Sonne

Astronomie

Sonne

  • Ist unsere Sonne eigentlich auch ein Stern?
  • Wie ist unsere Sonne in ihrem Innern aufgebaut?
  • Woher erhält die Sonne eigentlich ihre Energie?
  • Wie sieht die Zukunft unserer Sonne aus?

Als Solarkonstante \({S_0}\) oder \({E_0}\) bezeichnet man die langjährig gemittelte extraterrestrische Bestrahlungsstärke (Intensität) der Sonne, die bei mittlerem Abstand Erde–Sonne ohne den Einfluss der Atmosphäre senkrecht zur Strahlrichtung auf die Erde auftrifft. Der Begriff „Konstante“ wird konventionell verwendet, obwohl es sich um keine Naturkonstante handelt.

Der Mittelwert für die Solarkonstante wurde 1982 von der Weltorganisation für Meteorologie in Genf festgelegt auf \({S_0} = 1367\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^2}}}\).

Außerhalb der Atmosphäre ist die Bestrahlungsstärke bei jedem Sonnenstand \(h\) (\(h\) ist ein Winkel) gleich der Solarkonstanten \({S_0}\). Am Boden aber wird die Bestrahlungsstärke \(B\) mit sinkendem Sonnenstand \(h\) kleiner. Die Bestrahlungsstärke \(B\) nimmt mit der Länge \(l\) des Wegs durch die Atmosphäre ab. Dies nutzt man zur Bestimmung von \({S_0}\).

Da die Sonnenstrahlung bei jedem Höhenwinkel immer die gesamte Atmosphäre von den oben sehr dünnen Luftschichten bis zu den unten dichten Luftschichten durchläuft, können wir vereinfacht annehmen, dass sie konstant durch eine überall gleich dichte Luftschicht der unterschiedlichen Länge \(l \) läuft. Für die Strahlung gilt, dass sie exponentiell mit der Länge des Wegs durch das Medium abnimmt, das Absorptionsgesetz: \(B = {S_0} \cdot {e^{ - \alpha \cdot l }}\) durch beidseitiges Logarithmieren und Anwenden verschiedener Logarithmengesetze folgt
\[\ln (B) = \ln ({S_0}) - \alpha \cdot l \].

Anmerkung: Der Absorptionskoeffizient ist allerdings für Licht unterschiedlicher Wellenlängenbereiche stark unterschiedlich, was dazu führt, dass das hierbei errechnete Ergebnis systematische Fehler hat, die man beseitigen kann, wenn man die einzelnen Wellenlängebereiche, beispielsweise durch geeignete Filter getrennt misst und berechnet, was aber den Rahmen eines Schulexperiments sprengt.

Zwischen \(d\) und \(l\) und dem Höhenwinkel \(h\) besteht nun die Beziehung
\[{\sin (h) = \frac{d}{l} \Leftrightarrow l = \frac{d}{{\sin (h)}} \Rightarrow \ln (B) = \ln ({S_0}) - \frac{{\alpha  \cdot d}}{{\sin (h)}}}\]
In dieser Gleichung sind noch die beiden Unbekannten \({S_0}\) und \({\alpha  \cdot d}\) enthalten. Mit zwei solcher Gleichungen d.h. zwei Messungen gelingt es aber, \({S_0}\) zu bestimmen. Führt man am selben Tag, wenn ein klarer Himmel ist, am Vormittag und am Mittag zwei Messungen der Bestrahlungsstärke durch und bestimmt jeweils mittels der Länge des Schattens eines senkrechten Stabes den Höhenwinkel, so kann man die Solarkonstante bestimmen.

Bestimme aus den folgenden Messergebnissen die Solarkonstante \({S_0}\). Hinweis: Die Aufgabe ist nicht ganz leicht, aber man sollte sich mal durchbeißen.

  Bestrahlungsstärke Schattenlänge \(s\) eines \(1,50\rm{m}\) langen Stabes
1. Messung (Morgens) \(380\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^2}}}\) \(3,20\rm{m}\)
2. Messung (Mittags) \(750\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^2}}}\) \(0,70\rm{m}\)

Strahlungsleistung der Sonne

Die von der Sonne ausgehende Strahlung durchdringt den Raum ohne absorbiert zu werden und wird in alle Richtungen in gleicher Stärke gestrahlt. Die gesamte Leistung fließt also durch alle um die Sonne gelegten Kugelflächen in gleicher Größe.

Das besagt, dass die Strahlungsleistung pro \({{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}\) im Abstand \(r\) von der Sonne die gesamte Strahlungsleistung \(L\) der Sonne dividiert durch die Kugeloberfläche einer Kugel mit Radius \(r\) ist.

Bestimme aus der Solarkonstanten \({S_0} = 1367\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^2}}}\) und dem Erdbahnradius \(r = 1{\rm{AE}} = 1,50 \cdot {10^{11}}{\rm{m}}\) die Strahlungsleistung der Sonne.

Energie- bzw. Masseverlust der Sonne auf Grund von Strahlung

Die gesamte Strahlungsleistung der Sonne beträgt L = 3,82·1026 W

Nach der Einsteinschen Formel E = m·c2 verliert die Sonne demnach pro Sekunde eine Masse von \(\frac{{3,82 \cdot {{10}^{26}}Ws}}{{{{(3,0 \cdot {{10}^8}m{s^{ - 1}})}^2}}} = 4,24 \cdot {10^9}kg\)

In 1 Milliarde Jahre hätte die Sonne 4,24·109 kg 109·365·24·3600 = 1,33·1026 kg abgestrahlt.

Der Masseverlust auf Grund der Abstrahlung wären also in einer Milliarde Jahre 22 Erdmassen (mE = 6·1024kg).
Dies sind aber nur 0,007 % der Sonnenmasse (mS = 1,98·1030 kg)

Woher kommt die Energie?

1.Ansatz:
Die Energie stammt aus der Gravitation beim Zusammenballen der Sonnenmasse aus der Urmaterie.

Ein Teilchen der Masse m, das sich vom Unendlichen bis zur Sonnenoberfläche bewegt, erhält die Gravitationsenergie
\(\Delta E = \frac{{G \cdot m \cdot {m_s}}}{{{R_s}}}\) .

Für die gesamte Gravitationsenergie bei Entstehung der Sonne aus einer Staubwolke ergäbe sich etwa \(E = \frac{{G \cdot {m_s} \cdot {m_s}}}{{{R_s}}}\).

Auf genauere Begründung der nötigen Integration wird verzichtet.
(Anfangs werden Massen durch kleinere Körper (mZ < mS) angezogen, gehen dafür aber näher zusammen (r < RS).

\(E = \frac{{6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}{m^3}k{g^{ - 1}}{s^2} \cdot {{(2,0 \cdot {{10}^{30}}kg)}^2}}}{{6,9 \cdot {{10}^8}m}} = 3,8 \cdot {10^{41}}J\)

 

Bei einer Strahlung von L = 3,82·1026 W würde diese Energie für eine Zeit von \(t = \frac{{3,8 \cdot {{10}^{41}}J}}{{3,82 \cdot {{10}^{26}}W}}\)= 1,0·1015 s = 31,7·106 Jahre reichen. Das Sonnenalter ist aber mindestens 109 Jahre.

2. Ansatz: Kernfusion

Aus 4 Wasserstoffatomen entstehen bei der pp-Kette oder beim Bethe-Weizsäcker-Zyklus 1 Heliumatom + Energie

Die Energie pro Elementarprozess beträgt 26,7 MeV

Berechne, wie viele Elementarprozesse pro Sekunde in der Sonne geschehen und wie lange dafür die Sonnenmasse reichte, wenn sie zu Beginn nur aus Wasserstoff bestehen würde.

Die Lebensdauer der Sonne wäre demnach bei vollständiger Wasserstofffusion t = 1,0·1011Jahre.

In Wirklichkeit ist die Lebensdauer der Sonne bei gleichbleibender Strahlung aus zwei Gründen wesentlich geringer:

1. Der in der Ur-Sonne vorhandene Anteil an Wasserstoff ist nicht 100% sondern eher bei 70%

2. Nur im innersten der Sonne sind ausreichend hohe Temperaturen, dass Fusionen wahrscheinlich genug sind, deshalb stehen nur der innerste Teil der Sonne (ca. 10 bis 20 % der Masse) für das "Wasserstoffbrennen" zur Verfügung.

Die Sonne ist ein Plasmaball. Das Plasma besteht aus Atomkernen und Elektronen. Wegen der großen Teilchengeschwindigkeit können sich die Atomkerne nicht oder höchstens kurzzeitig mit Elektronen zu Atomen vereinigen, weil diese bei gegenseitigen Stößen immer wieder zerlegt würden. Die meisten Atomkerne sind Protonen, die durch Kernfusion im innersten Kern der Sonne zu Heliumkernen fusionieren. Bei diesen Fusionsprozessen wird die Bindungsenergie in Wärmeenergie umgewandelt, die letztendlich für die von der Sonne abgestrahlte Energie verantwortlich ist. Dass die Wahrscheinlichkeit für diese Fusionsprozesse auch im Sonnenineren nicht groß ist, erkennt man daran, dass in den letzten 4,5 Milliarden Jahren erst 6% des Wasserstoffs der Sonne eine Kernfusion durchgeführt haben.

Kern:
35% der Sonnenmasse Energieproduktion durch Fusion
Strahlenzone:
Energietransport durch Strahlung, laufendes emittieren, streuen, absorbieren, emittieren.. Transportdauer zur Oberfläche 107a
Konvektionszone:
Energietransport durch Konvektion (Aufsteigen heißen Wasserstoffes in Blasen, die an der "Oberfläche" die "Granulation" bilden)
Fotosphäre(200 km):
Entstehung der Kontinuumsstrahlung und der fraunhoferschen Linien
Chromossphäre (10 000 km)
sichtbar bei Mondabdeckung, Temperatur innen 4500 K außen 106 K, flockige Struktur infolge starker Turbulenzen sowie Störungen (Fackeln, Eruptionen, Protuberanzen)
Korona
Nur sichtbar bei Verdeckung der Sonnenscheibe (extrem geringe Dichte)

Etwas detailierte Darstellung des Sonnenaufbaus

 

Der Bethe-Weizsäcker-Zyklus oder CNO-Zyklus nach den Elementen Kohlenstoff-Stickstoff-Sauerstoff, die als "Katalysator" wirken, ist neben der Proton-Proton-Kette die zweite Fusionsreaktionen, durch die Sterne Wasserstoff in Helium umwandeln.

Der Zyklus wurde zwischen 1937 und 1939 von den Physikern Bethe und Weizsäcker entdeckt.

Biographie von Hans Bethe bei Wikipedia bzw. in Englisch bei www.nobelprize.org.

Biographie von Carl Friedrich von Weizsäcker bei Wikipedia.

\[ \begin{array}{} {}^{12}_{\; 6}{\mathrm{C}}^+ + {}^1_1{\mathrm{H}}^+ \rightarrow {}^{13}_{\; 7}\mathrm{N}^+ + \gamma \\
\, \\
{}^{13}_{\; 7}\mathrm{N}^+ \rightarrow {}^{13}_{\; 6}\mathrm{C}^+ + \mathrm{e}^+ + \nu_\mathrm{e} \\
\, \\
{}^{13}_{\; 6}\mathrm{C}^+ + {}^1_1{\mathrm{H}}^+ \rightarrow {}^{14}_{\; 7}\mathrm{N}^+ + \gamma \\
\, \\
{}^{14}_{\; 7}\mathrm{N}^+ + {}^1_1{\mathrm{H}}^+ \rightarrow {}^{15}_{\; 8}\mathrm{O}^+ + \gamma \\
\, \\
{}^{15}_{\; 8}\mathrm{O}^+ \rightarrow {}^{15}_{\; 7}\mathrm{N}^+ + \mathrm{e}^+ + \nu_\mathrm{e} \\
\, \\
{}^{15}_{\; 7}\mathrm{N}^+ + {}^1_1{\mathrm{H}}^+ \rightarrow {}^{12}_{\; 6}{\mathrm{C}}^+ + {}^{4}_{2}{\mathrm{He}}^+
\end{array} \]

Die Energiebilanz ist dieselbe wie bei der pp-Kette, nämlich 26,7 MeV pro Durchlauf.

Die Proton-Proton-Kette spielt vorallem bei Sternen mit Größen bis zur Masse der Sonne eine Rolle.
Der Bethe-Weizsäcker-Zyklus ist hingegen in schwereren Sternen die vorherrschende Energiequelle.
Der Bethe-Weizsäcker-Zyklus läuft erst ab Temperaturen über 14 Millionen Kelvin mit genügender Häufigkeit ab und ist ab 30 Millionen Kelvin vorherrschend.
Der Bethe-Weizsäcker Zyklus setzt das Vorhandensein einer gewissen Menge an Kohlenstoff 12C voraus. Da beim Urknall vermutlich kein Kohlenstoff entstehen konnte, war es den Sternen der ersten Generation anfangs unmöglich, Energie auf diese Art zu erzeugen.

Prinzip der Kernreaktion:
Aus 4 Wasserstoffatomen (die allerdings bereits in 4 Protonen und 4 Elektronen zerlegt sind) bilden sich durch Fusion ein Heliumatom (zerlegt in den Heliumkern und zwei Elektronen).
Aus dem Unterschied der Massen (Massendefekt) kann man mittels der Formel E = m·c2 die zu erwartende Energie pro Elementarreaktion leicht errechnen.

Aufgabe:
Zeige aus den Atommassen von Wasserstoff mH =1,007825 u und Helium = 4,002603 mit u = 1,66·10-27kg (= 931,49MeV), dass die Energie pro Elementarreaktion 26,7 MeV beträgt.

Der in der Sonne häufigste Fusionszyklus ist die Proton-Proton-Kette (p-p-Kette).
Dabei laufen drei Fusionen hinter- bzw. nebeneinander ab.

1. Die Fusion zweier Protonen zu Deuterium, die nur mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit eintritt und deshalb trotz der vielen möglichen Fusionspartner selten ist.
2. Die Fusion von Deuterium und Proton zu Helium 3, die wahrscheinlicher als die erste Reaktion ist und auch mehr Energie abwirft.
3. Die Kernreaktion zweier Helium-3-Kerne zu Helium 4 und 2 Protonen, die noch wahrscheinlicher als die zweite Reaktion ist und die meiste Energie abwirft.

 

 

Hier nochmals zusammengefasst die gesamte Proton-Proton-Kette.

Von den insgesamt 26,7 MeV einer Elementarreaktion nehmen die zwei Neutrinos im Mittel 0,5 MeV direkt mit. Neutrinos zeigen praktisch keinerlei Wechselwirkung mit anderer Materie. Diese Energie trägt also nicht zur Leuchtkraft der Sonne bei.

Die Frage, welche Fusionsprozesse im Inneren der Sonne und im Inneren anderer Sterne ablaufen, ist vorallem eine Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit es zu solchen Fusionsprozessen kommt und von welchen Größen diese Wahrscheinlichkeiten abhängen.

Das Problem der Coulombabstoßung und der geringen Kernkraftreichweite
Nähert sich ein Proton einem anderen Proton (oder einem anderen Kern), so stoßen sich beide auf Grund der elektrischen Kräfte (Coulombkräfte) ab. Diese Abstoßungskräfte (F ~ 1/r2) wachsen um so mehr, je näher sich die beiden positiven Ladungsträger kommen. Die Kernkräfte, die letztendlich die Fusion ermöglichen, sind jedoch sehr kurzreichweitig.

Das Problem ist also so wie wenn man eine Kugel (Murmel, Schusser) in einen Becher schussern soll, der von einem Wall, dem "Coulombwall" ringförmig umgeben ist. Um dies zu schaffen, muss man

1. genau mittig treffen,

2. der Kugel genügend kinetische Energie mitgeben.

Dieses Kugelexperiment geschieht nun in der Sonne mit riesiger Häufigkeit.

Probleme trotz dieser Häufigkeit:
Die Protonen im Sonneninneren haben selbst bei einer Temperatur von 15 Millionen Kelvin nur eine mittlere kinetische Energie von 2 keV und würden sich dem Kern nur auf etwa 4·10-13m nähern.
Zur Überwindung des Coulombwalls wären eine Näherung auf etwa 3·10-15 m notwendig, was einer Energie von 250 keV entspricht.

Nun gibt es natürlich auch schnellere Protonen. Die Geschwindigkeit der Protonen gehorcht der von Gasen her bekannten Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung.
Mit der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung errechnet man sich für eine Temperatur von 15 Millionen Kelvin, das weniger als 1200 Protonen in der Sonne die nötige Energie von 250 keV haben, in Wirklichkeit aber 3,6·1038 Protonen pro Sekunde fusionieren.

Dies läßt sich nur mit dem quantenmechanischen Modell erklären, dass die Wahrscheinlichkeit einer Kernreaktion schon bei größeren p-p-Abständen von Null verschieden ist. Man sagt, das Proton kann auf Grund des Tunneleffekts den Coulombwall durchdringen.
Doch auch diese Wahrscheinlichkeit ist nicht sehr groß, was man daraus erkennt, daß in den letzten 4,5 Milliarden Jahren erst 6% des Wasserstoffs der Sonne eine Kernfusion durchgeführt haben.

Man sieht aber daraus auch, um wie vieles schwieriger es ist, diesen Fusionsprozess bei den wesentlich geringeren Massen und wesentlich geringeren Temperaturen auf der Erde zu einem Energie liefernden Prozess in größerem Umfang zu nutzen, wie man dies in den Fusionsreaktoren versucht.

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