Elektromagnetische Induktion

Elektrizitätslehre

Elektromagnetische Induktion

  • Wie funktioniert ein Elektromotor?
  • Wie erzeugt ein Dynamo elektrischen Strom?
  • Was bewirkt eine Spule?

Lässt man die Leiterschaukel - einmal angestoßen - im Magnetfeld eines Hufeisenmagneten hin- und herschwingen, so kann man am empfindlichen Messgerät eine Spannung feststellen.

Hinweise:

  • Wir betrachteten schon einmal einen Versuch mit der Leiterschaukel. Dort legten wir aber an die Leiterschaukel eine äußere Spannung an. Aufgrund dieser Spannung floss Strom und es ergab sich eine Kraft auf den stromdurchflossenen Leiter:
    Elektromotorisches Prinzip: Umwandlung elektrischer Energie in mechanische Energie
  • Bei dem jetzt betrachteten Versuch verwenden wir keine äußere Spannungsquelle
    Generator-Prinzip: Umwandlung mechanischer Energie in elektrische Energie

Das Entstehen einer Spannung bei der Bewegung eines Leiters im Magnetfeld kann man mit Hilfe der Lorentzkraft verstehen:

Im Leiter werden bewegliche Ladungsträger (z.B. Elektronen) mitbewegt. Mit der UVW-Regel der linken Hand ergibt sich bei einer Bewegung nach links eine Lorentzkraft auf die Elektronen, die aus der Zeichenebene gerichtet ist. Daher erhält der nach links bewegte Stab vorne einen Minuspol und hinten einen Pluspol (Elektronenmangel).
Bei der Bewegung in der Gegenrichtung wird der Stab umgepolt. Ruht der Stab, so kommt es zu keiner Ladungstrennung.


 

Überprüfen Sie bei der vorgegebenen Magnetfeld- und Bewegungsrichtung die Polarität der entstehenden Spannung mit der Drei-Finger-Regel.

Bei den obigen Darstellungen trat eine Induktionsspannung auf, wenn ein Leiter in geeigneter Weise in einem Magnetfeld bewegt wurde. Umgekehrt kommt es auch zu einer Induktionsspannung, wenn ein Magnet in geeigneter Weise in Bezug auf einen Leiter (z.B. Spule) bewegt wird. Die nebenstehende Animation der University of Colorado verdeutlicht dies.

Adresse:
http://phet.colorado.edu/sims/faraday/faraday_de.jnlp

Achten Sie darauf, dass bei der Simulation der Kartenreiter "Pickup Coil " (blau) angeklickt ist.

  • Beobachten Sie die Lampenhelligkeit, wenn der Magnet ruht.
  • Bewegen Sie den Dauermagneten auf die Spule zu und von der Spule weg.
  • Ersetzen Sie die Glühlampe durch das Messgerät.
  • Verändern Sie die Fläche (Windungsfläche) und die Windungszahl der Spule.
  • Beobachten Sie auch welchen Einfluss die "Stärke" des Stabmagneten hat (Magnetfeldstärke).

Erläutere, welche Bedingungen in der dargestellten Simulation erfüllt sein müssen, damit in der Spule eine möglichst hohe Spannung auftritt.

Ein Metalldraht ist elektrisch neutral, d.h. die positiven und die negativen Ladungen halten sich die Waage. Im Mittel gibt jedes Metallatom ein Elektron ab, das sich im Metall frei bewegen kann. Die zurückbleibenden positiven Atomrümpfe (bzw. Ionenrümpfe) sind dagegen ortsfest.

Wird der Leiter senkrecht zu den Feldlinien eines homogenen Magnetfeldes bewegt, erfahren die im Leiter mitbewegten Ladungen eine Lorentzkraft. Als Folge davon werden die beweglichen Elektronen im nebenstehenden Beispiel nach unten verschoben, es kommt längs des Leiters zu einer Verschiebung der Ladungsschwerpunkte (Überschuss an positiven Ladungen oben, Überschuss an negativen Ladungen unten).

Die Ladungsverschiebung bewirkt das Auftreten einer elektrischen Kraft (z.B. auf ein Elektron in der Leitermitte), die umso stärker ist, je mehr Ladungen getrennt wurden.

Im stationären Fall, d.h. bei Bewegung des Leiters mit konstanter Geschwindigkeit, halten sich die Lorentzkraft und die elektrische Kraft auf ein Elektron die Waage. Es gilt
\[{{F_{{\rm{el}}}} = {F_{\rm{L}}} \Leftrightarrow e \cdot E = e \cdot v \cdot B\quad(1)}\]
Verknüpft mit dem als homogen angenommenen elektrischen Feld E, welches längs des Leiters der Länge l wirkt, ist eine Spannung, die Induktionsspannung Uind:
\[E = \frac{{{U_{ind}}}}{l}\quad (2)\]
Setzt man (2) in (1) ein, so erhält man
\[{U_{ind}} = l \cdot v \cdot B\]
Wie du später noch erfahren wirst, bedingt das Gesetz von LENZ, dass man in der letzten Formel ein Minuszeichen einführt, so dass gilt
\[{U_{ind}} = - l \cdot v \cdot B\]

Anstelle eines geraden Leiterstücks soll nun ein rechteckiger Leiterrahmen (Spule mit Windungszahl N = 1) in der skizzierten Weise durch das Magnetfeld bewegt werden. Das Auftreten einer Spannung an den Leiterenden kannst du mit Hilfe der LORENTZ-Kraft verstehen.

Ausgehend von der oben abgeleiteten Formel für die Induktionsspannung soll der in der Animation dargestellte Vorgang unter einem anderen Blickwinkel betrachtet werden:
\[{{U_{{\rm{ind}}}} =  - l \cdot v \cdot B =  - B \cdot l \cdot \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}} =  - B \cdot \frac{{\Delta A}}{{\Delta t}}}\]
Bei dieser Herleitung ist das Produkt l·Δx die Flächenänderung ΔA des Magnetfeldes, welches von der Spule umfasst wird. Würde anstelle einer einzigen Leiterschleife eine rechteckige Spule mit N Windungen durch das Magnetfeld bewegt, so würden sich die bei jeder Leiterschleife entstehenden Spannungen addieren und es gilt
\[{U_{{\rm{ind}}}} =  - N \cdot B \cdot \frac{{\Delta A}}{{\Delta t}}\]
Das Entstehen einer Induktionsspannung bei der Bewegung einer Leiterschleife durch ein konstantes, homogenes Magnetfeld kann auch wie folgt gedeutet werden: Ändert sich die Fläche des von einer Spule umschlossenen Magnetfeldes mit der Zeit, so entsteht eine Induktionsspannung:
\[{U_{{\rm{ind}}}} =  - N \cdot B \cdot \frac{{\Delta A}}{{\Delta t}}\]

Hinweis: Wir gehen dabei davon aus, dass der sogenannte Flächenvektor parallel zur Magnetfeldrichtung verläuft.

 

In dem obigen Beispiel wurde die Änderung der Fläche des von der Spule umschlossenen Magnetfeldes dadurch erreicht, dass die Spule bzw. die Leiterschleife in das Magnetfeld hineinbewegt oder wieder herausbewegt wurde. Die Flächenänderung kann

 

aber auch noch auf andere Weisen erreicht werden

Bei dem in der nebenstehenden Animation dargestellten Vorgang wird die Spule, die am Anfang eine Fläche \({{A_{{\rm{Anfang}}}}}\) besitzt, auf den Flächeninhalt am Ende \({{A_{{\rm{Ende}}}}}\) verkleinert. Geschieht die Verkleinerung "gleichmäßig", so gilt
\[{U_{{\rm{ind}}}} =  - N \cdot B \cdot \frac{{{A_{{\rm{Ende}}}} - {A_{{\rm{Anfang}}}}}}{{\Delta t}}\]

Auch durch Rotation der Spule (vgl. nebenstehende Animation) kann eine Änderung der Fläche (Aeff) des von der Spule umschlossenen Magnetfeldes erreicht werden.

Beobachte in der Animation den zeitlichen Verlauf von Aeff und gib an, bei welchen Spulenstellungen die zeitliche Änderung von Aeff besonders hoch bzw. besonders niedrig ist.

Versuche, Aeff durch A0 und φ auszudrücken.

Das Entstehen einer Induktionsspannung in der Spule (Induktionsspule) können Sie mit Hilfe der Lorentzkraft verstehen:
Sie haben gelernt, dass bei geeigneter Bewegung eines Leiters im Magnetfeld eine Ladungstrennung und damit eine Spannung im Leiter entsteht (vgl. Leiterschaukel-Versuch).
Hier bewegt sich zwar nicht der Leiter, jedoch der Magnet. Es kommt offensichtlich nur auf die Relativbewegung an.


Man kann nun den Permanentmagneten durch einen Elektromagneten (Feldspule) ersetzen. Bewegt man die Feldspule auf die Induktionsspule zu, so entsteht wieder ein Spannungsstoß.
Soweit erbringen die oben angesprochenen Versuche nichts wesentlich Neues. Lässt man nun die Feldspule bezüglich der Induktionsspule ruhen, so kommt es zu keinem Spannungsstoß, auch wenn man das Magnetfeld der Feldspule noch so stark macht.

Es passiert aber etwas ganz Besonderes, wenn man den Strom in der Feldspule ein- bzw. ausschaltet:
Ohne irgendwelche Relativbewegung kommt es in der Induktionsspule zu einem Spannungsstoß. Diese Erkenntnis formulierte Faraday (1831) in seinem berühmten Induktionsgesetz.

Ändert sich das von den Windungen einer Spule umschlossene Magnetfeld, so wird in ihr eine Spannung induziert.
Feldspule
Induktionsspule

Genauere Untersuchungen zeigen zusätzlich:

  • Je größer die Änderung des Magnetfeldes ist (bei gleicher Zeitdauer der Änderung), desto größer ist die Induktionsspannung.
  • Je schneller die Änderung des Magnetfeldes ist (bei gleichem Betrag der Änderung), desto
    größer ist die Induktionsspannung.
  • Die Induktionsspannung ist bei fester Feldspule umso größer, je mehr Windungen die Induktionsspule besitzt.
  • Besonders hohe Induktionsspannungen erhält man, wenn man Feld- und Induktionsspule auf einen gemeinsamen Eisenkern setzt.

Wie experimentell gezeigt werden konnte, entsteht nicht nur durch geeignete Bewegung eines Leiters im Magnetfeld eine Induktionsspannung, sondern auch im ruhenden Leiter kann eine Induktionsspannung auftreten, wenn sich die magnetische Flussdichte im Leiter ändert.

Ändert sich die magnetische Flussdichte eines von einer Spule umschlossenen Magnetfeldes mit der Zeit, so tritt an den Spulenenden eine Induktionsspannung auf, für die gilt:

\[{U_i} = - N \cdot A \cdot \frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}\]



Wie Sie in den vorangegangenen Überlegungen gesehen haben, kann eine Induktionsspannung sowohl bei der Bewegung eines Leiters im Magnetfeld, als auch bei der Magnetfeldänderung in einem ruhenden Leiter auftreten. Durch die Einführung der Größe magnetischer Fluss Φ gelingt es, die beiden gewonnenen Gesetze für die Induktionsspannung zu einem Gesetz zusammen zu führen:

Unter dem magnetischen Fluss Φ versteht man das Skalarprodukt aus dem Vektor der magnetischen Flussdichte \(\vec B\) und dem Flächenvektor \(\vec A\) der Leiterschleife bzw. Spule:

 

\[\begin{array}{l}\quad \quad \Phi = \vec B \cdot \vec A\\\left[ \Phi \right] = 1\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^2}}} \cdot {{\rm{m}}^2} = 1{\rm{Vs}}\end{array}\]

 

Für Φ kann man auch schreiben: Φ = B·A·cosα. Sind die Vektoren der Flussdichte und der Fläche gleichgerichtet, so ist cosα = 1 und es gilt in diesem Fall Φ = B·A.

Für eine Veranschaulichung kann man sich für die magnetische Flussichte B die Feldliniendichte vorstellen, für den magnetischen Fluss Φ die Zahl der Feldlinien, die durch eine betrachtete Fläche tritt.

Flussänderung bei konstanter magnetischer Flussdichte B und Flächenänderung:

\[\begin{array}{l}\;\Delta \Phi = {\Phi _e} - {\Phi _a}\quad \Rightarrow \quad \Delta \Phi = B \cdot {A_e} - B \cdot {A_a}\\\Delta \Phi = B \cdot \left( {{A_e} - {A_a}} \right)\quad \Rightarrow \quad \Delta \Phi = B \cdot \Delta A\quad \left( 1 \right)\end{array}\]

 

Flussänderung bei konstanter Fläche und Änderung der magnetischer Flussdichte B:

\[\begin{array}{l}\;\Delta \Phi = {\Phi _e} - {\Phi _a}\quad \Rightarrow \quad \Delta \Phi = A \cdot {B_e} - A \cdot {B_a}\\\Delta \Phi = A \cdot \left( {{B_e} - {B_a}} \right)\quad \Rightarrow \quad \Delta \Phi = A \cdot \Delta B\quad \left( 2 \right)\end{array}\]

Induktion durch Bewegung:

\[{U_{ind}} = - N \cdot B \cdot \frac{{\Delta A}}{{\Delta t}}\]

unter Verwendung von (1) ergibt sich:

\[{U_{ind}} = - N \cdot \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\]

 

Induktion durch Feldänderung:

\[{U_{ind}} = - N \cdot A \cdot \frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}\]

unter Verwendung von (2) ergibt sich:

\[{U_{ind}} = - N \cdot \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\]

In der Formulierung des Induktionsgesetzes mit Hilfe des magnetischen Flusses kann man die beiden Spezialfälle "Induktion durch Bewegung" und "Induktion durch Feldänderung" zu einem Gesetz zusammenfassen. Natürlich gibt es auch die Situation bei der sich die Leiterschleife in einem Magnetfeld bewegt und gleichzeitig sich die Flussdichte ändert. Auch dieser Fall ist in der Formulierung des Induktionsgesetzes mit Hilfe des Flussbegriffs enthalten.

Ändert sich der magnetische Fluss Φ durch eine Leiterschleife oder Spule mit der Zeit, so tritt in der Leiterschleife bzw. Spule eine Induktionsspannung Uind auf. Es gilt:

\[{U_{ind}} = - N \cdot \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\]

N: Windungszahl der Spule;   ΔΦ: Änderung des magnetischen Flusses;  Δt: Zeitintervall

Hinweise für Experten:

  • Bei den betrachteten Beispielen hat sich entweder die Fläche oder das Magnetfeld linear mit der Zeit verändert. Wenn dies nicht mehr der Fall ist, muss man im Induktionsgesetz den Differenzenquotienten ΔΦ/Δt durch den entsprechenden Differentialquotienten dΦ/dt ersetzen:

\[{U_{ind}} = - N \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}}\]

Induktionsgesetz in differentieller Form

 

  • Durch Umformung des oben dargestellten Induktionsgesetzes erhält man:

\[\begin{array}{l}{U_{ind}} = - N \cdot \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\quad \quad \quad \Rightarrow \quad \quad \quad {U_{ind}} \cdot \Delta t = - N \cdot \Delta \Phi \\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\rm{Spannungssto{ß}}}\quad {\rm{Flussänderung}}\end{array}\]

 

Die letzte Beziehung gilt nur beim Auftreten einer konstanten Induktionsspannung (d.h. bei zeitlich linearer Flächenänderung, bzw. Flussänderung). Etwas allgemeiner lässt sich unter der Verwendung der Integralrechung schreiben:

\[\int_{{t_1}}^{{t_2}} {{U_{ind}}dt = - N \cdot \Delta \Phi } \]

Induktionsgesetz in integraler Form

Bei konstanter Induktionsspannung bezeichnet man das Produkt Uind·Δt, bei nicht konstanter Spannung das Integral \(\int_{{t_1}}^{{t_2}} {{U_{ind}}dt} \) als Spannungsstoß.

Beim Grundversuch zur Induktion wurde eine Leiterschaukel im Magnetfeld eines Hufeisenmagneten durch eine äußere Kraft Fa bewegt. Dabei kam es zur Ladungstrennung im Leiter, die wir mit einem Spannungsmesser nachgewiesen haben.

Ersetzt man nun den hochohmigen Spannungsmesser durch einen niederohmigen Strommesser, so kann im Leiterkreis ein merklicher Strom fließen, d.h. man hat einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld vorliegen, auf den eine Kraft F* wirkt, deren Richtung mit der ersten UVW-Regel ermittelt werden kann. Die folgende Animation zeigt die Gedankenschritte zur Ermittlung der Richtung von F*.

Hinweis:
Zum besseren Verständnis sind die oben beschriebenen Vorgänge in der Animation zeitlich versetzt dargestellt. Tatsächlich ist es so, dass beim Einsetzen der Bewegung sofort die Ladungstrennung, der Strom und die Kraft F* existent sind.

Regel von Lenz

Der Induktionsstrom ist stets so gerichtet, dass er die Ursache seiner Entstehung zu hemmen sucht.

Auf das obige Problem angewandt bedeutet dies:
Die Bewegung des Leiters aufgrund der äußeren Kraft ruft einen Induktionsstrom hervor, der die Ursache für die Kraft F* ist, welche die Bewegung des Leiters (und dies ist die Ursache für den Induktionsstrom) zu hemmen sucht.

Hinweis:
Wäre die Kraft F* bei dem obigen Versuch nach rechts gerichtet, so würde sie die Bewegung unterstützen. Der Leiter würde sich dann- ohne Einwirkung von außen - immer schneller bewegen. Dies wäre ein Energiezuwachs ohne dass man von außen Energie zuführt (Widerspruch zum Energiesatz).

Mit der Regel von Lenz kann auch die folgende Versuchsserie verstanden werden (Quelle: Staatliche Berufschule Neu-Ulm):

Versuch:
Nähert man einen Magneten einer kurzgeschlossenen und frei aufgehängten Spule, so wird die Spule in Bewegung versetzt.

Erklärung:
Infolge der Bewegung des Magneten ändert sich die Stärke des von der Spule umfassten Magnetfeldes, so dass in der Spule eine Induktionsspannung erzeugt wird. Im geschlossenen Leiterkreis (die Spule ist kurzgeschlossen) fließt folglich ein Induktionsstrom, der selbst ein Magnetfeld hervorruft, welches mit dem des Stabmagneten in Wechselwirkung tritt.

 

 

 

Magnet wird auf Spule zubewegt → Spule weicht nach links aus, da sie den ursprünglichen Zustand (Feldfreiheit) aufrecht erhalten will. Es fließt in ihr der Induktionsstrom so, dass am rechten Spulenende ein Nordpol entsteht. Auf diese Weise kommt es zur Abstoßung nach links.   Magnet wird von Spule wegbewegt → Spule folgt Magneten, da sie den ursprünglichen Zustand (Feld in Spule) aufrechter halten will. Es fließt in ihr der Induktionsstrom so, dass am rechten Spulenende ein Südpol entsteht. Auf diese Weise kommt es zur Anziehung nach rechts.   Argumentation analog zur 1. Spalte   Argumentation analog zur 2. Spalte

Zum Einstieg in das Thema "Induktion durch Änderung des Magnetfeldes" werden meist Anordnungen betrachtet, bei denen die Feldspule (in ihr wird das Magnetfeld verändert) und die Induktionsspule (in ihr wird die induzierte Spannung festgestellt) zwei verschiedene Anordnungen waren. Wie die Experimente zur Selbstinduktion aber zeigen, tritt ein Induktionseffekt beim Ein- und Ausschalten des Stromes in der Feldspule selbst auf. In diesem Fall spricht man von Selbstinduktion.

Unter Selbstinduktion versteht man die Induktionswirkung eines Stromes auf seinen eigenen Leiterkreis:

  • Ändert sich der durch eine Spule fließende Strom (z.B. beim Ein- und Ausschalten), so bewirkt dieser eine Änderung des magnetischen Flusses durch die "eigene" Spule.

  • Aufgrund des Induktionsgesetzes tritt eine Induktionsspannung auf, die nach LENZ die Ursache ihrer Entstehung zu hemmen sucht.

  • Dadurch steigt der Strom beim Einschalten einer Spule erst allmählich auf seinen stationären Endwert. Beim Ausschalten der Spule kann der Strom noch "nachfließen", wenn ein entsprechender Stromkreis zur Verfügung steht.

 

Die folgende Animation zeigt den Verlauf der Batteriespannung \({U_{{\rm{bat}}}}\), der an der idealen Spule \(L\) anliegenden Spannung \({U_{{\rm{Lt}}}}\) (diese ist gegengleich zur induzierten Spannung \({U_{{\rm{ind}}}}\) der Spule) und der Spannung \({U_{{\rm{R}}}}\) am Widerstand \(R\). Der zeitliche Verlauf von \({U_{\rm{R}}}(t)\) ist proportional zum Strom \(I(t)\) im Kreis.

 
 

Einschaltvorgang

  • Der Strom geht nicht sofort auf seinen stationären Endwert \({I_0} = \frac{{{U_{{\rm{bat}}}}}}{R}\), sondern steigt allmählich auf diesen Endwert an.
  • Mit dem Stromanstieg ist eine Zunahme des magnetischen Flusses in der Spule verbunden: \(\frac{{d\Phi }}{{dt}} > 0\).
  • Die Flussänderung ruft eine induzierte Spannung \({U_{{\rm{ind}}}}\) hervor, die der von außen angelegten Spannung \({{U_{{\rm{bat}}}}}\) entgegengerichtet ist (Gesetz von LENZ). Die an der idealen Spule \(L\) anliegende Spannung \({U_{{\rm{Lt}}}}\) ist gegengleich zu dieser Induktionsspannung.

Die KIRCHHOFFsche Maschenregel besagt nun (beachte, dass \({U_{{\rm{bat}}}} < 0\))
\[{U_{{\rm{bat}}}} + {U_L} + {U_R} = 0\]
Da \({U_L} =  - {U_{{\rm{ind}}}}\) und \({U_R} = R \cdot I\) gilt, folgt
\[{U_{{\rm{bat}}}} - {U_{{\rm{ind}}}} + R \cdot I = 0\]
Für den Strom \(I(t)\) im Kreis gilt dann
\[I(t) = \frac{{ - {U_{{\rm{bat}}}} + {U_{{\rm{ind}}}}}}{R} = \frac{{ - {U_{{\rm{bat}}}} - N \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}}}}{R}\]
Für die induzierte Spannung \({U_{{\rm{ind}}}}\) gilt
\[{{U_{{\rm{ind}}}} =  - N \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}}\; =  - N \cdot A \cdot \frac{{dB}}{{dt}} =  - N \cdot A \cdot {\mu _0} \cdot \frac{N}{l}\frac{{dI}}{{dt}}\quad(1)}\]
und insbesondere
\[{{U_{{\rm{ind}}}} \sim  - \frac{{dI}}{{dt}}}\]
Dies bedeutet, dass der Betrag der induzierten Spannung proportional zur Steigung der \(t\)-\(I\)-Kurve ist (vgl. untenstehende Veranschaulichung).

Ausschaltvorgang

  • Der Strom geht nicht sofort auf Null zurück, sondern sinkt allmählich auf Null ab.
  • Mit dem Stromabfall ist eine Abnahme des magnetischen Flusses in der Spule verbunden: \(\frac{{d\Phi }}{{dt}} < 0\).
  • Die Flussänderung ruft eine induzierte Spannung \({U_{{\rm{ind}}}}\) hervor, die die aufgrund des Induktionsgesetzes in differentieller Form positiv ist.

Für den Strom \(I(t)\) im Kreis gilt dann
\[I(t) = \frac{{{U_{{\rm{ind}}}}}}{R} = \frac{{ - N \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}}}}{R}\]

Für besonders interessierte Schülerinnen und Schüler zeigen wir hier, wie die Funktionsterme für den zeitlichen Verlauf von Strom und induzierter Spannung mit Hilfe von sogenannten Differentialgleichungen exakt hergeleitet werden können.

Die Induktivität L einer luftgefüllten Spule

In Gleichung \((1)\) von oben werden einige Konstanten zu einer neuen Größe, der Induktivität L einer luftgefüllten Spule, zusammengefasst:

Joseph HENRY (1797 - 1878)
von T. W. Smillie (1843-1917) [Public domain], via Wikimedia Commons

\[{U_{{\rm{ind}}}} =  - N \cdot A \cdot {\mu _0} \cdot \frac{N}{l} \cdot \frac{{dI}}{{dt}}\quad\left( 1 \right)\]
Mit \(L = {N^2} \cdot {\mu _0} \cdot \frac{A}{l}\) gilt dann
\[{U_{{\rm{ind}}}} = - L \cdot \frac{{dI}}{{dt}}\]
Für die Einheit der Induktivität L gilt: \(\left[ L \right] = 1\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{A}}} = 1{\rm{H}}\quad {\rm{(H:\;Henry)}}\).

Die Induktivität einer Spule macht eine Aussage darüber, wie hoch der Betrag der Induktionsspannung bei der Spule für eine bestimmte zeitliche Stromänderung ist. Bei einer Spule mit hoher Induktivität tritt bei einer festen zeitlichen Stromänderung eine höherer Betrag der Induktionsspannung auf, als bei einer Spule mit niedrigerer Induktivität.

In Erinnerung an den amerikanischen Physiker Joseph HENRY (1797 - 1878), der sich große Verdienste bei der Erforschung der elektromagnetischen Induktion erwarb, wird die Einheit der Induktivität als 1 Henry bezeichnet.

 

Eine nähere Betrachtung des Ein- und Ausschaltvorganges bei einer Spule kann mit Hilfe von Oszilloskopbildern durchgeführt werden (auch dies ist eher für besonders Interessierte gedacht).

Bewegungen von Ladungen quer zur Feldrichtung \( \Rightarrow \) Lorentzkraft


Bewegung des Leiters einschließlich seiner Ladungen

\( \Rightarrow \) Kraft auf die Ladungen in Leiterrichtung

\( \Rightarrow \) Induktion

Bewegung der Ladungen des Leiters durch eine angelegte Spannung

 

\( \Rightarrow \) Kraft auf den Leiter

Induktionsstrom

\( \Rightarrow \) Gegenkraft zur äußeren Kraft nach der Regel von LENZ

Leiterbewegung im Motor

\( \Rightarrow \) Gegenspannung durch Induktion

\( \Rightarrow \) Leistungsanpassung

 

Hinweis: Eine positive Arbeit (\(W>0\)) bedeutet, dass Energie in das System hineingegeben wird, eine negative Arbeit (\(W<0\)) bedeutet, dass Energie aus dem System herauskommt.

Im linken Stromkreis befindet sich eine Elektrische Quelle mit der Nennspannung \({U_0}\), ein Umschalter \(S\), ein Widerstand der Größe \(R\) und eine Spule mit der Induktivität \(L\). Die technische Stromrichtung wird durch den Pfeil verdeutlicht. Der gestrichelte Teil des Stromkreises wird beim Einschalten der Spule noch nicht benötigt.

Durch Umlegen des Umschalters ("Einschalten") wird der Stromkreis geschlossen und der Strom kann fließen, wobei der Stromfluss durch den Widerstand begrenzt wird.

Nach genügend langer Zeit fließt ein Strom mit der Stromstärke \({I_0} = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R}\) durch den Stromkreis. Die Stromrichtung, auf die sich im Folgenden die Darstellung von Stromstärke und Spannungen bezieht, soll nun die gleiche wie beim Einschalten sein, sie wird wieder durch den Pfeil verdeutlicht.

Der rechte Stromkreis unterscheidet sich von dem obigen dadurch, dass der Umschalter \(S\) nun umgelegt ist. Dadurch wird die zum Einschalten angeschlossene Elektrische Quelle im gestrichelten Teil des Stromkreises abgetrennt und dafür ein Kurzschluss im Stromkreis hergestellt ("Ausschalten"), so dass der Strom "zusammenbrechen" kann, wobei der Stromfluss wieder durch den Widerstand begrenzt wird.

Die folgende Animation zeigt den zeitlichen Verlauf von Stromstärke \(I(t)\), Spannung \({U_R}(t)\) über dem Widerstand, Spannung \({U_L}(t)\) über der Spule, Leistung \({P_R}(t)\) am Widerstand und Leistung \({P_L}(t)\) an der Spule sowohl beim Ein- als auch beim Ausschalten. Dabei können der Betrag \({\left| {{U_0}} \right|}\) der Nennspannung der Quelle, die Größe \(R\) des Widerstands sowie die Induktivität \(L\) der Spule in gewissen Grenzen verändert werden.

R =
L =
|U0| =
Ein Aus Ein/Aus
I(t)
UR(t) UL(t)
PR(t) PL(t)
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
HTML5-Canvas nicht unterstützt!

Einschalten des RL-Kreises

Die Stromstärke \(I(t)\) im Stromkreis steigt exponentiell an, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[I(t) = {I_0} \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{R}{L} \cdot t}}} \right)\; ; \;{I_0} = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = \frac{L}{R} \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(I\) auf 50% von \({I_0}\) angestiegen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = \frac{L}{R}\) ist \(I\) auf ca. 63% von \({I_0}\) angestiegen.

 


Die Spannung \(U_R(t)\) über dem Widerstand steigt exponentiell an, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_R}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{R}{L} \cdot t}}} \right)\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = \frac{L}{R} \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(U_R\) auf 50% von \(\left|{U_0}\right|\) angestiegen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = \frac{L}{R}\) ist \(U_R\) auf ca. 63% von \(\left|{U_0}\right|\) angestiegen.

 

Die Spannung \(U_L(t)\) über der Spule fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_L}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{R}{L} \cdot t}}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = \frac{L}{R} \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(U_L\) auf 50% von \(\left|{U_0}\right|\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = \frac{L}{R}\) ist \(U_L\) auf ca. 37% von \(\left|{U_0}\right|\) abgefallen.

 

Ausschalten des RL-Kreises

Die Stromstärke \(I(t)\) im Stromkreis fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[I(t) = {I_0} \cdot {e^{ - \frac{R}{L} \cdot t}}\; ; \;{I_0} = \frac{\left| {{U_0}} \right|}{R}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = \frac{L}{R} \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(\left| I \right|\) auf 50% von \({I_0}\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = \frac{L}{R}\) ist \(\left| I \right|\) auf ca. 37% von \({I_0}\) abgefallen.

 


Die Spannung \(U_R\) über dem Widerstand fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_R}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{R}{L} \cdot t}}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = \frac{L}{R} \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(U_R\) auf 50% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = \frac{L}{R}\) ist \(U_R\) auf ca. 37% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.

 

Der Betrag \(\left| U_L \right|\) der Spannung über der Spule fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_L}(t) =  - \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{R}{L}\cdot t}}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = \frac{L}{R} \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(\left| U_L \right|\) auf 50% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = \frac{L}{R}\) ist \(\left| U_L \right|\) auf ca. 37% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.

 
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