Akustische Phänomene

Akustik

Akustische Phänomene

  • Wie entsteht Schall?
  • Was unterscheidet Töne von Geräuschen?
  • Warum klingen die verschiedenen Instrumente alle anders?
  • Wie funktionieren Blas- und Saiteninstrumente?

Ausbreitung einer Longitudinalwelle in einem Gas oder einer Flüssigkeit

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Ausbreitung einer Longitudinalwelle in einem Festkörper

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Ausbreitung einer Transversalwelle in einem Festkörper

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Die Musikinstrumente lassen sich grob in zwei Klassen einteilen: Die Saiteninstrumente und die Blasinstrumente.

Saiteninstrumente

Bei den Saiteninstrumenten wird eine gespannte Saite durch Zupfen, Streichen oder durch den Schlag eines kleinen Hammers (z.B. Klavier) zu Schwingungen angeregt. Dabei können recht komplexe Schwingungsformen auftreten, die deutlich von den sinusförmigen stehenden Wellen wie wir sie am Gummiseil beobachtet haben, abweichen.

Grundsätzlich ist eine schwingende Saite keine sehr intensive Schallquelle, da durch sie nur wenig Luft in Bewegung gesetzt wird. Daher wird die gespannte Saite über einen sogenannten Steg geführt, welcher die Schwingungen auf den Holzkörper z.B. einer Violine mit seiner in Bezug zu Saite wesentlich größeren Oberfläche überträgt.

Zupft man eine Saite in ihrer Mitte an, so schwingt die Saite als Ganzes nicht sinusförmig. Vielmehr erinnert die Schwingungsform an ein Dreieck bzw. an eine Rampe.
Man kann diese Schwingungsform als Teil einer stehenden Welle auffassen, welche durch die Überlagerung zweier gegenläufiger "Dreieckswellen" gleicher Frequenz und Amplitude zustande kommt. Vergleichen Sie hierzu die nebenstehende Animation.

Nach Fourier lässt sich nun jedes periodische Signal - z.B. auch eine Dreiecksschwingung - aus Sinusschwingungen aufbauen. Welche Schwingungen man dazu auswählen muss, ist mathematisch auf dieser Stufe nicht nachvollziehbar. Es gibt jedoch eine Reihe von Programmen, die einem dabei helfen. Unter der Adresse http://cms.uni-konstanz.de/fileadmin/physik/nielaba/lehre/mechanik/fourier/fourier bietet die Uni Konstanz ein Programm an, bei dem man vorgegebene Kurvenformen in Sinusschwingungen zerlegen kann.

Für den Aufbau eines Dreieckssignals kann man z.B. folgende Sinusfunktionen benutzen:

y(x) = 7·sin(x) - 0,77·sin(3·x) + 0,28·sin(5·x) - 0,14·sin(7·x) + 0,08·sin(9·x) - 0,05·sin(11·x) + . . .

In der folgenden Abbildung sind nur die ersten drei der vorgeschlagenen Terme berücksichtigt. Man sieht, dass die Addition der drei Sinus-Funktionen schon zu einer recht passablen Dreiecksfunktion (rot) führt.

Nun kann man für die zwei gegeneinanderlaufenden "Dreieckswellen" in der obersten Animation, die in der Skizze dargestellten Annäherungen durch die drei Sinusfunktionen einsetzen und prüfen, wie die sich ergebende stehende Welle aussieht. Dies ist in der folgenden Animation geschehen:

Zusammenfassung:

  • Jede Eigenschwingung lässt sich eindeutig aus sinusförmigen Eigenschwingungen zusammensetzen.

  • Zur Darstellung des Klanges verwendet man ein Frequenzspektrum.

  • Die Klanghöhe wird durch den Grundton (Frequenz f0) bestimmt, welcher durch die Grundschwingung hervorgerufen wird.

  • Die Klangfarbe wird durch die Obertöne bestimmt, welche durch die Oberschwingungen hervorgerufen werden.

=

+

+

 

Hinweis: Weitere Informationen finden Sie auf den Fourier-Seiten.

Instrumente, welche bei der Schallerzeugung mit schwingenden Luftsäulen arbeiten sind sehr vielgestaltig und im Klang sehr unterschiedlich. Anbei finden Sie einige Beispiele:

Flöte
Klarinette
Trompete
Horn
Saxophon
Orgelpfeifen

 

Bei der Anregung der Luftsäule zu Schwingungen unterscheidet man zwei Prinzipien:

Zungenpfeife
Bei der Zungenpfeife strömt die Luft durch einen schmalen Schlitz, welcher von einer Metallzunge fast abgedeckt wird.
Durch den Luftzug gerät die Zunge ins Schwingen und verschließt periodisch mit der ihr eigenen Frequenz den Schlitz.

Anwendung der Zungenpfeife z.B. bei folgenden Instrumenten: Harmonium, Mundharmonika, Klarinette, Oboe und Fagott.
Lippenpfeife
Bei der Lippenpfeife bildet die auf die Schneide strömende Luft, Wirbel. Ein Teil der Wirbel gelangt in die Außenluft, ein anderer in den Pfeifenraum. Dadurch wird die Luftsäule der Pfeife periodisch angeregt und steuert ihrerseits die Wirbelablösung.

Anwendung der Lippenpfeife z.B. bei folgenden Instrumenten: Orgel, Blockflöte, Querflöte.

 

In der nebenstehenden Abbildung sind die Grundschwingung und die beiden ersten Oberschwingungen für eine offene Pfeife dargestellt. Die offene Pfeife hat stets an beiden Enden einen Bewegungsbauch (die orangen Querstriche sollen mit ihrer Länge andeuten, ob an einer Stelle viel oder wenig Teilchenbewegung herrscht). An Stellen mit einem Bewegungsbauch befindet sich auch ein Dichteknoten (bzw. ein Druckknoten) der stehenden Längswelle.

Die beiden rechten Bilder gehören zu einer gedeckten Pfeife. Diese hat an der Stelle der Abdeckung (dunkelblau) stets einen Bewegungsknoten (bzw. Dichtebauch oder Druckbauch). Bei der gedeckten Pfeife ist nur die Grundschwingung und die erste Oberschwingung dargestellt.

 
offene Pfeife
gedeckte Pfeife
\[n = 0\] \[l = 1 \cdot \frac{{{\lambda _0}}}{2}\] \[l = 1 \cdot \frac{{\lambda _0^*}}{4}\]
\[n = 1\] \[l = 2 \cdot \frac{{{\lambda _1}}}{2}\] \[l = 3 \cdot \frac{{\lambda _1^*}}{4}\]
\[n = 2\] \[l = 3 \cdot \frac{{{\lambda _2}}}{2}\] \[l = 5 \cdot \frac{{\lambda _2^*}}{4}\]
\[n \in {\mathbb{N}_0}\] \[l = \left( {n + 1} \right)\frac{{{\lambda _n}}}{2}\] \[l = (2n + 1) \cdot \frac{{\lambda _n^*}}{4}\]
\[n \in {\mathbb{N}_0}\] \[{\lambda _n} = \frac{{2 \cdot l}}{{n + 1}}\] \[\lambda _n^* = \frac{{4 \cdot l}}{{2 \cdot n + 1}}\]
\[n \in {\mathbb{N}_0}\] \[{f_n} = \frac{{c \cdot \left( {n + 1} \right)}}{{2 \cdot l}}\] \[f_n^* = \frac{{c \cdot \left( {2 \cdot n + 1} \right)}}{{4 \cdot l}}\]
\[n \in {\mathbb{N}_0}\] \[{f_n} = {f_0} \cdot \left( {n + 1} \right)\] \[f_n^* = f_0^* \cdot \left( {2 \cdot n + 1} \right)\]

Aufgabe

Zeigen Sie, dass man bei einer gedeckten Pfeife nicht die Oktave zum Grundton erzeugen kann.

Gelangt eine Schallwelle an das Ohr, so bringt sie das Trommelfell zum Schwingen. Durch komplizierte Vorgänge im Ohr und unserem Gehirn haben wir dann einen Höreindruck. Im Physikunterricht verwendet man als Schallquelle oft einen Lautsprecher, welcher durch einen Sinusgenerator angeregt wird. Als Empfänger dient häufig ein Mikrophon, dessen Schwingungen mit einem Oszilloskop dargestellt werden.

Durch Erhöhung der Frequenz der ausgesandten Schallwelle (man erkennt dies z.B. am Schirmbild des Oszilloskops bzw. an der Einstellung des Sinusgenerators) steigt die Höhe des Tons. Erhöht man die Amplitude der den Lautsprecher anregenden elektrischen Schwingung, so steigt die Lautstärke des vom Lautsprecher ausgesandten Signals. Die Ausschläge am Oszilloskop wachsen an.

Dass die Frequenz der Schallwelle die vom Empfänger registrierte Tonhöhe bestimmt, war zunächst keine gesicherte Tatsache in der Physik. Der Zusammenhang zwischen Tonhöhe und Frequenz wurde von August Seebeck im 19. Jahrhundert mit einer Lochsirene zweifelsfrei nachgewiesen. Auf konzentrischen Kreisen sind bei ihr von innen nach außen 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45 und 48 Löcher in jeweils gleichem Abstand angebracht, durch welche der Luftrom durchtreten kann.

  • Steigert man die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe, so nimmt die Höhe des hörbaren Tons zu.
  • Bläst man mit der Düse die Lochkreise der Reihe nach von innen nach außen an, so hört man eine Dur-Tonleiter. Der Eindruck einer Dur-Tonleiter bleibt auch erhalten, wenn man die Drehfrequenz der Scheibe erhöht.


Der Kammerton \(\bar a\) wurde im Jahre 1939 auf 440 Hz festgelegt. In der folgenden Tabelle sind die Frequenzen und die Frequenzverhältnisse der Töne der C-Dur-Tonleiter, sowie deren Position in einer Notenzeile dargestellt.

Ton \(\bar c\) \(\bar d\) \(\bar e\) \(\bar f\) \(\bar g\) \(\bar a\) \(\bar h\) \(\bar {\bar c}\)
Frequenz in Hz 264 297 330 352 396 440 495 528
relatives Frequenz-
verhältnis
\(1\) \(\frac{9}{8}\) \(\frac{5}{4}\) \(\frac{4}{3}\) \(\frac{3}{2}\) \(\frac{5}{3}\) \(\frac{15}{8}\) \(2\)
Intervall bezüglich
des Grundtons \(\bar c\)
Prim Sekund Terz Quart Quint Sext Septim Oktav
Aufgabe

a)

Zeigen Sie, dass beim Anblasen der äußersten Lochreihe mit 48 Löchern der entstehende Ton die doppelte Frequenz hat, wie beim Anblasen der innersten Reihe mit 24 Löchern.

b)

Berechnen Sie, mit welcher Frequenz die Scheibe rotieren muss, damit die Lochreihe mit den 48 Löchern den Kammerton \(\bar a = 440Hz\) hervorbringt?

Da Schallwellen an glatten Wänden (vgl. Echo vom Königssee) reflektiert werden, kann man mit dem unten skizzierten Versuch eine zur Metallwand hinlaufenden Welle (rot) eine rücklaufende Welle (blau) erzeugen. Da diese beiden Wellen gleiche Frequenz und vor der Wand vergleichbare Amplitude besitzen, kann man insbesondere vor der Metallwand eine gut ausgeprägte stehende Schallwelle feststellen (vgl. hierzu auch das Grundwissen über Wellen). Der Nachweis der Knoten und Bäuche der stehenden Schallwelle erfolgt durch das Mikrophon.

Variiert man nun die Frequenz der vom Lautsprecher ausgesandten Schallwelle, so kann man stets stehende Wellen vor der Wand beobachten, jedoch ändert sich mit der Frequenz der Abstand benachbarter Knoten.

 

Bei dem obigen Versuch passierte eine Reflexion der Schallwelle an der Metallwand. Die blau skizzierte rücklaufende Welle wird am kleinen Lautsprecher nicht nennenswert reflektiert, sie läuft zum großen Teil am Lautsprecher vorbei nach rechts.
Ein deutlich anderes Ergebnis erhält man, wenn durch eine zweite Platte am Ort des Lautsprechers dafür gesorgt wird, dass auch hier deutliche Reflexionen auftreten können.

In diesem Fall kommt es nur bei ganz bestimmten Frequenzen und damit Wellenlängen der Schallwelle zur Ausbildung einer ausgeprägten stehenden Welle. Eine ähnliche Beobachtung lässt sich auch bei Querwellen z.B. bei einem Gummiseil, das auf der linken Seite fest eingespannt ist und auf der rechten Seite durch einen Excenter angeregt wird, beobachten.

Da Querwellen bildlich leichter darzustellen sind, soll am Beispiel des Gummiseiles geklärt werden, warum sich ausgeprägte stehende Wellen (die man dann auch Eigenschwingungen nennt) nur bei bestimmten Frequenzen (die man dann als Eigenfrequenzen bezeichnet) bzw. Wellenlängen der ursprünglich fortscheitenden Welle auftreten.

Aufgaben

a)

Erläutere, warum die Ausbildung der stehenden Welle in der Nähe der Metallwand besser ausgeprägt ist als in der Nähe des Lautsprechers.

b)

Erläutere, wie sich der Abstand benachbarter Knoten der stehenden Welle ändert, wenn man die Frequenz der vom Lautsprecher ausgesandten Schallwelle erhöht.

Ausgeprägte Eigenschwingung aufgrund von Mehrfach-Reflexionen,
wenn mit einer Eigenfrequenz angeregt wird.

Keine ausgeprägte Eigenwschingung aufgrund von Mehrfach-Reflexionen,
wenn nicht mit einer Eigenfrequenz angeregt wird.


Hinweis: Bei den Animationen wurde der Einfachheit halber angenommen, dass die reflektierten Wellen alle die gleichen Amplituden besitzen. Außerdem wurden nur die ersten Reflexionen angedeutet. Hinlaufende- und rücklaufende Welle durchdringen sich, da dies zeichnerisch unübersichtlich würde, haben wir die Reflexionen in mehreren Bildern untereinander dargestellt.

Zusammenfassung:

Bei bestimmten Anregungsfrequenzen bilden sich ausgeprägte Schwingungszustände aus:

Grundschwingung:
\[l = \frac{{{\lambda _0}}}{2} \Leftrightarrow {\lambda _0} = 2 \cdot l\]
\[{f_0} = \frac{c}{{{\lambda _0}}} = \frac{c}{{2 \cdot l}}\]

1. Oberschwingung:
\[l = 2 \cdot \frac{{{\lambda _1}}}{2} \Leftrightarrow {\lambda _1} = l\]
\[{f_1} = \frac{c}{{{\lambda _1}}} = \frac{c}{l}\]

2. Oberschwingung:
\[l = 3 \cdot \frac{{{\lambda _2}}}{2} \Leftrightarrow {\lambda _2} = \frac{2}{3} \cdot l\]
\[{f_2} = \frac{c}{{{\lambda _2}}} = 3 \cdot \frac{c}{{2 \cdot l}}\]

usw.
usw.

Erklärung:
Es kommt zu konstruktiver Überlagerung, wenn die Welle nach der Reflexion an A und an B (Hin- und Rücklauf) mit der vom Excenter neu angeregten Welle in Phase ist.

 

Hinweise:

  • Betrachten Sie auch die Experimente zu stehenden Quer- und Längswellen an Federn und Seilen.
  • Stehende Schallwellen treten auch beim Versuch nach Kundt und durch Anregung mit einer Stimmgabel im Glasrohr auf.
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