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Grundwissen

KIRCHHOFFsche Gesetze

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Knotenregel: In jedem Verzweigungspunkt sind hin- und abfließende Ströme gleich, es gilt \(I_{\rm{hin}}=I_{\rm{ab}}\).
  • Maschenregel: Die Summe aller Teilspannungen ist gleich der Spannung der Quelle, es gilt \(U = U_1+U_2+...+U_n\).
Aufgaben Aufgaben

Die nach ihrem Entdecker Gustav Robert KIRCHHOFF benannten Gesetze für Stromkreise werden am untenstehenden Beispiel entwickelt. Sie gelten natürlich für alle Widerstandsnetzwerke.

1. Regel von KIRCHHOFF: Knotenregel

In jedem Verzweigungspunkt eines Stromkreises ist die Summe der hinfließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme:\[I_{\rm{hin}}=I_{\rm{ab}}\]Konkret am Beispiel von Abb. 1 bedeutet dies:\[I_{1}=I_{2}+I_{3}\]

Keine Quellen und Senken für Ladung

Abb. 1 Anwendung der KIRCHHOFFschen Knotenregel in einem Schaltkreis

Multiplizierst du die Gleichung \(I_{1}=I_{2}+I_{3}\) der Ströme in Abb. 1 mit der Zeit \(t\), so kommst du zum Satz über die Ladungserhaltung:\[ Q_{1} = Q_{2} + Q_{3} \]Damit kannst du die KIRCHHOFFsche Knotenregel auch so interpretieren:

"Im Stromkreis gibt es keine Quellen und Senken für die elektrische Ladung".

2. Regel von KIRCHHOFF: Maschenregel

Verfolgst du einen Stromweg von dem einen Pol zum anderen Pol, so ist die Summe der Teilspannungen gleich der Spannung der Quelle:\[U = U_1+U_2+...+U_n\]Im Beispiel in Abb. 2 sind die Stromwege entweder der "blauer Weg" oder der "lila Weg". Hier gilt also für den blauen Weg\[U = U_1 + U_2\] und für den lila Weg\[U = U_1 + U_3 + U_4\]

Abb. 2 Anwendung der KIRCHHOFFschen Maschenregel in einem Schaltkreis

Auch hinter der Maschenregel steckt wieder ein Erhaltungssatz. Multipliziert man die Spannung mit der Ladung \(Q\), die durch den Kreis transportiert wird, so erhält man eine Arbeit, z.B.\[Q \cdot U = Q \cdot U_1 + Q \cdot U_2\]Damit kann man die KIRCHHOFFsche Maschenregel auch so interpretieren:

"Die Energie, welche die Ladung \(Q\) in der Spannungsquelle erhält, ist gleich den Energien, welche sie auf einem Weg ("blau" oder "lila") zum anderen Pol bei den Widerständen verliert."

Veranschaulichung am Modell des offenen Wasserkreislaufs

Abb. 3 Analogie zu den KIRCHHOFFschen Gesetzen im Wassermodell

Die Aussagen der Knoten- und der Maschenregel kannst du dir am Modell des offenen Wasserkreislaufs klarmachen:

An jedem Verzweigungspunkt der Leitung fließen genau so viele Wasserteilchen fort wie ankommen, es gehen keine Wasserteilchen verloren und es kommen keine zusätzlichen Wasserteilchen hinzu.

Wasserteilchen bekommen durch die Wasserpumpe potenzielle Energie, die sie auf einem Weg über die Turbinen wieder verlieren. Egal, ob die Wasserteilchen den linken Weg oder den rechten Weg gehen, sie verlieren immer den gleichen Betrag an potenzieller Energie.