Planetensystem

Astronomie

Planetensystem

  • Nach welchen Gesetzen bewegen sich die Planeten?
  • Warum kreisen die Planeten eigentlich um die Sonne?
  • Welche Energie benötigt eine Mondrakete?
  • Kommen wir jemals aus unserem Sonnensystem heraus?

Johannes KEPLER (1571 - 1630)
unbekannter Autor [Public domain], via Wikimedia Commons

1. Keplersches Gesetz:
Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Verallgemeinerung:
Befindet sich ein leichter Körper im Anziehungsbereich eines schweren Körpers, so bewegt er sich in einer Ellipsenbahn um den schweren Körper, der sich dabei im Brennpunkt befindet.

 

Charakteristische Größen der Ellipse

Große Halbachse: a
Kleine Halbachse: b
Lineare Exzentrizität: e
Zusammenhang: Pythagoras: b2 + e2 = a2
Numerische Exzentrizität: ε = e : a (ε liegt zwischen 0 beim Kreis und 1 bei einer extrem flachen Ellipse)
Im Perihel ist der Abstand Planet - Sonne am geringsten.
Im Aphel ist der Abstand Planet - Sonne am größten.

Gärtnerkonstruktion
Die Gärtnerkonstruktion ist eine Methode, einen Kreis oder eine Ellipse mittels Schnur und Bleistift genau zu zeichnen.
Zur Konstruktion einer Ellipse müssen die beiden Brennpunkte und die Länge der großen Halbachse a bekannt sein. (Beim Kreis fallen die Brennpunkte im Kreismittelpunkt zusammen).

Benötigt werden zwei Nägel oder Holzpflöcke, eine Schnur sowie ein Stift.
Vorgehen zur Konstruktion einer Ellipse:
Die beiden Nägel bzw. Holzpflöcke in die Brennpunkte einschlagen.
In die Schnur werden zwei Schlaufen gebunden, so dass die Gesamtlänge das doppelte der großen Halbachse ist (= 2a). Die Schlaufen werden um die Nägel bzw. Pflöcke gelegt (siehe Foto).
Mit dem Stift den Faden straff spannen und den Stift senkrecht aufsetzen
Mit gespanntem Faden erst eine Hälfte der Ellipse zeichnen, und nach erneutem Ansetzen die andere Hälfte.

Bedeutung der Exzentrizität für die Erde:
Bei der Erdbahn ist die Exzentrizität 0,0167, das bedeutet, dass die Sonne um 1,6 % der großen Halbachse seitlich des Mittelpunkts ist. Die kleine Halbachse ist nur um 0,01% kleiner als die große Halbachse. Die Erdbahn ist also fast ein perfekter Kreis, bei dem lediglich die Sonne etwas seitlich des Mittelpunkts ist.

Bedeutung der Exzentrizität für andere Planeten, Planetoiden und Kometen:
Die Planeten Venus, Jupiter, Saturn, Uranus und Neptun haben sehr geringe Exzentrizäten, die kleiner sind als 5%.
Merkur hat eine Exzentrizität von 0,20, Mars von 0,093 und Pluto von 0,25.

Auch die größeren Planetoiden haben meist Exzentrizitäten unter 0,25.

Die Kometen zeichnen sich hingegen durch sehr hohe Exzentrizitäten aus, wie Halley mit 0,967.

Eine sehr schöne Simulation zum 1. KEPLER'schen Gesetz findest du unter Mechanik - Weltbilder, KEPLER'sche Gesetze - Versuche

2. Keplersches Gesetz:
In gleichen Zeiten überstreicht der Fahrstrahl (r) gleiche Flächen


Johannes KEPLER (1571 - 1630)
unbekannter Autor [Public domain], via Wikimedia Commons
 
Bewegt sich der Planet in der Zeit Δt weiter, so überstreicht der Fahrstrahl r von seinem Ort r1 bis zu seinem Ort r2 eine kleine Fläche, die die Form eines Dreiecks besitzt, das von r1, r2 und einem Wegstück s = v·t begrenzt ist.

Für die Fläche A gilt: A = \(\frac{1}{2}\)·r·h ist konstant mit h = sinα·v·Δt , wobei α der Winkel zwischen Radiusvektor und Geschwindigkeitsvektor ist =>

A = \(\frac{1}{2}\)·r·sinα·v·Δt = konst. und da \(\frac{1}{2}\) und Δt gleich bleibt.

A = r ·v·sinα= konst.

Das Geschwindigkeitsverhältnis von Aphel zu Perihel
Das Produkt r ·v·sinα ist also überall gleich groß: Daraus ergibt sich für die beiden Punkte an denen α = 90° und damit sinα = 1 ist, also im Aphel und im Perihel eine sehr einfache Beziehung:

rAphel · vAphel = rPerihel · vPerihel => (a + e) · vAphel = (a - e) · vPerihel

Das 2.Keplersche Gesetz folgt direkt aus dem Drehimpulserhaltungssatz

Der Drehimpulssatz ist auch dafür verantwortlich, dass eine Eiskunstläuferin bei der Pirouette mit weit ausgestreckten Armen langsam dreht und mit an den Körper angelegten Armen schnell dreht.
Zentralkörper und Planet sind auch ein abgeschlossenes System, in dem sich der Drehimpuls nicht ändern darf.
Ist der Körper weit weg vom Drehpunkt, so hat er geringe Geschwindigkeit, ist er näher an ihm hat er große Geschwindigkeit.

Kurze Erklärung der Begriffe Impuls und Drehimpuls

Impuls = Masse · Geschwindigkeit: p = m·v

Rotiert ein Körper um einen Drehpunkt S so ist der
Drehimpuls = Impuls · Hebelarm: L = p·l

wobei der Hebelarm l das Lot vom Drehpunkt auf den Geschwindigkeitsvektor ist

L = m·v·r·sinα

Drehimpulserhaltungssatz sagt: m·v·r·sinα = konstant

wegen der konstanten Masse => v·r·sinα = konstant (also Fläche bei Kepler 2)

 

Eine sehr schöne Simulation zum 2. KEPLER'schen Gesetz findest du unter Mechanik - Weltbilder, KEPLERsche Gesetzte - Versuche.

3. Keplersches Gesetz:
Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer großen Halbachsen.

Zwei ungarische Briefmarken zu Ehren von Johannes Kepler

Eine englische Briefmarke zu Ehren Sir Isaac Newton

Hinter dem 3. Keplerschen Gesetz steckt das
Newtonsches Gravitationsgesetz: \({F_G} = G \cdot \frac{{{m_s} \cdot {m_p}}}{{{r_{SP}}^2}}\)

Diese Gravitationskraft bewirkt eine Beschleunigung, die einen Massekörper (hier die Masse des Planeten mP) in der Nähe eines anderen schweren Körpers (hier die Masse der Sonne mS) auf die charakteristische Bahn (Ellipsenbahn oder Hyperbelnahn) zwingt.
Im einfachsten Fall der Kreisbahn ist diese beschleunigende Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung und bewirkt nur eine Änderung der Bewegungsrichtung nicht eine Änderung des Geschwindigkeitsbetrags, sie wirkt als Zentralkraft FZ = mP·ω ²·r. =>

\({F_G} = {F_Z} \Rightarrow G \cdot \frac{{{m_S} \cdot {m_P}}}{{{r_{SP}}^2}} = {m_P} \cdot {\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2} \cdot {r_{SP}} \Rightarrow \frac{{{T^2}}}{{{r_{SP}}^3}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G \cdot {m_S}}})  
Es  gilt  also: \frac{{{T^2}}}{{{r^3}}} = C\) oder allgemeiner für Ellipsenbahnen \(\frac{{{T^2}}}{{{a^3}}} = C\) mit \(C = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G\cdot{m_{Zentralkörper}}}}\)

Das wirkliche Zweikörperproblem

In Wirklichkeit bewegen sich zwei gravitationsgebundene Körper um einen gemeinsamen Schwerpunkt, der sich gleichförmig durch den Raum bewegt.
Der gegenseitige Abstand r ist die Summe aus dem Abstand der Sonne zum Schwerpunkt (rS) und des Abstands des Planeten zum Schwerpunkt (rP)

Es gilt: r = rS + rP

Aus dem Hebelgesetz folgt die Schwerpunktgleichung mS·rS = mP·rP

Es gilt demnach:

\(\begin{array}{l}{m_P} \cdot {r_P} = {m_S} \cdot (r - {r_P}) \Rightarrow {m_P} \cdot {r_P} = {m_S} \cdot r - {m_S} \cdot {r_P}) \Rightarrow \\({m_P} + {m_S}) \cdot {r_P} = {m_S} \cdot r \Rightarrow {r_P} = \frac{{{m_S}}}{{{m_P} + {m_S}}} \cdot r\end{array}\)

Zerlegt man die Bewegung der beiden sich umkreisenden Massenkörper in die reine lineare Bewegung mit dem Schwerpunkt und die Kreisbewegungen um den gemeinsamen Schwerpunkt (siehe Bild rechts), so bewirkt die erstere keinerlei Beschleunigung und damit keine Kraft, die Kreisbewegung aber zeigt die wahren Kräfte.
Wir betrachten nur die Kraft auf den Planeten, nicht die gegengleiche Kraft auf die Sonne.
Dabei ist die Graviationskraft bestimmt durch den gegenseitigen Abstand r, die Zentralkraft aber durch den Abstand rP des Planeten vom Schwerpunkt.

\(\begin{array}{l}G \cdot \frac{{{m_S} \cdot {m_P}}}{{{r^2}}} = {m_P} \cdot \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}} \cdot \frac{{{m_S}}}{{{m_P} + {m_S}}} \cdot r \Rightarrow \\\frac{{{T^2}}}{{{r^3}}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G \cdot ({m_P} + {m_S})}}\end{array}\)

wobei im allgemeinen Fall einer Ellipse r durch a zu ersetzen ist und man damit das gleiche Gesetz wie bei der einfachen Herleitung erhält, wenn man statt der Masse des Zentralkörpers, die Summe der Massen beider Körper einsetzt, was dann von großer Bedeutung ist, wenn die beiden Massen vergleichbar groß sind.

 

Die Entfernungen zu anderen Planeten errechnet man am einfachsten aus dem dritten Keplerschen Gesetz.

Bestimme die Entfernung zum Mars in Oppositions- und in Konjuktionsstellung aus \({T_{{\rm{Mars}}}} = 1,88{\rm{a}}\).

Bezeichnungen:

Man spricht von Konjunktion des Planeten oder auch Mondes mit der Sonne, wenn Planet und Sonne auf der selben Seite auf nahezu einer Linie stehen.

Obere Konjunktion, wenn die Sonne zwischen Planet und Erde ist.

Untere Konjunktion, wenn der Planet (Mond) zwischen Erde und Sonne ist.

Opposition, wenn Sonne und Planet (Mond) auf entgegengesetzter Seite der Erde auf etwa einer Linie stehen.

Nebenstehend sind die Umläufe zweier Planeten dargestellt, wobei die Zeitangaben sich nach 5 Jahren (Umläufen) des schnelleren Planeten wiederholen.
Betrachtet man die Umlaufzeit eines Planeten oder des Mondes so unterscheidet man folgende Umlaufzeiten:

Die siderische Umlaufzeit (Tsid ), das ist die Umlaufzeit, die der Planet für einen vollen Umlauf vor dem Sternenhintergrund benötigt. (latein: Sidera: Sterne), das sind im nebenstehehenden Film die blau und rot angegebenen Zeiten.

Die synodische Umlaufzeit (griech. synodos "Zusammentreffen"), (Tsyn), das ist die Umlaufzeit, die der Planet oder Mond von einer Oppositionsstellung bzw. Konjunktionsstellung zur nächsten braucht.

Betrachten wir zunächst einen oberen Planeten, also Mars, Jupiter, Saturn etc.

Für den Zusammenhang zwischen siderischer und synodischer Umlaufzeit betrachtet man die Winkel, die die Radiusvektoren in den einzelnen Zeiten überstreichen. Dabei gelten folgende Beziehungen zwischen Winkeln und Zeiten:

 

Außerdem ersieht man folgenden Winkelzusammenhang für die Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Oppositionsstellungen aus der Zeichnung:


Leiten Sie analog für einen unteren Planeten (Merkur, Venus und auch Mond) die entsprechende Formel her.

Sie lautet:

Anmerkung: Der gleiche Zusammenhang besteht auch zwischen der Umlaufzeit eines Planeten um die Sonne, der Eigenrotationszeit um die Planetenachse und der Tageslänge.

Merkur
von Mariner 10, Astrogeology Team, U.S. Geological Survey (http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap011124.html) [Public domain], via Wikimedia Commons

Merkurs siderische Umlaufdauer beträgt 87,97d und seine siderische Rotationsdauer 58,65 d.

Berechne die Länge des Tag - Nacht - Zyklus von Merkur.

 

Schießt man von einem über die Atmosphäre hinaus ragenden Berg auf der Erde einen Körper mit der Geschwindigkeit v parallel zur Erdoberfläche, so ergeben sich folgende Bahnkurven:

  1. Für kleine v eine "Wurfparabel", die eigentlich ein Teil einer Ellipse ist, aber beim Auftreffen auf die Erde beendet wird. (Kurve 1)
  2. Wenn die Geschwindigkeit groß genug ist ergibt sich ein Kreis (mit Erdradius) (Kurve 2).
    Für diesen gilt die Bedingung \({F_G} = {F_Z} \Rightarrow \frac{{m \cdot {v^2}}}{r} = \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{{r^2}}}\)

    Der Körper hat eine kinetische Energie \({E_{kin}} = \frac{1}{2}m \cdot {v^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{G \cdot m \cdot M}}{r}\)
    (Das ist die Hälfte der negativen potentiellen Energie)

Daraus ergibt sich eine Geschwindigkeit von \(v = \sqrt {\frac{{G \cdot M}}{r}} \), also \(v = \frac{{{v_F}}}{{\sqrt 2 }}\).

 

(v = 7,9 km/s)

Die Gesamtenergie des kreisenden Körpers ist in Abhängigkeit von r (Energie im Unendlichen wird als Null angenommen):

\({E_0} = {E_{kin}} + {E_{pot}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{{G \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{M}}}}{r} - \frac{{G \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{M}}}}{r} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{{G \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{M}}}}{r}\)

Diese Energiebeziehung gilt für sämtliche Kreisbahnen und ebenso für Ellipsenbahnen, wenn man r durch a ersetzt.

3. Wird die Geschwindigkeit größer, so ergeben sich Ellipsenbahnen, mit der Abschussstelle im Perigäum, solange v < vF. (vF ist die sogenannte Fluchtgeschwindigkeit) Die Gesamtenergie ist immer noch kleiner als 0.(Kurve 3)
  Für v = vF (vF = 11,2 km/s) ergäbe sich eine Parabel. Der Körper kehrt nicht zurück und hat die Gesamtenergie 0 (außerhalb des Anziehungsbereichs der Erde hat er keine Bewegungsenergie mehr).
4.

Für v > vF ergibt sich eine Hyperbelbahn (Kurve 4). Die Gesamtenergie des Körpers ist größer als 0.

 

Herleitung für die Gesamtenergie einer Ellipsenbahn

Die Gesamtenergie E0 = Ekin + Epot ist überall auf der Ellipse gleich groß. In großer Entfernung vom Zentralkörper ist Epot größer und Ekin kleiner, in der Nähe ist es umgekehrt.

Für Perihel:\({E_0} = \frac{1}{2}m\cdot{v_P}^2 - \frac{{G \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{M}}}}{{{r_P}}}\) ; für Aphel:\({E_0} = \frac{1}{2}m\cdot{v_A}^2 - \frac{{G \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{M}}}}{{{r_A}}}\) => |·rP2 bzw. rA2 =>
\({E_0}\cdot{r_P}^2 = \frac{1}{2}m\cdot{v_P}^2\cdot{r_P}^2 - G \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{M}}\cdot{r_P}\) (I);
\({E_0}\cdot{r_A}^2 = \frac{1}{2}m\cdot{v_A}^2\cdot{r_A}^2 - G \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{M}}\cdot{r_A}\)(II)

Außerdem gilt: \({v_P} \cdot {r_P} = {v_A} \cdot {r_A} \Rightarrow \frac{1}{2}m \cdot {v_P}^2 \cdot {r_P}^2 = \frac{1}{2}m \cdot {v_A}^2 \cdot {r_A}^2\) => Zieht man Gleichung (I) von Gleichung (II) ab, so ergibt sich:

E0·rA2 - E0·rP2 = - G·m·M·rA + G·m·M·rP =>

E0·(rA2 - rP2) = - G·m·M·(rA - rP) =>

\({E_0} = - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{{{r_A} - {r_P}}}{{{r_A}^2 - {r_P}^2}}\) =>

\({E_0} = - \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{{r_A} + {r_P}}} = - \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{2a}}\)

 

Für die Bahngeschwindigkeit eines Körpers auf der Ellipse im Abstand r ergibt sich:

\(\frac{1}{2}m{v^2} - \frac{{G \cdot m \cdot M}}{r} = - \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{2a}}\) =>

\(v = \sqrt {2GM \cdot \left( {\frac{1}{r} - \frac{1}{{2a}}} \right)} \)

 

Arbeit eines Körpers der Masse m im Gravitationsfeld eines schweren Körpers der Masse M.

Wiederholung Mittelstufe:
Hubarbeit im Labor: W = FG·h oder W = EPot,oben - EPot,unten

Dies ist ein Spezialfall der Gleichung W = F·s (Arbeit gleich Kraft mal Weg)

Diese gilt nur unter folgenden 2 Bedingungen:

1. Die Kraft F ist immer in Wegrichtung

2. Die Kraft ist längs des Wegs konstant


Verallgemeinerungen für den Arbeitsbegriff:
1.
Ist die Kraft nicht parallel zum Weg, so nimmt man die Kraftkomponente in Wegrichtung mal den Weg oder

die Wegkomponente in Kraftrichtung mal die Kraft.

Im Gravitationsfeld ist die Arbeit ist nur von Anfangs- und Endpunkt, nicht jedoch vom Weg abhängig.

Man sucht sich deshalb den günstigsten Weg, dessen erster Teil ein Wegstück ist, bei dem Weg und Kraft parallel sind, und dessen zweiter Teil ein Wegstück ist, bei dem Weg und Kraft zueinander senkrecht stehen.
Nur der erste Teil bringt einen Beitrag zur Arbeit.

W = EPot,Endpunkt - EPot,Anfangspunkt

2.

Ist die Kraft längs des Weges nicht konstant, so besteht die Arbeit aus einer Summe kleiner Arbeitsbeträge längs kleiner Teilstücke des Weges, längs derer die Kraft sich nicht wesentlich ändert.
Dies führt zum Integral \(W = \int\limits_{{r_{Anf}}}^{{r_{End}}} {F \cdot dr} \)

Dies führt zur Arbeit im Gravitationsfeld: \(W = \int\limits_{{r_{Anf}}}^{{r_{End}}} {G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{{{r^2}}} \cdot dr} = G \cdot m \cdot M \cdot \left[ { - \frac{1}{r}} \right]_{{r_A}}^{{r_E}}\)
\(W = - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{{{r_E}}} + G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{{{r_A}}}\) = EPot,Ende - EPot,Anfang

Festlegung: EPot,∞ = 0. Im freien Weltall hat ein Körper keine potentielle Energie.

In der Nähe eines schweren Körpers sinkt die potentielle Energie mit der Annäherung an den Körper indirekt proportional zum Abstand.

Man kann sich das Gravitationsfeld (um eine Raumdimension reduziert) in der Nähe von schweren Körpern wie nebenstehend skizziert vorstellen.
In der Nähe der Körper bilden sich wie in einer sich dehnenden Gummihaut auf Grund der Masse des Körpers Gruben, deren Wände mit 1/r² abfallen und längs deren Wänden andere Körper, wie Monde oder Satteliten, kreisen können, ohne den Anziehungsbereich verlassen zu können.

Berechnung der Fluchtgeschwindigkeit:

Die Hubarbeit von der Körperoberfläche bis ins Unendliche (negative potentielle Energie) muss in Form von kinetischer Energie dem Körper mitgegeben werden.

\(\frac{1}{2}m\cdot{v^2} = \frac{{G \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{M}}}}{r} \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{2 \cdot G \cdot M}}{r}} {\rm{ }}\)
Diese Geschwindigkeit heißt Fluchtgeschwindigkeit.

Für die Erde ist die Fluchtgeschwindigkeit vF = 11,2\(\frac{{km}}{s}\)

Bedeutung der Fluchtgeschwindigkeit:

Je kleiner die Fluchtgeschwindigkeit, um so schwerer kann der Körper Gase halten.
Die Bildung bzw. Beibehaltung einer Atmosphäre ist also von einer Mindestgröße der Fluchtgeschwindigkeit abhängig.

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