Ladungen & Felder - Oberstufe

Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

Ladungsmessung einer Hohlkugel:

Vorversuch:

  • Der Versuchsaufbau besteht aus einer Kugel und einer sie umfassenden Hohlkugel, die aus zwei Hälften zusammengesetzt ist.
  • Man lädt zunächst die innere Metallkugel alleine indem man sie mit dem Pluspol einer Hochspannungsquelle verbindet. Mit einem Messverstärker (Bereich 30·10-10 As) oder Spiegelgalvanometer misst man die auf der Kugel sitzende Ladung.

Hauptversuch:

  • Nun werden die zwei Halbkugeln um die innere Kugel gehüllt. Es ist darauf zu achten, dass zwischen den Halbkugeln und der inneren Kugel keine leitende Verbindung besteht.
  • Die innere Kugel wird über einen Dorn geladen.
  • Dann wird die äußere Kugelschale über den Messverstärker oder das Spiegelgalvanometer entladen.
  • Es zeigt sich, dass auf der Außenseite der Hohlkugeln die gleiche Ladungsmenge sitzt (Betrag und Vorzeichen sind gleich) wie auf der inneren Kugel.
  • Wer sehr geschickt ist, kann nun die Halbkugeln ohne Berührung mit der inneren Kugel auseinanderziehen und die Ladung der beiden Halbkugeln bestimmen. Sie ist vom gleichen Betrag jedoch von entgegengesetztem Vorzeichen wie die Ladung der inneren Kugel.

Geräte:

  • 2 Platten
  • ladungsempf. Messverstärker
  • Hochspannung
  • diverse Plattenpaare
Versuchsdurchführung:
An den Kondensator wird eine Spannung von ca. 4 - 7 kV angelegt. Zwei Doppelplatten werden aufeinandergelegt und geerdet. Anschließend werden sie ins Feld des Kondensators gebracht, dort parallel zu den Platten ausgerichtet und im Inneren getrennt. Die Ladung der einzelnen Platten wird getrennt voneinander mit dem ladungsempfindlichen Messverstärker gemessen. In einem zweiten Versuchsteil wird eine Platte flach mit einer Kondensatorplatte berührt und ohne Kippen von dieser getrennt und ebenfalls die Ladung gemessen. Der Versuch wird mit verschieden großen Plattenpaaren wiederholt.
Versuchsergebnisse:
1. Ergebnis:
Die Ladung auf der einen Platte ist gegengleich zur Ladung auf der anderen Platte.
2. Ergebnis:
Die von der Kondensatorplatte abgenommene Ladung ist bei flacher Trennung genau so groß wie die einzelne Ladung auf den im Feld getrennten Platten. Trennt man nicht flach, so ist sie größer.
3. Ergebnis:
Bei Halbierung bzw. Viertelung der Plättchenfläche halbiert sich auch die Ladung auf den Plättchen. Die influenzierte Ladung ist also direkt proportional zur Plattenfläche. Die Proportionalitätskonstante D = Qi/A ist eine feldbeschreibende Größe, die man Verschiebungsdichte nennt, sie ist gleich der Flächenladungsdichte auf einer Kondensatorplatte.
Aufgabe:
Leiten Sie aus der Formel für die Feldstärke in einem Plattenkondensator und dem obigen Ergebnis die auch für beliebige Feldtypen geltende Gleichung D = ε0·E her.

Winkelabhängigkeit von D:


Die Untersuchung der Winkelabhängigkeit von D erfordert große experimentelle Präzision:

  • Zunächst bringt man ein an einer Drehskala befestigtes voneinander isoliertes Plattenpaar in das Innere eines ungeladenen Plattenkondensators.
  • Dann neutralisiert man beide Platten gemeinsam.
  • Anschließend lädt man den Plattenkondensator.
  • Nun verbindet man beide Platten mit einem Stift (siehe Skizze), so dass die Influenzladung überfließt.
  • Anschließend entlädt man den Kondensator.
  • Nun erdet man eine Platte und entlädt die andere über den ladungsempfindlichen Messverstärker.
    Dies wiederholt man für verschiedene Winkel.
α
30°
45°
60°
Q
15 Skt
13 Skt
11 Skt
8 Skt

Die Simulation von Prof. Dr. Raimund Girwidz, LMU München, bietet die Möglichkeit, fast beliebige Ladungskonfigurationen in der Ebene bequem zu erzeugen, die dadurch verursachten Elektrischen Felder und Potenziale in verschiedenen Darstellungsformen (Feldlinien, "Richtungsfeld", Potentiallinien) graphisch darzustellen und so zu untersuchen und zu verstehen.

Die Abbildung zeigt den Verlauf der Feldlinien eines Plattenkondensators.

Punktförmige Ladungen erzeugen ein radialsymmetrisches Feld. Bringt man in dieses Feld eine weitere Punktladung, so kommt es zu einer Kraftwirkung, welche sich relativ einfach durch das Gesetz von COULOMB beschreiben lässt. Die experimentelle Untersuchung ist mit verschiedenen Versuchsanordnungen möglich. Es wird von der Ausstattung der Schule abhängen, wie genau die Kraftwirkung zwischen den Punktladungen bestimmt werden kann.

Qualitative Untersuchung der Kraftwirkung mit der Drehwaage Quantitative Untersuchung der Kraftwirkung mit dem elektronischen Kraftmesser

Aufbau und Durchführung

Fahre mit der Maus über das Bild

Eine isoliert aufgehängte Kugel wird entweder an einem sehr empfindlichen Kraftsensor oder an eine Federwaage mit Kompensation für das Kugelgewicht aufgehängt und über eine Hochspannungsquelle oder mittels geriebenem Hartgummistab geladen. Unterhalb der Kugel bringt man eine große geerdete Platte und misst die Kraft zwischen Platte und Kugel in Abhängigkeit von deren Abstand (Platte - Kugelmittelpunkt).

Rechts ist der Versuchsaufbau mit dem Kraftsensor dargestellt.

Im 1. Teilversuch wird bei konstanter Kugelladung die Kraft gemessen

Im 2. Teilversuch wird die Kugelladung durch symmetrische Berührung mit einer gleichgroßen neutralen Kugel die Ladung halbiert und jeweils die Kraft gemessen.

Beobachtung

1. Teilversuch: Abhängigkeit der Kraft vom Abstand -Kugelmitte zur Platte (bei gleichbleibender Kugelladung)

a in mm
25mm
30 mm
35mm
F in mN
0,19
0,13
0,10

2. Teilversuch: Abhängigkeit der Kraft von der Kugelladung bei gleichbleibendem Kugelabstand

Q in Q0
Q0
0,5 Q0
F in mN
0,19
0,05

Auswertung

Zeige aus den Versuchsergebnissen,

1. dass die Kraft indirekt proportional zum Quadrat des Abstands und

2. direkt proportional zum Quadrat der Ladung ist.

3. Berechne die Ladung der Kugel mittels coulombschen Kraftgesetzes und dem unten beschriebenen Spiegelladungsprinzip.

Prinzip der Spiegelladung:

Steht eine Ladung q vor einer ungeladenen geerdeten Platte, so werden durch Influenz eine Gegenladung -q auf die Platte aus der Erdung verschoben. Das Feldlinienbild sieht aus wie die Hälfte des Bildes zweier entgegengesetzt gleicher Ladungen mit der Platte in der Mitte. Deshalb lässt sich die Kraft zwischen Platte und Ladung so berechnen wie die Kraft zwischen zwei gleichen Ladungen im Abstand 2a.

Wie man sich das vorstellen kann, sieht man an der folgenden Animation.

Bringt man in die Symmetrieebene zweier gleichgroßer entgegengesetzter Ladungen eine Metallplatte, so influenzieren sich in ihr Ladungen (Modellvorstellung: an jedem Feldlinienende ein Pärchen). Schließt man die Platte mit der rechten Seite kurz, so gleichen sich die Ladungen auf der rechten Plattenseite mit den Ladungen auf der Kugel aus, rechts der Platte wird der Raum feldfrei, links ändert sich das Feld gar nicht.

Mit diesem JAVA-Applet von Prof. Fu-Kwun Hwang aus Taiwan können Sie die Auf- und Entladekurven für Strom (blau) und Spannung (rot) beim Kondensator studieren. Ebenfalls werden die Quellspannung \({U_0}\) sowie die Spannungen \({U_C}\) und \({U_R}\) durch hellblaue Balken verdeutlicht.

Geändert werden können im Applet die Werte für die Quellspannung \({U_0}\) (im Applet V), die Größe \(R\) des Widerstandes sowie die Kapazität \(C\) des Kondensators.

Der Aufladevorgang beginnt mit dem Umlegen des roten Schalters (mit der Maus); auf die gleiche Weise können Sie auch den Entladevorgang einleiten.

Achten Sie auch darauf, dass beim Entladen die Stromstärke \(I\) sowie die Spannung über dem Widerstand \({U_R}\) negativ werden.

Ballistische Ladungsmessung mit dem Spiegelgalvanometer

Diese Methode ist wohl etwas altertümlich, sie hat jedoch den entscheidenden Vorteil, dass der Aufbau des Gerätes leicht zu verstehen und es also also keine "black box" ist. Das Spiegelgalvanometer ist nichts anderes als ein sehr empfindliches Drehspulinstrument.

Die vom Messstrom durchflossene Spule hängt an einem oben und unten fixierten Torsionsdraht, der meist auch als Stromzuführung dient.

Als Zeiger dient ein Lichtstrahl, der an einem am Draht befestigten Spiegel reflektiert wird und dann auf eine Skala trifft.

Schickt man Strom durch die Spule, so wird sie zum Elektromagnet und versucht, sich im Feld des Permanentmagneten zu drehen und damit Spiegel und reflektierten Lichtstrahl mitzudrehen.

Dem durch magnetische Kräfte bewirkten Drehmoment wirkt das rücktreibende Drehmoment des Torsionsdrahts entgegen.

Auf Grund des relativ geringen rücktreibenden Drehmoments des Torsionsfadens und des schon bei kleinen Winkeln erheblichen Ausschlag des Lichtzeigers ist das Gerät für sehr kleine Ströme geeignet.

Das Spiegelgalvanometer ist insbesondere zur Messung von Ladungen geeignet, weil bei sehr kurzen Stromstößen (kürzer als die Schwingungsdauer des Galvanometers) das Spiegelgalvanometer kurz ausschlägt und dann hin und her pendelt wie eine Schaukel. Der dabei zu messende Maximalausschlag ist nur abhängig von der während des Stromstoßes geflossenen Ladungsmenge und unabhängig vom zeitlichen Verlauf des Stromstoßes.

Der Stoßausschlag bleibt also gleich, wenn man die Stromstärke verdoppelt und gleichzeitig die Durchflusszeit halbiert. Diese Art der Messung nennt man ballistische Messung.

Wenn du an Details zur ballistischen Ladungsmessung mit dem Spiegelgalvanometer interessiert bist, so kannst du dir diese hier einblenden.

Ladungsmessung mit dem Messverstärker

Beim Messverstärker wird durch eine Halbleiterschaltung der fließende Strom verstärkt und schickt den verstärkten Strom über ein normiertes etwas unempfindlicheres Amperemeter. Durch einen eingebauten Kondensator wird er vor zu großen Strom bzw. Spannungsspitzen geschützt. Im Regelfall können solche Messverstärker Ladung sowohl ballistisch (also als Stoßausschlag) als auch statisch durch eine entsprechende Speicherschaltung messen.

Ladungsmessung mit dem Elektrometerverstärker

Dieses Gerät ist eine etwas einfachere Ausführung des Messverstärkers und wird häufig in Schülerversuchen eingesetzt. Man bringt an den Eingang des Operationsverstärkers einen Faradaybecher und misst die verstärkte Ladung, die von diesem zum Potentialausgleich abfließt. Als Anzeigegerät dient ein Multimeter.

 

Mit dem nebenstehend skizzierten Versuch kann gezeigt werden, dass im Inneren eines Plattenkondensators die Feldlinien zueinander parallel sind und die Feldliniendichte überall im Kondensatorinneren gleich ist. Dies bedeutet, dass die Kraft auf eine Probeladung im homogenen Feld überall gleich groß ist. Dies zeigt, dass  ein besonders einfacher Feldtyp auftritt, das sogenannte homogene elektrische Feld.

Eine geladene Metallkugel wird im Feld des Plattenkondensators um den Winkel der Weite \(\alpha \) ausgelenkt. Verschiebt man nun den Kondensator in Bezug zu Kugel, so ändert sich der Auslenkwinkel nicht. Dies bedeutet, dass die elektrische Kraft auf die Kugel auch in anderen Feldbereichen genauso groß ist wie im Zentrum des Kondensators.

Das folgende Bild zeigt nochmals das Feldlinienbild schematisch an:

 

Herleitung der Kapazitätsformel

zum Versuch

Festigung der Kapazitätsformel

zum Versuch

 


Versuchsgeräte:

  • Netzgerät für Niedrigspannung (24V)
  • Hochohmiges Voltmeter
  • Festes Papier (z.B. 150g-Papier)
  • Mehrere gewichtige Elektroden
  • 4 Kabel

Vorbereitung:

  • Papier bzw. Karton für einige Sekunden ins Wasser legen, so dass eine gute, homogene Durchfeuchtung gewährleistet ist.
  • Elektroden (es eignen sich z.B. auch Tonnenfüße aus der Sammlung) in möglichst großem Abstand auf den Karton stellen.
  • Kabelverbindung zwischen den Elektroden und dem Netzgerät herstellen.

Durchführung:
Am Netzgerät Spannung von 24 V einstellen. Mit dem Stecker das Feld nach Punkten gleichen Potentials (z.B. 0V, 5V , 10V, 15V, 20V) abtasten und mit Bleistift kennzeichnen und anschließend verbinden.

 


 

Potential im Innern eines Plattenkondensators

Aufbau und Durchführung

An die Platten eines vertikal aufgestellten großen Plattenkondensator wird eine Spannung von ca. \(7\rm{kV}\) angelegt. Zwischen die Platte wird eine aus einem dünnen Messingröhrchen austretende Gasflamme gestellt und die Spannung gegenüber der geerdeten Platte mit einem statischen Voltmeter gemessen. Die Platten haben einen Abstand von ca. \(10\rm{cm}\) bis \(15\rm{cm}\). Die Versuchsanordnung wird mit Hilfe eines Tageslichtprojektors an die Tafel projiziert, so dass die Platten und die Flammensonde als Striche im Schattenriss erscheinen. Die Messergebnisse kann man direkt an der Tafel in den Schattenriss einzeichnen.

Beobachtung

Abstand Platte-Sonde 0 0,25d 0,5d 0,75d d
\(\varphi \;{\rm{in}}\;{\rm{kV}}\) 7,0 5,2 3,4 1,7 0

Ergebnis

Das Potential \(\varphi \) im Innern eines Plattenkondensators fällt linear ab.

Potential im Außenraum einer Kugel

Aufbau und Durchführung

Zur Messung des Potentials einer alleinstehenden geladenen Kugel hängt man eine große Kugel an einem Nylonfaden an die Decke und verbindet sie leitend mit dem + Pol einer Hochspannungsquelle. Gegenüber der Kugel bringt man in einigem Abstand (ca. \(1,5\rm{m}\)) eine große Metallplatte (ca. \(1\rm{m^2}\)) die man ebenso wie die eine Seite des statischen Voltmeters erdet. Nun misst man mit der Flammesonde in Höhe des Kugelmittelpunkts das Potential in Abhängigkeit vom Abstand \(r\) zum Kugelmittelpunkt aus.

Beobachtung

\(r\) (Kugelradius) \(1{r_0}\) \(2{r_0}\) \(3{r_0}\) \(4{r_0}\) \(5{r_0}\)
\(\varphi \;{\rm{in}}\;{\rm{kV}}\) 7 3,6 2,3 1,8 1,4

Ergebnis

Das Potential \(\varphi \) im Außenraum einer Kugel fällt indirekt proportional zum Radius ab..

Hinweis: Wenn du etwas mehr über das Prinzip der Flammensondenmessung erfahren wollen, so lasse dir weitere Details einblenden.

An einer elektrischen Feinwaage wird ein "Elektrostatik- Löffel" (kreisrunde Metallplatte mit Isolierstiel) befestigt. Dieser wird ins Innere eines Plattenkondensators gebracht und die elektrische Kraft in Abhängigkeit von der auf dem Löffel befindlichen Ladung und der Spannung des Kondensators gemessen.


1. Versuch: Zusammenhang zwischen Kraft auf Probelöffel und Ladung auf dem Probelöffel

  • Vorbereitung:
    • Der "Elektrostatik-Löffel" ist zunächst ungeladen (Berührung mit der Hand des Experimentators, der sich selbst zuvor durch Berühren mit der Wasserleitung geerdet hat); er wird in die Mitte zwischen die Platten des Kondensators gebracht.
    • Dann wird eine Spannung von ca. 15,0 kV angelegt und die Waage beobachtet. Zeigt die Waage keine Veränderung (Ausschlag bleibt gleich), so hat der "Elektrostatik-Löffel" die richtige Position. Verändert sich der Ausschlag der Waage, so halten sich die durch Influenz bedingten Kräfte von oberer und unterer Kondensatorplatte auf den Elektrostatiklöffel nicht die Waage. Dies kann daran liegen, dass die metallische Fläche des Löffels nicht parallel zu den Kondensatorplatten ist oder dass sich der Löffel nicht in der Mitte zwischen den Kondensatorplatten befindet. Nach geometrischen Korrekturen sollte auf den ungeladenen Löffel im geladenen Kondensator keine nennenswerte Kraft ausgeübt werden.
  • Durchführung:
    • Nun lädt man den Löffel positiv auf. Die erreicht man z.B. indem man ihn kurzzeitig leitend mit der oberen Platte verbindet. Dadurch kommt es zu einer elektrischen Kraft nach unten. Man liest die Zunahme des Ausschlages der Waage ab und rechnet ihn in Krafteinheiten um.
    • Anschließend halbiert man die Ladung auf dem Löffel indem man ihn mit einem gleichartigen ungeladenen Löffel im feldfreien Raum berührt. Dazu dreht man am besten den geladenen Löffel aus dem Kondensator und bringt ihn mit dem gleichartigen ungeladenen Löffel in Kontakt (Man könnte die Ladungshalbierung auch innerhalb des Kondensators durchführen, jedoch muss dazu dann die Spannung am Kondensator abgeschaltet werden. Dies ist umständlicher und dauert länger).
    • Anschließend dreht man den Elektrostatiklöffel auf dem die Ladung halbiert wurde wieder in den gleich geladenen Kondensator und misst die Kraft auf den Elektrostatiklöffel.
    • Die obige Prozedur der Ladungshalbierung und Kraftmessung wird so oft wiederholt bis die Kraft auf den Probelöffel zu klein für eine sinnvolle Ablesung ist.
  • Versuchsergebnisse:
Ladung
Q
½·Q
¼·Q
Kraft Fel
22 mN
(Waage zeigte 2,2 g)
11 mN
6 mN
  • Auswertung:
    Zunächst könnte man auf die Idee kommen, die Kraft Fel auf den Probelöffel als Maß für die "Stärke" des elektrischen Feldes im Kondensator zu verwenden. Der Versuch zeigt jedoch, dass diese Kraft nicht nur vom elektrischen Feld des Kondensators, sondern ganz wesentlich auch von der Ladung Q auf der Sonde (Probelöffel) abhängt mit der das Feld untersucht wird. Die obige Messung zeigt nämlich:

Fel ~ Q

(bei gleichbleibendem elektrischen Feld)

    • Als feldbeschreibende Größe wählt man daher sinnvollerweise den Quotienten Fel/Q. Dieser Quotient ist bei gleichbleibendem Feld eine Konstante, da aus der Proportionalität von Kraft Fel und Löffelladung Q die Konstanz von Fel/Q folgt.
      Dieser Quotient beschreibt eine nur vom Feld abhängige Größe, die man als Feldstärke E definiert. Da die Kraft Fel ein Vektor ist und die Ladung Q kein Vektor ist, muss E ein Vektor in Richtung (oder Gegenrichtung) der Kraft sein. Die Richtung der Feldstärke wird als die Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung definiert (die Kraft auf eine negative Probeladung ist entgegen der Feldstärkerichtung).
    \[\vec E = \frac{{{{\vec F}_{el}}}}{Q}\quad \left[ E \right] = 1\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{As}}}}\]

    Aufgabe

    Bei dem oben beschriebenen Versuch war die maximale Probeladung \(Q=11 \cdot 10^{-8}\rm{As}\). Berechnen Sie aus dieser Angabe und mit Hilfe obiger Tabelle die elektrische Feldstärke bei dem durchgeführten Versuch.

    2. Versuch

    Man wiederholt den ersten Versuch, behält aber nun die Löffelladung konstant und ändert die Spannung am Kondensator.

    Ergebnisse:

    Spannung U
    20 kV
    15 kV
    10 kV
    5 kV
    Kraft auf Ladung Fel
    29 mN
    22 mN
    14 mN
    7 mN

    Aufgabe

    Erläutere, welche Information man aus diesen Versuchsergebnissen ableiten kann.

    Neben dem oben dargestellten Versuch, der sehr leicht durchzuführen ist, gibt es noch weitere Versuche, die zur Einführung der elektrischen Feldstärke geeignet sind. Auf der folgenden Seite finden Sie ein paar Beispiele.

    Karlheinz Meier von der Universität Heidelberg stellt leicht verständliche Videos zum Physikunterricht zur Verfügung. In anderthalb Minuten wird gut fassbar in das Prinzip einer technischen Erfindung eingeführt oder ein physikalisches Phänomen vorgestellt.

    In diesem Video geht Karlheinz Meier auf die Ladungsspeicherung im Kondensator ein. Die Aussage: "Großer Kondensator - viel Ladung; kleiner Kondensator - wenig Ladung" sollte man nicht auf die Goldwaage legen.

    zum Video

    von Stefan Pohl in der Wikipedia auf Deutsch (selbst fotografiert) [Public domain], vom Wikimedia Commons

    Der nach dem amerikanischen Physiker Robert Andrews MILLIKAN benannte MILLIKAN-Versuch ist nicht nur von großer historischer Bedeutung für die Physik (vgl. Geschichte der Bestimmung der Elementarladung), sondern auch einer der zentralen Versuche des Physikunterrichts in der Oberstufe.

    Obwohl der prinzipielle Versuchsaufbau relativ einfach ist, sind sowohl die Versuchsdurchführung als auch die theoretischen Überlegungen, die für die Auswertung benötigt werden, teilweise recht komplex. Aus diesem Grund stellen wir auf LEIFIphysik insgesamt vier alternative Methoden der Durchführung einschließlich der jeweiligen Theorie vor und bieten zu jeder dieser Methoden eine angepasste Simulation sowie ein spezielles Tabellenblatt für eine Tabellenkalkulation an. Mit Hilfe der Simulation können dann selbstständig "Messwerte" aufgenommen und diese dann mit dem entsprechenden Tabellenblatt ausgewertet werden.

    Versuchsaufbau

    Der prinzipielle Aufbau des MILLIKAN-Versuchs ist recht einfach; er besteht aus einem horizontal liegenden Plattenkondensator mit dem Plattenabstand \(d\), an den eine Elektrische Quelle angeschlossen werden kann. Diese Elektrische Quelle kann sowohl ein- und ausgeschaltet als auch umgepolt werden, die angelegte Spannung \(U\) ist regelbar und wird mit einem Voltmeter gemessen. Der Raum zwischen den Platten kann mit einer Lampe beleuchtet und mit einem Mikroskop beobachtet werden; darin eingeblendet ist eine Skala, in der die einzelnen Skalenstriche den Abstand \(s\) haben. In das Innere des Plattenkondensators können mit einem Zerstäuber kleine Öltröpfchen gesprüht werden, die sich durch die Reibung aufladen und deren Bewegung mit Hilfe des Mikroskops beobachtet werden kann. Schließlich benötigt man eine oder zwei Stoppuhren zur Zeitmessung.

    Hinweis: Durch die Beobachtung des Raums zwischen den Platten durch das Mikroskop werden oben und unten vertauscht; bewegt sich also ein Öltröpfchen in der Realität z.B. zwischen den Platten nach unten zur Erde hin, so beobachtet man im Mikroskop eine Bewegung des Öltröpfchens nach oben.

    Theorie der Schwebemethode

    Schwebt ein elektrisch geladenes Öltröpfchen in der Versuchsanordnung des MILLIKAN-Versuchs, so wirken auf das Öltröpfchen die ...

    Gewichts- und Auftriebskraft

    Da sich die Versuchsanordnung im Gravitationsfeld der Erde befindet, wirkt auf das Öltröpfchen stets die Gewichtskraft \(F_{\rm{G}} = m \cdot g\) (\(m\): Masse des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) nach unten. Die Masse \(m\) des kugelförmigen Öltröpfchens kann man mit Hilfe der bekanten Formeln \(m = \rho  \cdot V\) und \(V_{\rm{Kugel}} = \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3}\) durch \(m = \rho _{\rm{Öl}}  \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3}\) ausdrücken, so dass sich für die Gewichtskraft \(F_{\rm{G}} = \rho _{\rm{Öl}}  \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Öl}}\): Dichte von Öl; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) ergibt.

    Da sich weiter zwischen den Kondensatorplatten Luft befindet, wirkt auf das Öltröpfchen zusätzlich stets die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}} = \rho _{\rm{Luft}} \cdot V \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Luft}}\): Dichte von Luft; \(V\): Volumen des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) nach oben. Auch hier kann man das Volumen des Öltröpfchens mit Hilfe seines Radius ausdrücken, so dass sich für die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}} = \rho _{\rm{Luft}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Luft}}\): Dichte von Luft; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) ergibt.

    Obwohl die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}}\) gegenüber der Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}\) sehr klein ist und eigentlich vernachlässigt werden kann (vgl. untenstehende Aufgabe), wird häufig mit einer um die Auftriebskraft reduzierten Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = F_{\rm{G}} - F_{\rm{A}}\) gerechnet; man erhält dann (\(\rho ' = \rho _{\rm{Öl}} -\rho _{\rm{Luft}}\): reduzierte Dichte; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung)
    \[F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g\]

    Berechne für einen Tröpfchenradius von \(r = 5,00 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{m}}\), \({\rho _{{\rm{Öl}}}} = 875,3\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) und \({\rho _{\rm{Luft}}} = 1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) die Beträge von Gewichtskraft \(F_G\), Auftriebskraft \(F_A\) und reduzierter Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}}\).

    Begründe durch eine Rechnung, dass unabhängig von allen anderen Größen für \(\rho _{\rm{Öl}} = 875,3\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) und \({\rho _{\rm{Luft}}} = 1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) die Vernachlässigung des Auftriebs ungefähr \(0,1\%\) Ungenauigkeit bedeutet.

    Elektrische Kraft

    Liegt an den Platten des Kondensators eine Spannung an, so wirkt auf ein geladenes Öltröpfchen zusätzlich die Elektrische Kraft \({F_{\rm{el}}} = q \cdot E\) (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(E\): Elektrische Feldstärke zwischen den Kondensatorplatten). Die Elektrische Feldstärke \(E\) kann man mit Hilfe der Kondensatorformel \(E = \frac{U}{d}\) ersetzen, so dass sich für die Elektrische Kraft ergibt (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(U\): Spannung an den Kondensatorplatten; \(d\): Plattenabstand)
    \[{F_{{\rm{el}}}} = q \cdot \frac{U}{d}\]

    Da die Platten horizontal angeordnet sind, sind die Elektrische Kraft und die Gewichtskraft stets parallel gerichtet. Durch Umpolen der an den Kondensator angeschlossenen Elektrischen Quelle kann die Elektrische Kraft nach oben oder nach unten wirken. Die Abbildung zeigt die Elektrischen Kräfte auf ein negativ geladenes Öltröpfchen.

    Durch vorhergegangene Experimente wusste MILLIKAN, dass die Öltröpfchen im Kondensator Ladungen in der Größenordnung von ca. \(1 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}}\) tragen. Berechne für einen Plattenabstand von \(d = 6,00 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{m}}\) und die oben berechnete reduzierte Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}}\), welche Spannung \(U\) an den Kondensatorplatten anliegen muss, um ein Öltröpfchen gegen die reduzierte Gewichtskraft in der Schwebe zu halten.

    Bei der Schwebemethode wird ein Öltröpfchen durch Anlegen einer Spannung in der Schwebe gehalten (Schweben im Elektrischen Feld). Hinweis: Diese Methode kann nicht im Realexperiment, sondern nur in einer Simulation genutzt werden, da hier der Radius der untersuchten Öltröpfchen bekannt sein muss, was im Realexperiment nicht der Fall ist.

    Schweben im Elektrischem Feld

    An die Kondensatorplatten wird eine Spannung \(U\) angelegt und so eingestellt, dass das Öltröpfchen schwebt. Für ein negativ geladenes Tröpfchen muss die obere Platte positiv und die untere Platte negativ geladen werden.

    Auf das Tröpfchen wirken die (reduzierte) Gewichtskraft \({\vec F_{{\rm{G'}}}}\) nach unten und die betraglich gleich große Elektrische Kraft \({{\vec F}_{{\rm{el}}}}\) nach oben, so dass keine resultierende Kraft mehr wirkt und das Tröpfchen ruht bzw. aufgrund der BROWNschen Bewegung etwas zittert.

    Es gilt somit folgendes Kräftegleichgewicht: Der Betrag der Elektrischen Kraft \({F_{{\rm{el}}}} = q \cdot \frac{U}{d}\) (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(U\): Spannung an den Kondensatorplatten; \(d\): Plattenabstand) ist gleich dem Betrag der (reduzierten) Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho '\): reduzierte Dichte; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung):
    \[\begin{eqnarray} \left| {{F_{\rm{G'}}}} \right| &=& \left| {{F_{\rm{el}}}} \right| \\ \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g &=& q \cdot \frac{U}{d} \quad(1)\end{eqnarray}\]
    Durch Auflösen von Gleichung \((1)\) nach \(q\) (vgl. die untenstehende Aufgabe) erhält man die Formel
    \[q = \frac{{\rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g \cdot d}}{U}\quad(2)\]
    Die Größen \(\rho'=\rho_{\text{Öl}} - \rho_{\text{Luft}}\) und \(g\) können aus Tabellen entnommen werden, die Größe \(d\) findet sich in den technischen Daten der Versuchsapparatur und die Größe \(U\) kann leicht gemessen werden. Setzt man den Radius \(r\) des Tröpfchens als bekannt voraus, so kann die Ladung \(q\) aus den bekannten und gemessenen Größen berechnet werden.

    Löse die Gleichung \((1)\) nach \(q\) auf.

    Zeige durch eine Einheitenrechnung, dass Gleichung \((2)\) für die Ladung \(q\) die korrekte Einheit ergibt.

    Durchführung

    Sprühe Öltröpfchen in die Versuchsapparatur, konzentriere dich auf ein einzelnes Öltröpfchen, schalte die Kondensatorspannung \(U_{\rm{K}}\) ein und regele diese so, dass das ausgewählte Öltröpfchen ruht. Notiere den Wert der eingestellten Spannung \(U_{\rm{K}}\).

    Führe den Versuch mehrmals mit verschiedenen Öltröpfchen durch und notiert die jeweiligen Messwerte in der zweiten Spalte der folgenden Tabelle.

    \(N\) \(U\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) \(q\;{\rm{in}}\;{\rm{As}}\)
    \(1\) ... ...
    \(2\) ... ...

    Kondensatorspannung
    UK
    HTML5-Canvas nicht unterstützt!

    Hinweis: Die Simulation arbeitet mit den Parametern \(d = 6,00 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{m}}\), \({\rho _{{\rm{Öl}}}} = 875,3\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\), \({\rho _{{\rm{Luft}}}} = 1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\), \(g = 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) sowie dem festen Tröpfchenradius \(r = 5,00 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{m}}\). Ist die Kondensatorspannung \(U_{\rm{K}}\) positiv, so ist die (in der Realität obere, im Mikroskop untere) Platte des Kondensators positiv geladen.

    Auswertung

    Hinweis: Ein Tabellenblatt zur Auswertung des Experimentes mit einer Tabellenkalkulation findest du hier.

    Berechne für alle Einzelmessungen wie oben angegeben den Wert für die Ladung \(q\). Er sollte in der Größenordnung von \({10^{ - 19}}{\rm{As}}\) liegen.

    Erstelle ein Diagramm, in dem du auf der horizontalen Achse die Versuchsnummer \(N\) und auf der vertikalen Achse jeweils die berechnete Ladung \(q\) aufträgst.

    Interpretiere das Diagramm.

    von Stefan Pohl in der Wikipedia auf Deutsch (selbst fotografiert) [Public domain], vom Wikimedia Commons

    Der nach dem amerikanischen Physiker Robert Andrews MILLIKAN benannte MILLIKAN-Versuch ist nicht nur von großer historischer Bedeutung für die Physik (vgl. Geschichte der Bestimmung der Elementarladung), sondern auch einer der zentralen Versuche des Physikunterrichts in der Oberstufe.

    Obwohl der prinzipielle Versuchsaufbau relativ einfach ist, sind sowohl die Versuchsdurchführung als auch die theoretischen Überlegungen, die für die Auswertung benötigt werden, teilweise recht komplex. Aus diesem Grund stellen wir auf LEIFIphysik insgesamt vier alternative Methoden der Durchführung einschließlich der jeweiligen Theorie vor und bieten zu jeder dieser Methoden eine angepasste Simulation sowie ein spezielles Tabellenblatt für eine Tabellenkalkulation an. Mit Hilfe der Simulation können dann selbstständig "Messwerte" aufgenommen und diese dann mit dem entsprechenden Tabellenblatt ausgewertet werden.

    Versuchsaufbau

    Der prinzipielle Aufbau des MILLIKAN-Versuchs ist recht einfach; er besteht aus einem horizontal liegenden Plattenkondensator mit dem Plattenabstand \(d\), an den eine Elektrische Quelle angeschlossen werden kann. Diese Elektrische Quelle kann sowohl ein- und ausgeschaltet als auch umgepolt werden, die angelegte Spannung \(U\) ist regelbar und wird mit einem Voltmeter gemessen. Der Raum zwischen den Platten kann mit einer Lampe beleuchtet und mit einem Mikroskop beobachtet werden; darin eingeblendet ist eine Skala, in der die einzelnen Skalenstriche den Abstand \(s\) haben. In das Innere des Plattenkondensators können mit einem Zerstäuber kleine Öltröpfchen gesprüht werden, die sich durch die Reibung aufladen und deren Bewegung mit Hilfe des Mikroskops beobachtet werden kann. Schließlich benötigt man eine oder zwei Stoppuhren zur Zeitmessung.

    Hinweis: Durch die Beobachtung des Raums zwischen den Platten durch das Mikroskop werden oben und unten vertauscht; bewegt sich also ein Öltröpfchen in der Realität z.B. zwischen den Platten nach unten zur Erde hin, so beobachtet man im Mikroskop eine Bewegung des Öltröpfchens nach oben.

    Theorie der Schwebe-Fall-Methode

    Schwebt ein elektrisch geladenes Öltröpfchen in der Versuchsanordnung des MILLIKAN-Versuchs, so wirken auf das Öltröpfchen die ...

    Gewichts- und Auftriebskraft

    Da sich die Versuchsanordnung im Gravitationsfeld der Erde befindet, wirkt auf das Öltröpfchen stets die Gewichtskraft \(F_{\rm{G}} = m \cdot g\) (\(m\): Masse des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) nach unten. Die Masse \(m\) des kugelförmigen Öltröpfchens kann man mit Hilfe der bekanten Formeln \(m = \rho  \cdot V\) und \(V_{\rm{Kugel}} = \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3}\) durch \(m = \rho _{\rm{Öl}}  \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3}\) ausdrücken, so dass sich für die Gewichtskraft \(F_{\rm{G}} = \rho _{\rm{Öl}}  \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Öl}}\): Dichte von Öl; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) ergibt.

    Da sich weiter zwischen den Kondensatorplatten Luft befindet, wirkt auf das Öltröpfchen zusätzlich stets die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}} = \rho _{\rm{Luft}} \cdot V \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Luft}}\): Dichte von Luft; \(V\): Volumen des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) nach oben. Auch hier kann man das Volumen des Öltröpfchens mit Hilfe seines Radius ausdrücken, so dass sich für die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}} = \rho _{\rm{Luft}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Luft}}\): Dichte von Luft; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) ergibt.

    Obwohl die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}}\) gegenüber der Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}\) sehr klein ist und eigentlich vernachlässigt werden kann (vgl. untenstehende Aufgabe), wird häufig mit einer um die Auftriebskraft reduzierten Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = F_{\rm{G}} - F_{\rm{A}}\) gerechnet; man erhält dann (\(\rho ' = \rho _{\rm{Öl}} -\rho _{\rm{Luft}}\): reduzierte Dichte; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung)
    \[F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g\]

    Berechne für einen Tröpfchenradius von \(r = 5,00 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{m}}\), \({\rho _{{\rm{Öl}}}} = 875,3\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) und \({\rho _{\rm{Luft}}} = 1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) die Beträge von Gewichtskraft \(F_G\), Auftriebskraft \(F_A\) und reduzierter Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}}\).

    Begründe durch eine Rechnung, dass unabhängig von allen anderen Größen für \(\rho _{\rm{Öl}} = 875,3\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) und \({\rho _{\rm{Luft}}} = 1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) die Vernachlässigung des Auftriebs ungefähr \(0,1\%\) Ungenauigkeit bedeutet.

    Elektrische Kraft

    Liegt an den Platten des Kondensators eine Spannung an, so wirkt auf ein geladenes Öltröpfchen zusätzlich die Elektrische Kraft \({F_{\rm{el}}} = q \cdot E\) (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(E\): Elektrische Feldstärke zwischen den Kondensatorplatten). Die Elektrische Feldstärke \(E\) kann man mit Hilfe der Kondensatorformel \(E = \frac{U}{d}\) ersetzen, so dass sich für die Elektrische Kraft ergibt (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(U\): Spannung an den Kondensatorplatten; \(d\): Plattenabstand)
    \[{F_{{\rm{el}}}} = q \cdot \frac{U}{d}\]

    Da die Platten horizontal angeordnet sind, sind die Elektrische Kraft und die Gewichtskraft stets parallel gerichtet. Durch Umpolen der an den Kondensator angeschlossenen Elektrischen Quelle kann die Elektrische Kraft nach oben oder nach unten wirken. Die Abbildung zeigt die Elektrischen Kräfte auf ein negativ geladenes Öltröpfchen.

    Durch vorhergegangene Experimente wusste MILLIKAN, dass die Öltröpfchen im Kondensator Ladungen in der Größenordnung von ca. \(1 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}}\) tragen. Berechne für einen Plattenabstand von \(d = 6,00 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{m}}\) und die oben berechnete reduzierte Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}}\), welche Spannung \(U\) an den Kondensatorplatten anliegen muss, um ein Öltröpfchen gegen die reduzierte Gewichtskraft in der Schwebe zu halten.

    Bewegt sich ein Öltröpfchen in der Versuchsanordnung des MILLIKAN-Versuchs, so wirkt auf das Öltröpfchen zusätzlich die ...

    STOKESsche Reibungskraft

    Bewegt sich das Öltröpfchen durch die Luft im Kondensator, so wirkt schließlich noch die STOKESsche Reibungskraft
    \[{F_{\rm{R}}} = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v\]
    (\(\eta\): Zähigkeit der Luft; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(v\): Geschwindigkeit des Tröpfchens) (Gesetz von STOKES) auf das Öltröpfchen; diese ist eine aus der Strömungslehre für laminare Strömungen bekannte Kraft auf kugelförmige Körper in einem ‚zähen’ Medium mit der Zähigkeit \(\eta\), die stets der Bewegungsrichtung des Körpers entgegen wirkt. Die Kraft wächst zudem mit der Geschwindigkeit und zwar so lange, bis sich der Körper nur noch mit konstanter Geschwindigkeit bewegt (vgl. untenstehende Aufgabe).

    Beim Zerstäuben von Öl erhält man allerdings so kleine Kugeln, dass der Radius der beobachteten Tröpfchen in der gleichen Größenordnung liegt wie die mittlere freie Weglänge der Luftmoleküle und das Gesetz von STOKES nur noch bedingt gilt. Die Tröpfchen bewegen sich nicht wie Kugeln durch eine Front von Luftmasse, sondern manövrieren sich zwischen den Luftmolekülen hindurch und erfahren durch Stöße mit einzelnen Molekülen Bremskräfte. Der mittlere Abstand der Luftmoleküle beträgt etwa \({10^{ - 7}}{\rm{m}}\), was in der Größenordnung des Tröpfchenradius liegt. Erstaunlicherweise lässt sich diese Situation durch die sogenannte CUNNINGHAM-Korrektur, die im Jahr 1910 vom britischen Mathematiker Ebenezer CUNNINGHAM abgeleitet wurde, pauschal erfassen, indem man einen Korrekturfaktor für die Zähigkeit der Luft berechnet. Als Erfahrungswert erhält man für die korrigierte Zähigkeit von Luft für Raumtemperatur und Normaldruck \(\eta ' = \frac{\eta }{{\left( {1 + \frac{{6,25 \cdot {{10}^{ - 8}}{\rm{m}}}}{r}} \right)}}\) (\(r\): Radius des Tröpfchens). Je kleiner also die Tröpfchen sind, desto größer ist die Abweichung vom STOKESschen Gesetz (vgl. untenstehende Aufgabe). Wie man die CUNNINGHAM-Korrektur auf die konkreten Messwerte anwendet wird weiter unten gezeigt.

    Begründe durch eine Rechnung, dass für \({\eta _{{\rm{Luft}}}} = 1,81 \cdot {10^{ - 5}}\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\) und einem Tröpfchenradius von \(r = 5,00 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{m}}\) der Korrekturfaktor in der CUNNINGHAM-Korrektur ca. \(0,89\) beträgt und sich damit \(\eta ' = 1,61 \cdot {10^{ - 5}}\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\) ergibt.

    Beim Fall eines Öltröpfchens allein unter dem Einfluss der Gewichtskraft stellt sich nach kurzer Zeit ein Kräftegleichgewicht zwischen der Gewichtskraft und der STOKESschen Reibungskraft ein. Berechne für \(r = 5,00 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{m}}\), \(\eta ' = 1,61 \cdot {10^{ - 5}}\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\) und die oben berechnete reduzierte Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}}\), welche Geschwindigkeit \(v\) die Öltröpfchen beim Fallen erreichen.

    Bei der hier vorgestellten Schwebe-Fall-Methode wird zuerst ein Öltröpfchen durch Anlegen einer Spannung in der Schwebe gehalten (Schweben im Elektrischen Feld) und dann das gleiche Öltröpfchen ohne angelegte Spannung ‚frei’ fallen gelassen (Fallen ohne Elektrisches Feld).

    Fallen ohne Elektrisches Feld

    An die Kondensatorplatten wird keine Spannung angelegt. Ohne angelegte Spannung fällt das Tröpfchen nach einer kaum beobachtbaren Beschleunigungsphase mit konstanter Geschwindigkeit \(\vec v\) nach unten.

    Auf das Tröpfchen wirkt zuerst nur die (reduzierte) Gewichtskraft \({\vec F_{{\rm{G'}}}}\) nach unten, so dass das Tröpfchen nach unten beschleunigt wird. Durch die größer werdende Geschwindigkeit steigt nun die der Bewegung entgegengerichtete STOKESsche Reibungskraft \({{\vec F}_{{\rm{R}}}}\) so lange an, bis sie betraglich gleich der Gewichtskraft \({\vec F_{{\rm{G'}}}}\) ist. Ab diesem Zeitpunkt wirkt auf das Tröpfchen keine resultierende Kraft mehr und es bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit \(\vec v\) weiter nach unten.

    Es gilt somit folgendes Kräftegleichgewicht:

    Der Betrag der STOKESschen Reibungskraft \(F_{\rm{R}} = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v\) (\(\eta \): Zähigkeit der Luft; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(v\): Geschwindigkeit des Tröpfchens beim Fallen) ist gleich dem Betrag der (reduzierten) Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho '\): reduzierte Dichte; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung)):
    \[\begin{eqnarray} \left| F_{\rm{R}} \right| &=& \left| F_{\rm{G'}} \right| \\ 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v &=& \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g \quad(2)\end{eqnarray}\]

    Schweben im Elektrischem Feld

    An die Kondensatorplatten wird eine Spannung \(U\) angelegt und so eingestellt, dass das Öltröpfchen schwebt. Für ein negativ geladenes Tröpfchen muss die obere Platte positiv und die untere Platte negativ geladen werden.

    Auf das Tröpfchen wirken die (reduzierte) Gewichtskraft \({\vec F_{{\rm{G'}}}}\) nach unten und die betraglich gleich große Elektrische Kraft \({{\vec F}_{{\rm{el}}}}\) nach oben, so dass keine resultierende Kraft mehr wirkt und das Tröpfchen ruht bzw. aufgrund der BROWNschen Bewegung etwas zittert.

    Es gilt somit folgendes Kräftegleichgewicht:

    Der Betrag der Elektrischen Kraft \({F_{{\rm{el}}}} = q \cdot \frac{U}{d}\) (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(U\): Spannung an den Kondensatorplatten; \(d\): Plattenabstand) ist gleich dem Betrag der (reduzierten) Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho '\): reduzierte Dichte; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung)):
    \[\begin{eqnarray} \left| {{F_{\rm{el}}}} \right| &=& \left| {{F_{\rm{G'}}}} \right| \\ q \cdot \frac{U}{d} &=& \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g \quad(1)\end{eqnarray}\]

     

    Kombination beider Bewegungen

    Durch Kombinieren der Gleichungen \((1)\) und \((2)\) (vgl. die untenstehende Aufgabe) erhält man für die gesuchte Ladung \(q\) die Formel
    \[q = \frac{{9 \cdot \sqrt {2 \cdot } \pi \cdot d}}{U}\sqrt {\frac{{{{\eta} ^3} \cdot {v}^3}}{{\rho' \cdot g}}} \quad(3)\]
    Die Größen \(\eta \), \(\rho'=\rho_{\text{Öl}} - \rho_{\text{Luft}}\) und \(g\) können aus Tabellen entnommen werden, die Größe \(d\) findet sich in den technischen Daten der Versuchsapparatur und die Größen \(U\) und \(v\) können gemessen werden, so dass sich nun die gesuchte Ladung \(q\) berechnen lässt.

    Um eine höhere Genauigkeit zu erreichen muss der so berechnete Wert allerdings noch nach der Methode von CUNNINGHAM korrigiert werden. Dazu benutzt man Gleichung \((2.1)\) (vgl. die untenstehende Aufgabe)
    \[r = \sqrt {\frac{{9 \cdot \eta  \cdot v}}{{2 \cdot \rho ' \cdot g}}} \quad (2.1)\]
    zur Berechnung des Tröpfchenradius \(r\) und berechnet mit Hilfe des Terms (ohne Herleitung)
    \[{r_{{\rm{korrigiert}}}} = \sqrt {{r^2} + \frac{{{A^2}}}{4}}  - \frac{A}{2}\;;\;A = 6,25 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{m}}\]
    den nach CUNNINGHAM korrigierten Radius \(r_{{\rm{korrigiert}}}\). Anschließend berechnet man mit diesem Wert und mit Hilfe des Terms (ohne Herleitung)
    \[{q_{{\rm{korrigiert}}}} = \frac{q}{{{{\left( {1 + \frac{A}{{{r_{{\rm{korrigiert}}}}}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}\;;\;A = 6,25 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{m}}\]
    die nach CUNNINGHAM korrigierte Ladung \(q_{{\rm{korrigiert}}}\).

    Herleitung der Formeln \((2.1)\) und \((3)\)

    Löse Gleichung \((1)\) nach \(q\) auf. Die dadurch neu entstehende Gleichung sei Gleichung \((1.1)\).

    Löse Gleichung \((2)\) nach \(r\) auf. Die dadurch neu entstehende Gleichung sei \((2.1)\).

    Ersetze die Größe \(r\) in Gleichung \((1.1)\) durch den gleichwertigen Term für \(r\) aus Gleichung \((2.1)\) und fasse die rechte Seite der neuen Gleichung so weit wie möglich zusammen. Es ergibt sich Gleichung \((3)\).

    Zeige durch eine Einheitenrechnung, dass Gleichung \((3)\) für die Ladung \(q\) die korrekte Einheit ergibt.

    Durchführung

    Sprühe Öltröpfchen in die Versuchsapparatur, konzentriere dich auf ein einzelnes Öltröpfchen, schalte die Kondensatorspannung \(U_{\rm{K}}\) ein und regele diese so, dass das ausgewählte Öltröpfchen exakt auf einem Skalenstrich ruht. Notiere den Wert der eingestellten Spannung \(U_{\rm{K}}\).

    Aktiviere nun die Stoppuhr und schalte die Spannung aus, so dass sich das Öltröpfchen in Bewegung setzt und die Stoppuhr startet. Stoppe die Stoppuhr manuell, wenn das Öltröpfchen eine bestimmt Anzahl (z.B. \(20\)) von Skalenteilen zurückgelegt hat. Notiere die Anzahl \(n\) der Skalenteile und die gemessene Zeit \(t\).

    Führe den Versuch mehrmals mit verschiedenen Öltröpfchen durch und notiere die jeweiligen Messwerte in den Spalten zwei bis vier der folgenden Tabelle.

    \(N\) \(U\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) \(n\) \(t\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(v\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) \(q\;{\rm{in}}\;{\rm{As}}\) \(r\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) \(r_{{\rm{korrigiert}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) \({q_{{\rm{korrigiert}}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{As}}\)
    \(1\) ... ... ... ... ... ... ... ...
    \(2\) ... ... ... ... ... ... ... ...

     
    Kondensatorspannung
    UK
     
    Stoppuhr
    Die Uhr startet nach dem Aktivieren beim Ausschalten der Spannung und muss dann manuell gestoppt werden.
    HTML5-Canvas nicht unterstützt!

    Hinweis: Die Simulation arbeitet mit den Parametern \(d = 6,00 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{m}}\), \(s = 5,33 \cdot {10^{ - 5}}{\rm{m}}\), \({\rho _{{\rm{Öl}}}} = 875,3\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\), \({\rho _{{\rm{Luft}}}} = 1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\), \(\eta  = 1,81 \cdot {10^{ - 5}}\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\), \(g = 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) sowie dem Wert \(A = 6,25 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{m}}\) für die CUNNINGHAM-Korrektur. Ist die Kondensatorspannung \(U_{\rm{K}}\) positiv, so ist die (in der Realität obere, im Mikroskop untere) Platte des Kondensators positiv geladen.

    Auswertung

    Hinweis: Ein Tabellenblatt zur Auswertung des Experimentes mit einer Tabellenkalkulation findest du hier.

    Berechne für alle Einzelmessungen durch \(v = \frac{{n \cdot s}}{t}\) die Geschwindigkeit \(v\) sowie den Wert für die Ladung \(q\). Er sollte in der Größenordnung von \({10^{ - 19}}{\rm{As}}\) liegen. Berechne anschließend den Tröpfchenradius \(r\), den korrigierten Tröpfchenradius \(r_{{\rm{korrigiert}}}\) und schließlich die korrigierte Ladung \(q_{{\rm{korrigiert}}}\).

    Erstelle ein Diagramm, in dem du auf der horizontalen Achse die Versuchsnummer \(N\) und auf der vertikalen Achse jeweils die berechnete korrigierte Ladung \(q_{{\rm{korrigiert}}}\) aufträgst.

    Interpretiere das Diagramm.

    von Stefan Pohl in der Wikipedia auf Deutsch (selbst fotografiert) [Public domain], vom Wikimedia Commons

    Der nach dem amerikanischen Physiker Robert Andrews MILLIKAN benannte MILLIKAN-Versuch ist nicht nur von großer historischer Bedeutung für die Physik (vgl. Geschichte der Bestimmung der Elementarladung), sondern auch einer der zentralen Versuche des Physikunterrichts in der Oberstufe.

    Obwohl der prinzipielle Versuchsaufbau relativ einfach ist, sind sowohl die Versuchsdurchführung als auch die theoretischen Überlegungen, die für die Auswertung benötigt werden, teilweise recht komplex. Aus diesem Grund stellen wir auf LEIFIphysik insgesamt vier alternative Methoden der Durchführung einschließlich der jeweiligen Theorie vor und bieten zu jeder dieser Methoden eine angepasste Simulation sowie ein spezielles Tabellenblatt für eine Tabellenkalkulation an. Mit Hilfe der Simulation können dann selbstständig "Messwerte" aufgenommen und diese dann mit dem entsprechenden Tabellenblatt ausgewertet werden.

    Versuchsaufbau

    Der prinzipielle Aufbau des MILLIKAN-Versuchs ist recht einfach; er besteht aus einem horizontal liegenden Plattenkondensator mit dem Plattenabstand \(d\), an den eine Elektrische Quelle angeschlossen werden kann. Diese Elektrische Quelle kann sowohl ein- und ausgeschaltet als auch umgepolt werden, die angelegte Spannung \(U\) ist regelbar und wird mit einem Voltmeter gemessen. Der Raum zwischen den Platten kann mit einer Lampe beleuchtet und mit einem Mikroskop beobachtet werden; darin eingeblendet ist eine Skala, in der die einzelnen Skalenstriche den Abstand \(s\) haben. In das Innere des Plattenkondensators können mit einem Zerstäuber kleine Öltröpfchen gesprüht werden, die sich durch die Reibung aufladen und deren Bewegung mit Hilfe des Mikroskops beobachtet werden kann. Schließlich benötigt man eine oder zwei Stoppuhren zur Zeitmessung.

    Hinweis: Durch die Beobachtung des Raums zwischen den Platten durch das Mikroskop werden oben und unten vertauscht; bewegt sich also ein Öltröpfchen in der Realität z.B. zwischen den Platten nach unten zur Erde hin, so beobachtet man im Mikroskop eine Bewegung des Öltröpfchens nach oben.

    Theorie der Steige-Fall-Methode

    Steigt oder fällt ein elektrisch geladenes Öltröpfchen in der Versuchsanordnung des MILLIKAN-Versuchs, so wirken auf das Öltröpfchen die ...

    Gewichts- und Auftriebskraft

    Da sich die Versuchsanordnung im Gravitationsfeld der Erde befindet, wirkt auf das Öltröpfchen stets die Gewichtskraft \(F_{\rm{G}} = m \cdot g\) (\(m\): Masse des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) nach unten. Die Masse \(m\) des kugelförmigen Öltröpfchens kann man mit Hilfe der bekanten Formeln \(m = \rho  \cdot V\) und \(V_{\rm{Kugel}} = \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3}\) durch \(m = \rho _{\rm{Öl}}  \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3}\) ausdrücken, so dass sich für die Gewichtskraft \(F_{\rm{G}} = \rho _{\rm{Öl}}  \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Öl}}\): Dichte von Öl; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) ergibt.

    Da sich weiter zwischen den Kondensatorplatten Luft befindet, wirkt auf das Öltröpfchen zusätzlich stets die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}} = \rho _{\rm{Luft}} \cdot V \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Luft}}\): Dichte von Luft; \(V\): Volumen des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) nach oben. Auch hier kann man das Volumen des Öltröpfchens mit Hilfe seines Radius ausdrücken, so dass sich für die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}} = \rho _{\rm{Luft}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Luft}}\): Dichte von Luft; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) ergibt.

    Obwohl die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}}\) gegenüber der Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}\) sehr klein ist und eigentlich vernachlässigt werden kann (vgl. untenstehende Aufgabe), wird häufig mit einer um die Auftriebskraft reduzierten Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = F_{\rm{G}} - F_{\rm{A}}\) gerechnet; man erhält dann (\(\rho ' = \rho _{\rm{Öl}} -\rho _{\rm{Luft}}\): reduzierte Dichte; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung)
    \[F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g\]

    Berechne für einen Tröpfchenradius von \(r = 5,00 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{m}}\), \({\rho _{{\rm{Öl}}}} = 875,3\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) und \({\rho _{\rm{Luft}}} = 1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) die Beträge von Gewichtskraft \(F_G\), Auftriebskraft \(F_A\) und reduzierter Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}}\).

    Begründe durch eine Rechnung, dass unabhängig von allen anderen Größen für \(\rho _{\rm{Öl}} = 875,3\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) und \({\rho _{\rm{Luft}}} = 1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) die Vernachlässigung des Auftriebs ungefähr \(0,1\%\) Ungenauigkeit bedeutet.

    Elektrische Kraft

    Liegt an den Platten des Kondensators eine Spannung an, so wirkt auf ein geladenes Öltröpfchen zusätzlich die Elektrische Kraft \({F_{\rm{el}}} = q \cdot E\) (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(E\): Elektrische Feldstärke zwischen den Kondensatorplatten). Die Elektrische Feldstärke \(E\) kann man mit Hilfe der Kondensatorformel \(E = \frac{U}{d}\) ersetzen, so dass sich für die Elektrische Kraft ergibt (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(U\): Spannung an den Kondensatorplatten; \(d\): Plattenabstand)
    \[{F_{{\rm{el}}}} = q \cdot \frac{U}{d}\]

    Da die Platten horizontal angeordnet sind, sind die Elektrische Kraft und die Gewichtskraft stets parallel gerichtet. Durch Umpolen der an den Kondensator angeschlossenen Elektrischen Quelle kann die Elektrische Kraft nach oben oder nach unten wirken. Die Abbildung zeigt die Elektrischen Kräfte auf ein negativ geladenes Öltröpfchen.

    Durch vorhergegangene Experimente wusste MILLIKAN, dass die Öltröpfchen im Kondensator Ladungen in der Größenordnung von ca. \(1 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}}\) tragen. Berechne für einen Plattenabstand von \(d = 6,00 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{m}}\) und die oben berechnete reduzierte Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}}\), welche Spannung \(U\) an den Kondensatorplatten anliegen muss, um ein Öltröpfchen gegen die reduzierte Gewichtskraft in der Schwebe zu halten.

    STOKESsche Reibungskraft

    Bewegt sich das Öltröpfchen durch die Luft im Kondensator, so wirkt schließlich noch die STOKESsche Reibungskraft
    \[{F_{\rm{R}}} = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v\]
    (\(\eta\): Zähigkeit der Luft; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(v\): Geschwindigkeit des Tröpfchens) (Gesetz von STOKES) auf das Öltröpfchen; diese ist eine aus der Strömungslehre für laminare Strömungen bekannte Kraft auf kugelförmige Körper in einem ‚zähen’ Medium mit der Zähigkeit \(\eta\), die stets der Bewegungsrichtung des Körpers entgegen wirkt. Die Kraft wächst zudem mit der Geschwindigkeit und zwar so lange, bis sich der Körper nur noch mit konstanter Geschwindigkeit bewegt (vgl. untenstehende Aufgabe).

    Beim Zerstäuben von Öl erhält man allerdings so kleine Kugeln, dass der Radius der beobachteten Tröpfchen in der gleichen Größenordnung liegt wie die mittlere freie Weglänge der Luftmoleküle und das Gesetz von STOKES nur noch bedingt gilt. Die Tröpfchen bewegen sich nicht wie Kugeln durch eine Front von Luftmasse, sondern manövrieren sich zwischen den Luftmolekülen hindurch und erfahren durch Stöße mit einzelnen Molekülen Bremskräfte. Der mittlere Abstand der Luftmoleküle beträgt etwa \({10^{ - 7}}{\rm{m}}\), was in der Größenordnung des Tröpfchenradius liegt. Erstaunlicherweise lässt sich diese Situation durch die sogenannte CUNNINGHAM-Korrektur, die im Jahr 1910 vom britischen Mathematiker Ebenezer CUNNINGHAM abgeleitet wurde, pauschal erfassen, indem man einen Korrekturfaktor für die Zähigkeit der Luft berechnet. Als Erfahrungswert erhält man für die korrigierte Zähigkeit von Luft für Raumtemperatur und Normaldruck \(\eta ' = \frac{\eta }{{\left( {1 + \frac{{6,25 \cdot {{10}^{ - 8}}{\rm{m}}}}{r}} \right)}}\) (\(r\): Radius des Tröpfchens). Je kleiner also die Tröpfchen sind, desto größer ist die Abweichung vom STOKESschen Gesetz (vgl. untenstehende Aufgabe). Wie man die CUNNINGHAM-Korrektur auf die konkreten Messwerte anwendet wird weiter unten gezeigt.

    Begründe durch eine Rechnung, dass für \({\eta _{{\rm{Luft}}}} = 1,81 \cdot {10^{ - 5}}\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\) und einem Tröpfchenradius von \(r = 5,00 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{m}}\) der Korrekturfaktor in der CUNNINGHAM-Korrektur ca. \(0,89\) beträgt und sich damit \(\eta ' = 1,61 \cdot {10^{ - 5}}\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\) ergibt.

    Beim Fall eines Öltröpfchens allein unter dem Einfluss der Gewichtskraft stellt sich nach kurzer Zeit ein Kräftegleichgewicht zwischen der Gewichtskraft und der STOKESschen Reibungskraft ein. Berechne für \(r = 5,00 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{m}}\), \(\eta ' = 1,61 \cdot {10^{ - 5}}\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\) und die oben berechnete reduzierte Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}}\), welche Geschwindigkeit \(v\) die Öltröpfchen beim Fallen erreichen.

    Bei der Steige-Fall-Methode wird zuerst ein Öltröpfchen durch Anlegen einer Spannung nach oben bewegt (Steigen im Elektrischen Feld) und dann das gleiche Öltröpfchen ohne angelegte Spannung ‚frei’ fallen gelassen (Fallen ohne Elektrisches Feld).

    Fallen ohne Elektrisches Feld

    An die Kondensatorplatten wird keine Spannung angelegt. Ohne angelegte Spannung fällt das Tröpfchen nach einer kaum beobachtbaren Beschleunigungsphase mit konstanter Geschwindigkeit \(\vec v_2\) nach unten.

    Auf das Tröpfchen wirkt zuerst nur die (reduzierte) Gewichtskraft \({\vec F_{{\rm{G'}}}}\) nach unten, so dass das Tröpfchen nach unten beschleunigt wird. Durch die größer werdende Geschwindigkeit steigt nun die der Bewegung entgegengerichtete STOKESsche Reibungskraft \({{\vec F}_{{\rm{R2}}}}\) so lange an, bis sie betraglich gleich der Gewichtskraft \({\vec F_{{\rm{G'}}}}\) ist. Ab diesem Zeitpunkt wirkt auf das Tröpfchen keine resultierende Kraft mehr und es bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit \(\vec v_2\) weiter nach unten.

    Es gilt somit folgendes Kräftegleichgewicht:

    Der Betrag der (reduzierten) Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho '\): reduzierte Dichte; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung)) ist gleich dem Betrag der STOKESschen Reibungskraft \(F_{\rm{R}} = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v_2\) (\(\eta \): Zähigkeit der Luft; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(v\): Geschwindigkeit des Tröpfchens beim Fallen):
    \[\begin{eqnarray} \left| F_{\rm{G'}} \right| &=& \left| F_{\rm{R}} \right| \\ \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g &=& 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v_2 \quad(2)\end{eqnarray}\]

    Steigen im Elektrischem Feld

    An die Kondensatorplatten wird eine Spannung \(U\) angelegt und so lange vergrößert, bis das Tröpfchen nach oben steigt. (Für ein negativ geladenes Tröpfchen muss die obere Platte positiv und die untere Platte negativ geladen werden). Nach einer kaum beobachtbaren Beschleunigungsphase steigt das Tröpfchen mit konstanter Geschwindigkeit \({{\vec v}_1}\) nach oben.

    Auf das Tröpfchen wirken zuerst nur die (reduzierte) Gewichtskraft \({\vec F_{{\rm{G'}}}}\) nach unten und die betraglich größere Elektrische Kraft \({{\vec F}_{{\rm{el}}}}\) nach oben, so dass die nach oben gerichtete Kraft \(\vec F = {{\vec F}_{{\rm{el}}}} - {{\vec F}_{{\rm{G'}}}}\) (nicht eingezeichnet) das Tröpfchen nach oben beschleunigt. Durch die größer werdende Geschwindigkeit steigt nun die der Bewegung entgegengerichtete STOKESsche Reibungskraft \({{\vec F}_{{\rm{R1}}}}\) so lange an, bis sie betraglich gleich der oben angesprochenen Kraft \({\vec F}\) ist. Ab diesem Zeitpunkt wirkt auf das Tröpfchen keine resultierende Kraft mehr und es bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit \({{\vec v}_1}\) weiter nach oben.

    Es gilt somit folgendes Kräftegleichgewicht:

    Die Summe aus (reduzierter) Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho '\): reduzierte Dichte; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung)) und STOKESscher Reibungskraft \(F_{\rm{R1}} = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot {v_1}\) (\(\eta \): Zähigkeit der Luft; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(v_1\): Geschwindigkeit des Tröpfchens beim Steigen) ist betragsgleich der Elektrischen Kraft \(F_{\rm{el}} = q \cdot \frac{U}{d}\) (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(U\): Spannung an den Kondensatorplatten; \(d\): Plattenabstand):
    \[\begin{eqnarray} \left| F_{\rm{R1}} + F_{\rm{G'}} \right| &=& \left| F_{\rm{el}} \right| \\ 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot {v_1} +  \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g &=& q \cdot \frac{U}{d} \quad(1)\end{eqnarray}\]

     

    Kombination beider Bewegungen

    Durch Kombinieren der Gleichungen \((1)\) und \((2)\) (vgl. die untenstehende Aufgabe) erhält man für die gesuchte Ladung \(q\) die Formel
    \[q =\frac{{9 \cdot \sqrt {2 \cdot } \pi  \cdot \left( {{v_1} + {v_2}} \right) \cdot d}}{U}\sqrt {\frac{{{\eta ^3} \cdot {v_2}}}{{\rho ' \cdot g}}}\quad(4)\]
    Die Größen \(\eta \), \(\rho'=\rho_{\text{Öl}} - \rho_{\text{Luft}}\) und \(g\) können aus Tabellen entnommen werden, die Größe \(d\) findet sich in den technischen Daten der Versuchsapparatur und die Größen \(U\), \(v_1\) und \(v_2\) können gemessen werden, so dass sich nun die gesuchte Ladung \(q\) berechnen lässt.

    Um eine höhere Genauigkeit zu erreichen muss der so berechnete Wert allerdings noch nach der Methode von CUNNINGHAM korrigiert werden. Dazu benutzt man Gleichung \((2.2)\) (vgl. die untenstehende Aufgabe)
    \[r = \sqrt {\frac{{9 \cdot \eta  \cdot {v_2}}}{{2 \cdot \rho ' \cdot g}}} \quad(2.2)\]
    zur Berechnung des Tröpfchenradius \(r\) und berechnet mit Hilfe des Terms (ohne Herleitung)
    \[{r_{{\rm{korrigiert}}}} = \sqrt {{r^2} + \frac{{{A^2}}}{4}}  - \frac{A}{2}\;;\;A = 6,25 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{m}}\]
    den nach CUNNINGHAM korrigierten Radius \(r_{{\rm{korrigiert}}}\). Anschließend berechnet man mit diesem Wert und mit Hilfe des Terms (ohne Herleitung)
    \[{q_{{\rm{korrigiert}}}} = \frac{q}{{{{\left( {1 + \frac{A}{{{r_{{\rm{korrigiert}}}}}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}\;;\;A = 6,25 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{m}}\]
    die nach CUNNINGHAM korrigierte Ladung \(q_{{\rm{korrigiert}}}\).

    Herleitung der Formeln \((2.1)\) und \((3)\)

    Bringe in Gleichung \((2)\) alle Größen auf die linke Seite. Die dadurch neu entstehende Gleichung sei \((2.1)\).

    Subtrahiere von Gleichung \((1)\) Gleichung \((2.1)\), fasse die linke Seite der sich ergebenden Gleichung so weit wie möglich zusammen und löse die Gleichung nach der Ladung \(q\) auf. Die dadurch neu entstehende Gleichung sei Gleichung \((3)\).

    Löse Gleichung \((2)\) nach \(r\) auf. Die dadurch neu entstehende Gleichung sei \((2.2)\).

    Ersetze die Größe \(r\) in Gleichung \((3)\) durch den gleichwertigen Term für \(r\) aus Gleichung \((2.2)\) und fasse die rechte Seite der neuen Gleichung so weit wie möglich zusammen. Es ergibt sich Gleichung \((4)\).

    Zeige durch eine Einheitenrechnung, dass Gleichung \((4)\) für die Ladung \(q\) die korrekte Einheit ergibt.

     

    Durchführung

    Sprühe Öltröpfchen in die Versuchsapparatur, konzentriere dich auf ein einzelnes Öltröpfchen und warte, bis dieses fast ganz nach unten gefallen ist (sich also im Mikroskop am oberen Rand befindet). Schalte die Kondensatorspannung \(U_{\rm{K}}\) ein und regele diese so weit hoch, dass das ausgewählte Öltröpfchen langsam steigt (sich also im Mikroskop nach unten bewegt).

    Starte nun die Stoppuhr manuell genau dann, wenn sich das Öltröpfchen auf einem Skalenstrich befindet. Schalte die Spannung \(U_{\rm{K}}\) aus, wenn das Öltröpfchen eine bestimmt Anzahl (z.B. \(20\)) von Skalenteilen zurückgelegt hat. Stoppe schließlich die Stoppuhr manuell, wenn sich das Öltröpfchen wieder an dem Skalenstrich befindet, an dem du die erste Stoppuhr gestartet hast.

    Notiere den Wert der eingestellten Spannung \(U_{\rm{K}}\), die Anzahl \(n\) der Skalenteile und die gemessenen Zeiten \(t_1\) und \(t_2\).

    Führe den Versuch mehrmals mit verschiedenen Öltröpfchen durch und notiere die jeweiligen Messwerte in den Spalten zwei bis fünf der folgenden Tabelle.

    \(N\) \(U\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) \(n\) \(t_1\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(t_2\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(v_1\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) \(v_2\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) \(q\;{\rm{in}}\;{\rm{As}}\) \(r\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) \(r_{{\rm{korr}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) \({q_{{\rm{korr}}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{As}}\)
    \(1\) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
    \(2\) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

    Kondensatorspannung
    UK
    Stoppuhren
    Uhr 1 muss manuell gestartet werden.
    Uhr 1 stoppt bzw. Uhr 2 startet beim Ausschalten der Spannung.
    Uhr 2 muss manuell gestoppt werden.
    HTML5-Canvas nicht unterstützt!

    Hinweis: Die Simulation arbeitet mit den Parametern \(d = 6,00 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{m}}\), \(s = 5,33 \cdot {10^{ - 5}}{\rm{m}}\), \({\rho _{{\rm{Öl}}}} = 875,3\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\), \({\rho _{{\rm{Luft}}}} = 1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\), \(\eta  = 1,81 \cdot {10^{ - 5}}\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\), \(g = 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) sowie dem Wert \(A = 6,25 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{m}}\) für die CUNNINGHAM-Korrektur. Ist die Kondensatorspannung \(U_{\rm{K}}\) positiv, so ist die (in der Realität obere, im Mikroskop untere) Platte des Kondensators positiv geladen.

    Auswertung

    Hinweis: Ein Tabellenblatt zur Auswertung des Experimentes mit einer Tabellenkalkulation findest du hier.

    Berechne für alle Einzelmessungen durch \(v = \frac{{n \cdot s}}{t}\) die Geschwindigkeiten \(v_1\) und \(v_2\) sowie damit den Wert für die Ladung \(q\). Er sollte in der Größenordnung von \({10^{ - 19}}{\rm{As}}\) liegen. Berechne anschließend den Tröpfchenradius \(r\), den korrigierten Tröpfchenradius \(r_{{\rm{korrigiert}}}\) und schließlich die korrigierte Ladung \(q_{{\rm{korrigiert}}}\).

    Erstelle ein Diagramm, in dem du auf der horizontalen Achse die Versuchsnummer \(N\) und auf der vertikalen Achse jeweils die berechnete korrigierte Ladung \(q_{{\rm{korrigiert}}}\) aufträgst.

    Interpretiere das Diagramm.

    von Stefan Pohl in der Wikipedia auf Deutsch (selbst fotografiert) [Public domain], vom Wikimedia Commons

    Der nach dem amerikanischen Physiker Robert Andrews MILLIKAN benannte MILLIKAN-Versuch ist nicht nur von großer historischer Bedeutung für die Physik (vgl. Geschichte der Bestimmung der Elementarladung), sondern auch einer der zentralen Versuche des Physikunterrichts in der Oberstufe.

    Obwohl der prinzipielle Versuchsaufbau relativ einfach ist, sind sowohl die Versuchsdurchführung als auch die theoretischen Überlegungen, die für die Auswertung benötigt werden, teilweise recht komplex. Aus diesem Grund stellen wir auf LEIFIphysik insgesamt vier alternative Methoden der Durchführung einschließlich der jeweiligen Theorie vor und bieten zu jeder dieser Methoden eine angepasste Simulation sowie ein spezielles Tabellenblatt für eine Tabellenkalkulation an. Mit Hilfe der Simulation können dann selbstständig "Messwerte" aufgenommen und diese dann mit dem entsprechenden Tabellenblatt ausgewertet werden.

    Versuchsaufbau

    Der prinzipielle Aufbau des MILLIKAN-Versuchs ist recht einfach; er besteht aus einem horizontal liegenden Plattenkondensator mit dem Plattenabstand \(d\), an den eine Elektrische Quelle angeschlossen werden kann. Diese Elektrische Quelle kann sowohl ein- und ausgeschaltet als auch umgepolt werden, die angelegte Spannung \(U\) ist regelbar und wird mit einem Voltmeter gemessen. Der Raum zwischen den Platten kann mit einer Lampe beleuchtet und mit einem Mikroskop beobachtet werden; darin eingeblendet ist eine Skala, in der die einzelnen Skalenstriche den Abstand \(s\) haben. In das Innere des Plattenkondensators können mit einem Zerstäuber kleine Öltröpfchen gesprüht werden, die sich durch die Reibung aufladen und deren Bewegung mit Hilfe des Mikroskops beobachtet werden kann. Schließlich benötigt man eine oder zwei Stoppuhren zur Zeitmessung.

    Hinweis: Durch die Beobachtung des Raums zwischen den Platten durch das Mikroskop werden oben und unten vertauscht; bewegt sich also ein Öltröpfchen in der Realität z.B. zwischen den Platten nach unten zur Erde hin, so beobachtet man im Mikroskop eine Bewegung des Öltröpfchens nach oben.

    Theorie der Steige-Sink-Methode

    Steigt oder sinkt ein elektrisch geladenes Öltröpfchen in der Versuchsanordnung des MILLIKAN-Versuchs, so wirken auf das Öltröpfchen die ...

    Gewichts- und Auftriebskraft

    Da sich die Versuchsanordnung im Gravitationsfeld der Erde befindet, wirkt auf das Öltröpfchen stets die Gewichtskraft \(F_{\rm{G}} = m \cdot g\) (\(m\): Masse des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) nach unten. Die Masse \(m\) des kugelförmigen Öltröpfchens kann man mit Hilfe der bekanten Formeln \(m = \rho  \cdot V\) und \(V_{\rm{Kugel}} = \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3}\) durch \(m = \rho _{\rm{Öl}}  \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3}\) ausdrücken, so dass sich für die Gewichtskraft \(F_{\rm{G}} = \rho _{\rm{Öl}}  \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Öl}}\): Dichte von Öl; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) ergibt.

    Da sich weiter zwischen den Kondensatorplatten Luft befindet, wirkt auf das Öltröpfchen zusätzlich stets die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}} = \rho _{\rm{Luft}} \cdot V \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Luft}}\): Dichte von Luft; \(V\): Volumen des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) nach oben. Auch hier kann man das Volumen des Öltröpfchens mit Hilfe seines Radius ausdrücken, so dass sich für die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}} = \rho _{\rm{Luft}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Luft}}\): Dichte von Luft; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) ergibt.

    Obwohl die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}}\) gegenüber der Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}\) sehr klein ist und eigentlich vernachlässigt werden kann (vgl. untenstehende Aufgabe), wird häufig mit einer um die Auftriebskraft reduzierten Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = F_{\rm{G}} - F_{\rm{A}}\) gerechnet; man erhält dann (\(\rho ' = \rho _{\rm{Öl}} -\rho _{\rm{Luft}}\): reduzierte Dichte; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung)
    \[F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g\]

    Berechne für einen Tröpfchenradius von \(r = 5,00 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{m}}\), \({\rho _{{\rm{Öl}}}} = 875,3\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) und \({\rho _{\rm{Luft}}} = 1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) die Beträge von Gewichtskraft \(F_G\), Auftriebskraft \(F_A\) und reduzierter Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}}\).

    Begründe durch eine Rechnung, dass unabhängig von allen anderen Größen für \(\rho _{\rm{Öl}} = 875,3\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) und \({\rho _{\rm{Luft}}} = 1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) die Vernachlässigung des Auftriebs ungefähr \(0,1\%\) Ungenauigkeit bedeutet.

    Elektrische Kraft

    Liegt an den Platten des Kondensators eine Spannung an, so wirkt auf ein geladenes Öltröpfchen zusätzlich die Elektrische Kraft \({F_{\rm{el}}} = q \cdot E\) (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(E\): Elektrische Feldstärke zwischen den Kondensatorplatten). Die Elektrische Feldstärke \(E\) kann man mit Hilfe der Kondensatorformel \(E = \frac{U}{d}\) ersetzen, so dass sich für die Elektrische Kraft ergibt (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(U\): Spannung an den Kondensatorplatten; \(d\): Plattenabstand)
    \[{F_{{\rm{el}}}} = q \cdot \frac{U}{d}\]

    Da die Platten horizontal angeordnet sind, sind die Elektrische Kraft und die Gewichtskraft stets parallel gerichtet. Durch Umpolen der an den Kondensator angeschlossenen Elektrischen Quelle kann die Elektrische Kraft nach oben oder nach unten wirken. Die Abbildung zeigt die Elektrischen Kräfte auf ein negativ geladenes Öltröpfchen.

    Durch vorhergegangene Experimente wusste MILLIKAN, dass die Öltröpfchen im Kondensator Ladungen in der Größenordnung von ca. \(1 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}}\) tragen. Berechne für einen Plattenabstand von \(d = 6,00 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{m}}\) und die oben berechnete reduzierte Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}}\), welche Spannung \(U\) an den Kondensatorplatten anliegen muss, um ein Öltröpfchen gegen die reduzierte Gewichtskraft in der Schwebe zu halten.

    STOKESsche Reibungskraft

    Bewegt sich das Öltröpfchen durch die Luft im Kondensator, so wirkt schließlich noch die STOKESsche Reibungskraft
    \[{F_{\rm{R}}} = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v\]
    (\(\eta\): Zähigkeit der Luft; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(v\): Geschwindigkeit des Tröpfchens) (Gesetz von STOKES) auf das Öltröpfchen; diese ist eine aus der Strömungslehre für laminare Strömungen bekannte Kraft auf kugelförmige Körper in einem ‚zähen’ Medium mit der Zähigkeit \(\eta\), die stets der Bewegungsrichtung des Körpers entgegen wirkt. Die Kraft wächst zudem mit der Geschwindigkeit und zwar so lange, bis sich der Körper nur noch mit konstanter Geschwindigkeit bewegt (vgl. untenstehende Aufgabe).

    Beim Zerstäuben von Öl erhält man allerdings so kleine Kugeln, dass der Radius der beobachteten Tröpfchen in der gleichen Größenordnung liegt wie die mittlere freie Weglänge der Luftmoleküle und das Gesetz von STOKES nur noch bedingt gilt. Die Tröpfchen bewegen sich nicht wie Kugeln durch eine Front von Luftmasse, sondern manövrieren sich zwischen den Luftmolekülen hindurch und erfahren durch Stöße mit einzelnen Molekülen Bremskräfte. Der mittlere Abstand der Luftmoleküle beträgt etwa \({10^{ - 7}}{\rm{m}}\), was in der Größenordnung des Tröpfchenradius liegt. Erstaunlicherweise lässt sich diese Situation durch die sogenannte CUNNINGHAM-Korrektur, die im Jahr 1910 vom britischen Mathematiker Ebenezer CUNNINGHAM abgeleitet wurde, pauschal erfassen, indem man einen Korrekturfaktor für die Zähigkeit der Luft berechnet. Als Erfahrungswert erhält man für die korrigierte Zähigkeit von Luft für Raumtemperatur und Normaldruck \(\eta ' = \frac{\eta }{{\left( {1 + \frac{{6,25 \cdot {{10}^{ - 8}}{\rm{m}}}}{r}} \right)}}\) (\(r\): Radius des Tröpfchens). Je kleiner also die Tröpfchen sind, desto größer ist die Abweichung vom STOKESschen Gesetz (vgl. untenstehende Aufgabe). Wie man die CUNNINGHAM-Korrektur auf die konkreten Messwerte anwendet wird weiter unten gezeigt.

    Begründe durch eine Rechnung, dass für \({\eta _{{\rm{Luft}}}} = 1,81 \cdot {10^{ - 5}}\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\) und einem Tröpfchenradius von \(r = 5,00 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{m}}\) der Korrekturfaktor in der CUNNINGHAM-Korrektur ca. \(0,89\) beträgt und sich damit \(\eta ' = 1,61 \cdot {10^{ - 5}}\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\) ergibt.

    Beim Fall eines Öltröpfchens allein unter dem Einfluss der Gewichtskraft stellt sich nach kurzer Zeit ein Kräftegleichgewicht zwischen der Gewichtskraft und der STOKESschen Reibungskraft ein. Berechne für \(r = 5,00 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{m}}\), \(\eta ' = 1,61 \cdot {10^{ - 5}}\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\) und die oben berechnete reduzierte Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}}\), welche Geschwindigkeit \(v\) die Öltröpfchen beim Fallen erreichen.

    Bei der Steige-Sink-Methode wird zuerst ein Öltröpfchen durch Anlegen einer Spannung nach oben bewegt (Steigen im Elektrischen Feld) und dann das gleiche Öltröpfchen mit der gleich großen, aber umgekehrt gepolten Spannung nach unten bewegt (Sinken im Elektrischen Feld).

    Sinken im Elektrischen Feld

    Die Spannung \(U\) wird nun umgepolt, so dass das Tröpfchen jetzt nach unten sinkt. (Für ein negativ geladenes Tröpfchen ist jetzt die obere Platte negativ und die untere Platte positiv geladen). Nach einer kaum beobachtbaren Beschleunigungsphase sinkt das Tröpfchen mit konstanter Geschwindigkeit \({{\vec v}_2}\) nach unten.

    Auf das Tröpfen wirken zuerst nur die (reduzierte) Gewichtskraft \({\vec F_{{\rm{G'}}}}\) und die Elektrische Kraft \({{\vec F}_{{\rm{el}}}}\) nach unten, so dass die nach unten gerichtete Kraft \(\vec F = {{\vec F}_{{\rm{el}}}} + {{\vec F}_{{\rm{G'}}}}\) (nicht eingezeichnet) das Tröpfchen nach unten beschleunigt. Durch die größer werdende Geschwindigkeit steigt nun die der Bewegung entgegengerichtete STOKESsche Reibungskraft \({{\vec F}_{{\rm{R2}}}}\) so lange an, bis sie betraglich gleich der oben angesprochenen Kraft \({\vec F}\) ist. Ab diesem Zeitpunkt wirkt auf das Tröpfchen keine resultierende Kraft mehr und es bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit \({{\vec v}_2}\) weiter nach unten.

    Es gilt somit folgendes Kräftegleichgewicht:

    Die Summe aus (reduzierter) Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho '\): reduzierte Dichte; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung)) und Elektrischer Kraft \({F_{{\rm{el}}}} = q \cdot \frac{U}{d}\) (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(U\): Spannung an den Kondensatorplatten; \(d\): Plattenabstand) ist betragsgleich der STOKESschen Reibungskraft \({F_{\rm{R2}}} = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot {v_2}\) (\(\eta \): Zähigkeit der Luft; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(v_2\): Geschwindigkeit des Tröpfchens beim Sinken):
    \[\begin{eqnarray}\left|  F_{\rm{G'}} + F_{\rm{el}} \right| &=& \left| F_{\rm{R2}} \right| \\ \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g + q \cdot \frac{U}{d} &=& 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot {v_2} \quad(2)\end{eqnarray}\]

    Steigen im Elektrischem Feld

    An die Kondensatorplatten wird eine Spannung \(U\) angelegt und so lange vergrößert, bis das Tröpfchen nach oben steigt. (Für ein negativ geladenes Tröpfchen muss die obere Platte positiv und die untere Platte negativ geladen werden). Nach einer kaum beobachtbaren Beschleunigungsphase steigt das Tröpfchen mit konstanter Geschwindigkeit \({{\vec v}_1}\) nach oben.

    Auf das Tröpfchen wirken zuerst nur die (reduzierte) Gewichtskraft \({\vec F_{{\rm{G'}}}}\) nach unten und die betraglich größere Elektrische Kraft \({{\vec F}_{{\rm{el}}}}\) nach oben, so dass die nach oben gerichtete Kraft \(\vec F = {{\vec F}_{{\rm{el}}}} - {{\vec F}_{{\rm{G'}}}}\) (nicht eingezeichnet) das Tröpfchen nach oben beschleunigt. Durch die größer werdende Geschwindigkeit steigt nun die der Bewegung entgegengerichtete STOKESsche Reibungskraft \({{\vec F}_{{\rm{R1}}}}\) so lange an, bis sie betraglich gleich der oben angesprochenen Kraft \({\vec F}\) ist. Ab diesem Zeitpunkt wirkt auf das Tröpfchen keine resultierende Kraft mehr und es bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit \({{\vec v}_1}\) weiter nach oben.

    Es gilt somit folgendes Kräftegleichgewicht:

    Die Summe aus (reduzierter) Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho '\): reduzierte Dichte; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung)) und STOKESscher Reibungskraft \(F_{\rm{R1}} = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot {v_1}\) (\(\eta \): Zähigkeit der Luft; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(v_1\): Geschwindigkeit des Tröpfchens beim Steigen) ist betragsgleich der Elektrischen Kraft \(F_{\rm{el}} = q \cdot \frac{U}{d}\) (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(U\): Spannung an den Kondensatorplatten; \(d\): Plattenabstand):
    \[\begin{eqnarray} \left| F_{\rm{G'}} + F_{\rm{R1}} \right| &=& \left| F_{\rm{el}} \right| \\ \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g + 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot {v_1}  &=& q \cdot \frac{U}{d} \quad(1)\end{eqnarray}\]

     

    Kombination beider Bewegungen

    Durch Kombinieren der Gleichungen \((1)\) und \((2)\) (vgl. die untenstehende Aufgabe) erhält man für die gesuchte Ladung \(q\) die Formel
    \[q =  \frac{{9 \cdot \pi  \cdot d}}{{2 \cdot U}} \cdot \sqrt {\frac{{{\eta ^3}}}{{\rho ' \cdot g}}}  \cdot \sqrt {{v_2} - {v_1}}  \cdot \left( {{v_1} + {v_2}} \right) \quad (5)\]
    Die Größen \(\eta \), \(\rho'=\rho_{\text{Öl}} - \rho_{\text{Luft}}\) und \(g\) können aus Tabellen entnommen werden, die Größe \(d\) findet sich in den technischen Daten der Versuchsapparatur und die Größen \(U\), \(v_1\) und \(v_2\) können gemessen werden, so dass sich nun die gesuchte Ladung \(q\) berechnen lässt.

    Um eine höhere Genauigkeit zu erreichen muss der so berechnete Wert allerdings noch nach der Methode von CUNNINGHAM korrigiert werden. Dazu benutzt man Gleichung \((4)\) (vgl. die untenstehende Aufgabe)
    \[r = \frac{3}{2} \cdot \sqrt {\frac{{\eta  \cdot \left( {{v_2} - {v_1}} \right)}}{{\rho ' \cdot g}}} \quad(4)\]
    zur Berechnung des Tröpfchenradius \(r\) und berechnet mit Hilfe des Terms (ohne Herleitung)
    \[{r_{{\rm{korrigiert}}}} = \sqrt {{r^2} + \frac{{{A^2}}}{4}}  - \frac{A}{2}\;;\;A = 6,25 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{m}}\]
    den nach CUNNINGHAM korrigierten Radius \(r_{{\rm{korrigiert}}}\). Anschließend berechnet man mit diesem Wert und mit Hilfe des Terms (ohne Herleitung)
    \[{q_{{\rm{korrigiert}}}} = \frac{q}{{{{\left( {1 + \frac{A}{{{r_{{\rm{korrigiert}}}}}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}\;;\;A = 6,25 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{m}}\]
    die nach CUNNINGHAM korrigierte Ladung \(q_{{\rm{korrigiert}}}\).

    Herleitung der Formeln \((4)\) und \((5)\)

    Bringe in Gleichung \((2)\) den Term für die STOKESsche Reibungskraft auf die linke und den für die Elektrische Kraft auf die rechte Seite. Die dadurch neu entstehende Gleichung sei \((2.1)\).

    Subtrahiere von Gleichung \((1)\) Gleichung \((2.1)\), fasse beide Seiten der sich ergebenden Gleichung so weit wie möglich zusammen und löse die Gleichung nach der Ladung \(q\) auf. Die dadurch neu entstehende Gleichung sei Gleichung \((3)\).

    Addiere zu Gleichung \((1)\) Gleichung \((2.1)\), fasse die linke Seite der sich ergebenden Gleichung so weit wie möglich zusammen und löse die Gleichung nach dem Radius \(r\) auf. Die dadurch neu entstehende Gleichung sei Gleichung \((4)\).

    Ersetze die Größe \(r\) in Gleichung \((3)\) durch den gleichwertigen Term für \(r\) aus Gleichung \((4)\) und fasse die rechte Seite der neuen Gleichung so weit wie möglich zusammen. Es ergibt sich Gleichung \((5)\).

    Zeige durch eine Einheitenrechnung, dass Gleichung \((5)\) für die Ladung \(q\) die korrekte Einheit ergibt.

    Durchführung

    Sprühe Öltröpfchen in die Versuchsapparatur, konzentriere dich auf ein einzelnes Öltröpfchen und warte, bis dieses fast ganz nach unten gefallen ist (sich also im Mikroskop am oberen Rand befindet). Schalte die Kondensatorspannung \(U_{\rm{K}}\) ein und regele diese so weit hoch, dass das ausgewählte Öltröpfchen langsam steigt (sich also im Mikroskop nach unten bewegt). Pole nun die Spannung um - das Öltröpfchen sinkt nun (bewegt sich also im Mikroskop nach oben).

    Aktiviere nun während des Sinkens des Öltröpfchens die Stoppuhr und pole die Spannung genau dann um, wenn sich das Öltröpfchen auf einem Skalenstrich befindet - das Öltröpfchen steigt nun wieder. Pole die Spannung \(U_{\rm{K}}\) um, wenn das Öltröpfchen eine bestimmt Anzahl (z.B. \(20\)) von Skalenteilen zurückgelegt hat - das Öltröpfchen sinkt nun wieder. Wiederhole diesen Vorgang mehrmals und stoppe schließlich die Stoppuhr manuell, wenn sich das Öltröpfchen wieder an dem Skalenstrich befindet, an dem du die erste Stoppuhr durch Umpolen gestartet hast.

    Notiere den Wert der eingestellten Spannung \(U_{\rm{K}}\), die Anzahl \(n\) der Skalenteile, die gemessenen Zeiten \(t_1\) und \(t_2\) sowie die Anzahl \(m\) der Umpolvorgänge.

    Führe den Versuch mehrmals mit verschiedenen Öltröpfchen durch und notiere die jeweiligen Messwerte in den Spalten zwei bis sechs der folgenden Tabelle.

    \(N\) \(U\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) \(n\) \(t_1\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(t_2\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(m\) \(v_1\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) \(v_2\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) \(q\;{\rm{in}}\;{\rm{As}}\) \(r\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) \(r_{{\rm{korr}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) \({q_{{\rm{korr}}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{As}}\)
    \(1\) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
    \(2\) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

    Kondensatorspannung
    UK
    Stoppuhren
    Uhr 1 startet nach dem Aktivieren beim Umpolen der Spannung.
    Uhr 1 stoppt/startet bzw. Uhr 2 startet/stoppt jeweils beim Umpolen der Spannung.
    Uhr 2 muss schließlich manuell gestoppt werden.
    HTML5-Canvas nicht unterstützt!

    Hinweis: Die Simulation arbeitet mit den Parametern \(d = 6,00 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{m}}\), \(s = 5,33 \cdot {10^{ - 5}}{\rm{m}}\), \({\rho _{{\rm{Öl}}}} = 875,3\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\), \({\rho _{{\rm{Luft}}}} = 1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\), \(\eta  = 1,81 \cdot {10^{ - 5}}\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\), \(g = 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) sowie dem Wert \(A = 6,25 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{m}}\) für die CUNNINGHAM-Korrektur. Ist die Kondensatorspannung \(U_{\rm{K}}\) positiv, so ist die (in der Realität obere, im Mikroskop untere) Platte des Kondensators positiv geladen.

    Auswertung

    Hinweis: Ein Tabellenblatt zur Auswertung des Experimentes mit einer Tabellenkalkulation findest du hier.

    Berechne für alle Einzelmessungen durch \(v = \frac{{\frac{m}{2} \cdot n \cdot s}}{t}\) die Geschwindigkeiten \(v_1\) und \(v_2\) sowie damit den Wert für die Ladung \(q\). Er sollte in der Größenordnung von \({10^{ - 19}}{\rm{As}}\) liegen. Berechne anschließend den Tröpfchenradius \(r\), den korrigierten Tröpfchenradius \(r_{{\rm{korrigiert}}}\) und schließlich die korrigierte Ladung \(q_{{\rm{korrigiert}}}\).

    Erstelle ein Diagramm, in dem du auf der horizontalen Achse die Versuchsnummer \(N\) und auf der vertikalen Achse jeweils die berechnete korrigierte Ladung \(q_{{\rm{korrigiert}}}\) aufträgst.

    Interpretiere das Diagramm.

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