Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

MILLIKAN-Versuch (Schwebemethode)

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

MILLIKAN-Versuch (Schwebemethode)

von Stefan Pohl in der Wikipedia auf Deutsch (selbst fotografiert) [Public domain], vom Wikimedia Commons

Der nach dem amerikanischen Physiker Robert Andrews MILLIKAN benannte MILLIKAN-Versuch ist nicht nur von großer historischer Bedeutung für die Physik (vgl. Geschichte der Bestimmung der Elementarladung), sondern auch einer der zentralen Versuche des Physikunterrichts in der Oberstufe.

Obwohl der prinzipielle Versuchsaufbau relativ einfach ist, sind sowohl die Versuchsdurchführung als auch die theoretischen Überlegungen, die für die Auswertung benötigt werden, teilweise recht komplex. Aus diesem Grund stellen wir auf LEIFIphysik insgesamt vier alternative Methoden der Durchführung einschließlich der jeweiligen Theorie vor und bieten zu jeder dieser Methoden eine angepasste Simulation sowie ein spezielles Tabellenblatt für eine Tabellenkalkulation an. Mit Hilfe der Simulation können dann selbstständig "Messwerte" aufgenommen und diese dann mit dem entsprechenden Tabellenblatt ausgewertet werden.

Versuchsaufbau

Der prinzipielle Aufbau des MILLIKAN-Versuchs ist recht einfach; er besteht aus einem horizontal liegenden Plattenkondensator mit dem Plattenabstand \(d\), an den eine Elektrische Quelle angeschlossen werden kann. Diese Elektrische Quelle kann sowohl ein- und ausgeschaltet als auch umgepolt werden, die angelegte Spannung \(U\) ist regelbar und wird mit einem Voltmeter gemessen. Der Raum zwischen den Platten kann mit einer Lampe beleuchtet und mit einem Mikroskop beobachtet werden; darin eingeblendet ist eine Skala, in der die einzelnen Skalenstriche den Abstand \(s\) haben. In das Innere des Plattenkondensators können mit einem Zerstäuber kleine Öltröpfchen gesprüht werden, die sich durch die Reibung aufladen und deren Bewegung mit Hilfe des Mikroskops beobachtet werden kann. Schließlich benötigt man eine oder zwei Stoppuhren zur Zeitmessung.

Hinweis: Durch die Beobachtung des Raums zwischen den Platten durch das Mikroskop werden oben und unten vertauscht; bewegt sich also ein Öltröpfchen in der Realität z.B. zwischen den Platten nach unten zur Erde hin, so beobachtet man im Mikroskop eine Bewegung des Öltröpfchens nach oben.

Theorie der Schwebemethode

Schwebt ein elektrisch geladenes Öltröpfchen in der Versuchsanordnung des MILLIKAN-Versuchs, so wirken auf das Öltröpfchen die ...

Gewichts- und Auftriebskraft

Da sich die Versuchsanordnung im Gravitationsfeld der Erde befindet, wirkt auf das Öltröpfchen stets die Gewichtskraft \(F_{\rm{G}} = m \cdot g\) (\(m\): Masse des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) nach unten. Die Masse \(m\) des kugelförmigen Öltröpfchens kann man mit Hilfe der bekanten Formeln \(m = \rho  \cdot V\) und \(V_{\rm{Kugel}} = \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3}\) durch \(m = \rho _{\rm{Öl}}  \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3}\) ausdrücken, so dass sich für die Gewichtskraft \(F_{\rm{G}} = \rho _{\rm{Öl}}  \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Öl}}\): Dichte von Öl; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) ergibt.

Da sich weiter zwischen den Kondensatorplatten Luft befindet, wirkt auf das Öltröpfchen zusätzlich stets die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}} = \rho _{\rm{Luft}} \cdot V \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Luft}}\): Dichte von Luft; \(V\): Volumen des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) nach oben. Auch hier kann man das Volumen des Öltröpfchens mit Hilfe seines Radius ausdrücken, so dass sich für die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}} = \rho _{\rm{Luft}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Luft}}\): Dichte von Luft; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) ergibt.

Obwohl die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}}\) gegenüber der Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}\) sehr klein ist und eigentlich vernachlässigt werden kann (vgl. untenstehende Aufgabe), wird häufig mit einer um die Auftriebskraft reduzierten Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = F_{\rm{G}} - F_{\rm{A}}\) gerechnet; man erhält dann (\(\rho ' = \rho _{\rm{Öl}} -\rho _{\rm{Luft}}\): reduzierte Dichte; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung)
\[F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g\]

Berechne für einen Tröpfchenradius von \(r = 5,00 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{m}}\), \({\rho _{{\rm{Öl}}}} = 875,3\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) und \({\rho _{\rm{Luft}}} = 1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) die Beträge von Gewichtskraft \(F_G\), Auftriebskraft \(F_A\) und reduzierter Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}}\).

Begründe durch eine Rechnung, dass unabhängig von allen anderen Größen für \(\rho _{\rm{Öl}} = 875,3\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) und \({\rho _{\rm{Luft}}} = 1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) die Vernachlässigung des Auftriebs ungefähr \(0,1\%\) Ungenauigkeit bedeutet.

Elektrische Kraft

Liegt an den Platten des Kondensators eine Spannung an, so wirkt auf ein geladenes Öltröpfchen zusätzlich die Elektrische Kraft \({F_{\rm{el}}} = q \cdot E\) (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(E\): Elektrische Feldstärke zwischen den Kondensatorplatten). Die Elektrische Feldstärke \(E\) kann man mit Hilfe der Kondensatorformel \(E = \frac{U}{d}\) ersetzen, so dass sich für die Elektrische Kraft ergibt (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(U\): Spannung an den Kondensatorplatten; \(d\): Plattenabstand)
\[{F_{{\rm{el}}}} = q \cdot \frac{U}{d}\]

Da die Platten horizontal angeordnet sind, sind die Elektrische Kraft und die Gewichtskraft stets parallel gerichtet. Durch Umpolen der an den Kondensator angeschlossenen Elektrischen Quelle kann die Elektrische Kraft nach oben oder nach unten wirken. Die Abbildung zeigt die Elektrischen Kräfte auf ein negativ geladenes Öltröpfchen.

Durch vorhergegangene Experimente wusste MILLIKAN, dass die Öltröpfchen im Kondensator Ladungen in der Größenordnung von ca. \(1 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}}\) tragen. Berechne für einen Plattenabstand von \(d = 6,00 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{m}}\) und die oben berechnete reduzierte Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}}\), welche Spannung \(U\) an den Kondensatorplatten anliegen muss, um ein Öltröpfchen gegen die reduzierte Gewichtskraft in der Schwebe zu halten.

Bei der Schwebemethode wird ein Öltröpfchen durch Anlegen einer Spannung in der Schwebe gehalten (Schweben im Elektrischen Feld). Hinweis: Diese Methode kann nicht im Realexperiment, sondern nur in einer Simulation genutzt werden, da hier der Radius der untersuchten Öltröpfchen bekannt sein muss, was im Realexperiment nicht der Fall ist.

Schweben im Elektrischem Feld

An die Kondensatorplatten wird eine Spannung \(U\) angelegt und so eingestellt, dass das Öltröpfchen schwebt. Für ein negativ geladenes Tröpfchen muss die obere Platte positiv und die untere Platte negativ geladen werden.

Auf das Tröpfchen wirken die (reduzierte) Gewichtskraft \({\vec F_{{\rm{G'}}}}\) nach unten und die betraglich gleich große Elektrische Kraft \({{\vec F}_{{\rm{el}}}}\) nach oben, so dass keine resultierende Kraft mehr wirkt und das Tröpfchen ruht bzw. aufgrund der BROWNschen Bewegung etwas zittert.

Es gilt somit folgendes Kräftegleichgewicht: Der Betrag der Elektrischen Kraft \({F_{{\rm{el}}}} = q \cdot \frac{U}{d}\) (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(U\): Spannung an den Kondensatorplatten; \(d\): Plattenabstand) ist gleich dem Betrag der (reduzierten) Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho '\): reduzierte Dichte; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung):
\[\begin{eqnarray} \left| {{F_{\rm{G'}}}} \right| &=& \left| {{F_{\rm{el}}}} \right| \\ \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g &=& q \cdot \frac{U}{d} \quad(1)\end{eqnarray}\]
Durch Auflösen von Gleichung \((1)\) nach \(q\) (vgl. die untenstehende Aufgabe) erhält man die Formel
\[q = \frac{{\rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g \cdot d}}{U}\quad(2)\]
Die Größen \(\rho'=\rho_{\text{Öl}} - \rho_{\text{Luft}}\) und \(g\) können aus Tabellen entnommen werden, die Größe \(d\) findet sich in den technischen Daten der Versuchsapparatur und die Größe \(U\) kann leicht gemessen werden. Setzt man den Radius \(r\) des Tröpfchens als bekannt voraus, so kann die Ladung \(q\) aus den bekannten und gemessenen Größen berechnet werden.

Löse die Gleichung \((1)\) nach \(q\) auf.

Zeige durch eine Einheitenrechnung, dass Gleichung \((2)\) für die Ladung \(q\) die korrekte Einheit ergibt.

Durchführung

Sprühe Öltröpfchen in die Versuchsapparatur, konzentriere dich auf ein einzelnes Öltröpfchen, schalte die Kondensatorspannung \(U_{\rm{K}}\) ein und regele diese so, dass das ausgewählte Öltröpfchen ruht. Notiere den Wert der eingestellten Spannung \(U_{\rm{K}}\).

Führe den Versuch mehrmals mit verschiedenen Öltröpfchen durch und notiert die jeweiligen Messwerte in der zweiten Spalte der folgenden Tabelle.

\(N\) \(U\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) \(q\;{\rm{in}}\;{\rm{As}}\)
\(1\) ... ...
\(2\) ... ...

Kondensatorspannung
UK
HTML5-Canvas nicht unterstützt!

Hinweis: Die Simulation arbeitet mit den Parametern \(d = 6,00 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{m}}\), \({\rho _{{\rm{Öl}}}} = 875,3\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\), \({\rho _{{\rm{Luft}}}} = 1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\), \(g = 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) sowie dem festen Tröpfchenradius \(r = 5,00 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{m}}\). Ist die Kondensatorspannung \(U_{\rm{K}}\) positiv, so ist die (in der Realität obere, im Mikroskop untere) Platte des Kondensators positiv geladen.

Auswertung

Hinweis: Ein Tabellenblatt zur Auswertung des Experimentes mit einer Tabellenkalkulation findest du hier.

Berechne für alle Einzelmessungen wie oben angegeben den Wert für die Ladung \(q\). Er sollte in der Größenordnung von \({10^{ - 19}}{\rm{As}}\) liegen.

Erstelle ein Diagramm, in dem du auf der horizontalen Achse die Versuchsnummer \(N\) und auf der vertikalen Achse jeweils die berechnete Ladung \(q\) aufträgst.

Interpretiere das Diagramm.

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