Fg kann man die Formel für den Schweredruck in Abhängigkeit von g (Ortsfaktor) ρ (Dichte der Flüssigkeit) und Eintauchtiefe h herleiten.
Man nennt diese Vorgehensweise eine Deduktion (Ableitung einer neuen Formel aus bereits bekannten Beziehungen)

Für die Herleitung werden dir zwei Möglichkeiten angeboten:

1. Möglichkeit: Schwerer Weg

Du versuchst die Herleitung der Formel für den Schweredruck \(p\) in Abhängigkeit vom Ortsfaktor \(g\), der Dichte \(\rho \) der Flüssigkeit und der Eintauchtiefe \(h\) völlig selbständig.

2. Möglichkeit: Mittelschwerer Weg

Du lässt dich bei der Lösung schrittweise durch folgende 4 Tipps führen.

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