Wenn du den Umgang mit dem Gesetz von OHM beherrschst und den Ersatzwiderstand von Parallel- und Reihenschaltungen berechnen kannst, dann kannst du auch Spannungen, Stromstärken und Widerstände bei komplexeren d.h. komplizierteren Schaltungen berechnen. Eine solche Aufgabenstellung könnte z.B. so aussehen:
Aufgabe
Joachim Herz Stiftung
Berechne bei gegebener Spannung \(U=10\,\rm{V}\) und bekannten Werten für die drei Widerstände (\({R_1} = 100\,\Omega \), \({R_2} = 200\,\Omega \) und \({R_3} = 50\,\Omega \)) alle Stromstärken und alle Teilspannungen.
Strategie: Schrittweise Ersatzwiderstände berechnen
Die grundlegende Strategie zum Lösen der Widerstands- und Stromberechnung bei der gegebenen Aufgabe ist in der Animation in Abb. 2 dargestellt:
Zuerst berechnest du den Ersatzwiderstand der Parallelschaltung der beiden Widerstände. Damit hast du das Problem auf die Reihenschaltung zweier Widerstände vereinfacht. Nun berechnest du den Ersatzwiderstand für diese Reihenschaltung des Widerstands und des zuvor berechneten Ersatzwiderstands.
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1. Schritt: Ersatzwiderstand \(R_{23}\) berechnen
Zunächst wird der Ersatzwiderstand \({{R_{23}}}\) der Parallelschaltung der beiden Widerstände \({{R_2}}\) und \({{R_3}}\) bestimmt:\[{\frac{1}{{{R_{23}}}} = \frac{1}{{{R_2}}} + \frac{1}{{{R_3}}} = \frac{{{R_3}}}{{{R_2} \cdot {R_3}}} + \frac{{{R_2}}}{{{R_3} \cdot {R_2}}} = \frac{{{R_3} + {R_2}}}{{{R_2} \cdot {R_3}}} \Rightarrow {R_{23}} = \frac{{{R_2} \cdot {R_3}}}{{{R_2} + {R_3}}}}\]Du kannst ohne Einsetzen der gegebenen Werte mit diesem Ergebnis weiterarbeiten. Wenn wie hier \(R_2\) und \(R_3\) bekannt sind, kannst du auch einsetzen und ausrechen. \[R_{23}=\frac{200\,\Omega \cdot 50\,\Omega}{200\,\Omega + 50\,\Omega}=40\,\Omega\]
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2. Schritt: Ersatzwiderstand \(R_{123}\) berechnen
Danach wird der Ersatzwiderstand \({R_{123}}\) für die Serienschaltung von \({{R_1}}\) und \({{R_{23}}}\) bestimmt:\[ R_{123} = R_{1} + R_{23} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert für \({R_{123}}\)
\[{R_{123}} = {R_1} + \frac{{{R_2} \cdot {R_3}}}{{{R_2} + {R_3}}} \Rightarrow {R_{123}} = 100\,\Omega + \frac{{200\,\Omega \cdot 50\,\Omega }}{{200\,\Omega + 50\,\Omega }} = 100\,\Omega + 40\,\Omega = 140\,\Omega \]
3. Schritt: Berechnen der gesamten Stromstärke \(I_1\)
Da du nun mit \(R_{123}\) den Gesamtwiderstand des Stromkreises kennst, kannst du bei gegebener Spannung \(U\) den Strom \(I_1\) berechnen, der durch den Stromkreis fließt. \(I_1\) ergibt sich aus
\[{I_1} = \frac{U}{{{R_{123}}}} \Rightarrow {I_1} = \frac{{10\,{\rm{V}}}}{{140\,\Omega }} = 71\,{\rm{mA}}\]
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4. Schritt: Berechnen der Teilspannungen
Mit bekanntem Strom \(I_1\) kannst du nun auch die Teilspannungen ausrechnen, die an den einzelnen Teilen des Stromkreises abfallen. So ergibt sich für die Spannung \(U_1\), sie am Widerstand \(R_1\) abfällt:
\[{{\rm{U}}_1} = {I_1} \cdot {R_1} \Rightarrow {{\rm{U}}_1} = 71 \cdot {10^{ - 3}}\,{\rm{A}} \cdot 100\,\Omega = 7{,}1\,{\rm{V}}\]Da die beiden Widerstände \({{R_2}}\) und \({{R_3}}\) parallel geschaltet sind, ist die Spannung, die an ihnen anliegt gleich. Damit ergeben sich diese beiden Spannungen aus der Maschenregel:
\[{U_2} = {U_3} = U - {U_1} \Rightarrow {U_2} = {U_3} = 10\,{\rm{V}} - 7{,}1\,{\rm{V}} = 2{,}9\,{\rm{V}}\]
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5. Schritt: Berechnen der Teilströme in der Parallelschaltung
Mithilfe der Spannung, die an den Ästen der Parallelschaltung anliegst, kannst du nun auch die beiden Ströme \(I_2\) und \(I_3\) berechnen:
\[{I_2} = \frac{{{U_2}}}{{{R_2}}} \Rightarrow {I_2} = \frac{{2{,}9\,{\rm{V}}}}{{200\,\Omega }} = 15\,{\rm{mA}}\]\(I_3\) kannst du auf identischem Weg oder einfacher auch mit der Knotenregel ermitteln:\[{I_3} = {I_1} - {I_2} \Rightarrow {I_3} = 71\,{\rm{mA}} - 15\,{\rm{mA}} = 56\,{\rm{mA}}\]